10.4　渗析膜组件设计

10.4.1　渗（透）析器的设计

10.4.1.1　概述［4，16］

渗析器的设计标准有医用和工业用两类，两者之间的要求是很不同的。如血液透析器是消毒型、一次性或同一病人重复用的，工业渗析器有时要用有机溶剂作为萃取剂，要用NaOH溶液周期性清洗；医用设计是根据人体生理控制的能力决定规模和传质操作，而工业设计是由过程经济因素控制，比医用规模大得多；同样从经济性考虑，工业渗析器要求长寿命，医用趋向于一次性，但也在考虑复用。

由于中空纤维膜组件的膜面积堆砌密度高（比表面积高）和易制作等优点，所以不论在医用上还是工业上中空纤维渗析器都是优先考虑的构型。

为了讨论方便，设计前提如下：分子量为20000的溶质的水溶液，浓度5g/L，流量50kg/h，要求从溶液中除去分子量为200的污染物，使其浓度从1g/L降至0.1g/L。

10.4.1.2　纤维尺寸和数目

中空纤维膜的最大优点在于其高的膜面积对体积的比，而传递系数与其他膜仍相差无几，但并不是纤维越细越好，其内径受悬浮进料液中颗粒大小和黏度的限制，而壁厚受纤维强度最低要求所限。一定内径的纤维，长度受压降或传质参数确定的上限制约，过长的纤维，膜两端压降过大，产生过高超滤速度，引起Starling流动或回过滤，使分离效率下降，同时过大的压降，不需要一次流程就可达到溶质迁移的要求，表明浪费了纤维过长部分。但纤维太短也不行，一是一次流程达不到溶质迁移要求，需要再循环；二是制造费用高，因为要保持一定的膜面积，要用更多的外壳和端封，且端封中大量纤维无效，浪费了潜在的膜面积。

在一定进料流速和膜两端压降下，所需纤维数目N由式（10-65）表示：

　　（10-65）

式中，η为溶液黏度；L为有效纤维长度；Qf为进料流速；TMP为膜两端压降；rti为纤维内径。

纤维数目的第二个限制是提供足够高的传递速度所需的膜面积。若在设计前提下，试验已知1m2膜面积的渗析器的产水量为q（mL/min），则由下式可求得N：

　　（10-66）

式中，Am=Qf/q。

图10-18中表明式（10-65）和式（10-66）所代表的三种内径的纤维数目与长度的关系。起源于左下角的三条曲线是据式（10-65）而得，起源于左上角的是据式（10-66）而得。从相应内径纤维的曲线交点可以看出：对内径为125μm的纤维，L=85cm，N=5.6×106；对内径为250μm的纤维，L=240cm，N=1.0×106；对内径为375μm的纤维，L=440cm，N=3.6×105；它们都可符合设计前提的要求。

10.4.1.3　流动样式

渗析器中，进料液和透析液的流动可呈逆流或并流，也可呈垂直流等样式和透析液充分交换，其中逆流和垂直流有最好的传质特性，逆流有最大的透析液进口和进料液出口间的浓度差。

萃取率E［式（10-48）］是透析器传质性能最有意义的量度，在Nt［式（10-51）］和Z［式（10-52）］相同的情况下，逆流样式的E值最高，即逆流效率最好。

在相同雷诺数下试验垂直流和并流，垂直流的舍伍德数比并流的大一个数量级。

同样，在相同的Z值下，逆流和垂直流的总传质阻力和总传质性能是相近的。所以通常情况下，进料和透析液的流动样式取逆流。

10.4.1.4　壳侧压降

①壳侧压降的对比在相同的雷诺数下进行比较合理，如3种外径不同的纤维在Re=100时，其流速相差很大，数据如下：

Re=100，纤维外径/μm　相应流速/（cm/s）

　　　　　　　170　　　　　　　59

　　　　　　　295　　　　　　　37

　　　　　　　440　　　　　　　23

②设外径为295μm的纤维呈三角形排列，堆砌率为0.5，用自由表面模型比较垂直流和并流，两者压降相近。当然，实际上由于纤维填充的松紧、纤维变形扭曲和外径不均等，实际压降比模型预测的要高得多。

③通常设计中多选择并流，这是由于设计简单、可预测性好、组件之间一致性好等原因。

10.4.1.5　总传质性能预测

①K　如前所述，要评价E，就要知道总传质系数K，根据渗析器的构型和流体动力学以及膜和溶质的性质可以评价K：

　　（10-67）

求得各个传质系数，则可求得K。

②Km　Klein等［16］对内径分别为125μm和250μm、壁厚都为22μm的纤维进行了计算，发现对分子量为200的溶质，Km为4.0×10-4cm/s，而对内径为375μm、壁厚为32μm的纤维，Km为3.1×10-4cm/s。

③Kd　选择纤维的堆砌密度φ=0.55～0.60，由下式可计算Shd：

　　（10-68）

根据Shd=KdL/D，可求出Kd，见表10-3。

④Shw　将膜的Km和透析侧传质系数代入下式可求得纤维壁处的舍伍德数Shw：

如表10-4所示。

⑤Kf　根据表10-4中的Shw和Z*值通过公式Shf=1.62Z*-0.33，可得出Shf，进而可通过式（10-33）计算进料侧传质系数Kf，如表10-5所示。

⑥R　总传质阻力可通过将上述各传质阻力相加来确定，如表10-6所示，从中可以看出膜的阻力约占2/3。

⑦Nt和E　已知K，则可计算Nt和E，见表10-7。

这里E=75%，达不到所要求的90%，故应改变相应参数来达到，如增加透析流速，Kd也增加，Z=0.25，则E也将增加；再增加纤维数目，Qf不同，TLP下降，Kf也减小，而Qd也相应增加，这时Z=0.17，则E可达90%，如表10-8所示。

10.4.1.6　膜组件设计

在上述设计和计算下，用内径为125μm和250μm的两种纤维制备膜组件，所要求的纤维数分别为8.4×106和1.5×106，长度分别为85cm和240cm，若φ=0.55，125μm纤维的组件内体积为295L，250μm纤维组件内体积为445L。

对外壳内径为25cm的组件，要7个85cm长的含内径125μm纤维的组件，或是要4个240cm长的含内径250μm纤维的组件，都可满足设计前提要求。相比之下，4个长的含内径250μm纤维的组件更好些，因为它们占有更多的内体积，端板少，接头少，易连接，而且在实际应用中抗悬浮粒子阻塞。总之，膜组件设计应多方面考虑，力求最佳化。

10.4.2　血液净化膜及透析器［1，8，9，11，16，17］

10.4.2.1　血液净化膜

（1）医用透析膜的特性

医用膜的研制和生产是建立在纺织纤维工业技术的基础上，医用膜的应用是面对医疗，所以首选天然高分子或合成高分子制得的膜材料，同时可以从膜的生产工艺来控制膜结构，以改善膜的选择透过性和生物相容性。医用膜有关领域的关键点见图10-19。

理想的医用透析膜的设计要求是：①对某些溶质具有高渗透性清除率；②适当的水滤过性；③良好的血液相容性；④尽可能小的非特异性吸附性能；⑤避免对透析液回滤；⑥不释出萃取的热原；⑦可接受无害消毒方法；⑧具有便于临床使用的足够的机械强度。

（2）血液透析膜“家谱”

透析膜种类繁多，且聚合物的化学成分和结构大不相同，简单地通过标准名称来比较各种膜的性能和生物相容性将会引起混淆。1988年Michael Lysaght提出“透析膜家谱”，以后不断有修改和补充［1］。

透析膜家谱中包含由两个主要分支组成的树干，即纤维素膜系统和合成聚合物膜系统，见图10-20。

在纤维素膜系统中，再生（未改良型）纤维素膜是传统的血透膜，其中铜仿膜占有的市场最大。再生纤维素膜因其生物相容性方面的缺陷，需将纤维素聚合物的分子单元——纤维二糖的糖基进行化学修饰。纤维二糖由1，4-β-葡萄糖键连接的两个葡萄糖分子组成，葡萄糖分子含有的3个羟基（—OH）可以进行化学反应，如与二乙氨基乙基簇（DEAE）醚化成血仿膜（hemophan），与苄基醚化成改良型纤维素膜（SMC），与醋酸酯化成醋酸纤维素膜，与聚乙二醇链接枝聚合成聚乙二醇纤维素膜（PEG-RC）。生物相容性的改善取决于置换物的形式，而不取决于置换物量的大小，经过以上改良后，膜的大多数已知的生物相容性参数都得到很大改善。

透析膜中第二个主要分支是合成聚合物膜，主要是通过在疏水性基团上采用亲水化技术，如添加聚乙烯吡咯烷酮（PVP）、聚乙二醇、聚丙烯酰胺、聚甲基丙烯酸磺酸酯等改性，使得聚合膜的生物相容性得以改善。从改性方法上，合成聚合膜又可分为四个子分支（即天然亲水性、过程亲水化、混合亲水化和处置亲水化）。

（3）常用透析膜的特点

①再生型纤维素膜——铜仿膜　铜仿膜（cuprophan）是使用最广泛、科学论证最充分的传统再生纤维素膜，生产过程中将纤维素溶于氧化铜氨溶液（而不是NaOH）中，将其挤压成具有铜氨基团的纤维素膜。在全世界超过4.5亿次治疗中，铜仿膜的生物相容性和药理安全性以及可靠性已一再得到确认。根据菲克定律，膜的扩散透析率与它的厚度有关。铜仿膜均可耐受环氧乙烷气体（ETO）消毒（干法）和蒸汽消毒（湿法）。但由于膜会激活补体，可出现白细胞暂时性下降、血液中氧分压下降、过敏综合征等反应。长期使用此膜后血液中β2-微球蛋白含量显著升高，因此其血液相容性有待提高。据报道，采用聚氨酯或聚丙烯腈处理后，其血液相容性有所改善。

②血仿膜　血仿膜（hemophan）是天然纤维素（棉花）DEAE（二乙氨基乙基）的改性膜，在干燥状态下无空隙结构，在与水接触后膨胀成多孔结构。血仿膜的特点如下：a.激活补体活性低，由于DEAE替代了部分羟基，且其醚化部分不及再生纤维醚化的1%，另外吸附凝血因子比再生纤维膜高三倍，故降低了补体旁路活化反应；b. DEAE基具有正电荷，吸附具有负电荷的肝素，通过肝素稀释液（1500IU/L）先预吸附30～60min，可减少膜表面的血凝集，在血透过程中，只要用低剂量肝素即能达到抗凝效果，故不会增加出血风险；c. DEAE基表面层也会吸附低密度脂蛋白（LDL）和极低密度脂蛋白（VLDL）；d. DEAE基的正电荷会增强带负电荷的无机磷酸盐的渗透性，增加磷酸盐的清除，对β-微球蛋白的清除率在10%～15%之间；e.能接受环氧乙烷（ETO）气体消毒和伽马射线、热蒸汽的消毒。

③醋酸纤维素膜　醋酸纤维素（cellulose acetate）膜是将纤维素在形成膜前先乙酰化，这种膜的通透性在中分子范围比同类规格普通再生纤维素或铜仿膜大，并有较高的超滤率。

④聚合膜　合成高分子聚合膜克服了纤维素膜化学稳定性和生物相容性较差的缺点，并满足膜溶质渗透性和湿强度的要求。采用嵌段、共聚、接枝等工艺制膜，可以适当控制亲水性和疏水性基团比例，形成亲水性密集对称均匀性膜结构，或在膜表面形成超薄的高度交联不对称微细结构。这些膜均具有良好的膜稳定性和热稳定性，以及良好的生物相容性。近些年应用聚合膜的比例增加，但价格较昂贵。由于膜强度好，此类膜有望作为选择透析器重复应用的对象。

血液净化的各种功能膜见表10-9。

目前透析器膜材料主要为纤维素及合成多聚体，存在膜孔径形状不规则、大小不均一的缺点。为避免丢失有用的大分子物质，膜的截留分子量须小于这些物质的分子量，由于孔径大小不均一，使得平均孔径远小于截留分子量对应物质的粒径，因此对中大分子物质清除效率低。近几年来，人们将纳米技术用于透析器膜材料制造的研究。采用纳米技术制造的膜的特点是孔径大小和形状均一，以长方形孔取代以往的圆孔，理论上多数膜孔径可接近截留分子量对应物质的粒径，超滤率及中大分子物质清除率均增加［18］。现已问世的有Fresenius FX系列滤器，在原有聚砜膜滤器FS系列基础上采用纳米技术铺膜拉孔，使膜孔径大小均一，对中大分子物质的清除率增加［19］。

10.4.2.2　血液透析器［1，2，4，8，9］

①1944年，Kolff和Berk用“旋转鼓”人工肾示范了血液透析的可行性，血液在包有纤维素膜的“鼓”内流动，而该“鼓”在透析液浴中旋转。

②1956年，Kolff等开发了螺旋式赛璐玢管膜透析器，又称为卷筒式（coil）透析器，它是由膜管隔一层塑料网螺旋状卷起来形成的，血液在管内流动，渗析液在管外轴向流过网格空间，如图10-21所示。

③1960年Kiil开发了板框式透析器（又称为平板型透析器），和工业用的板框型渗析器一样，也是逆流操作。它是可重复使用的装置，每次只要拆开它换膜即可。由于重复使用过程中拆洗的人工费用高，所以发展成为一次性板框式透析器（又称为多层平板透析器），其结构比重复使用型更紧凑，且制成已消毒的产品出售，如图10-22所示。

④1966年中空纤维透析器（又称为毛细管型透析器）首次应用成功，很快获得了普及并取代了上述其他品种的透析器。这是由于其易于制备，结构小巧紧凑，性能可靠，使用方便和价格低廉，可以是一次性的，也可以为同一病人重复用多次。其基本结构如图10-23所示。中空纤维透析器的制备方法是：置一束中空纤维于一外壳中，两端用密封胶将纤维束进行端封，形成管板。透析器两端各有一垫圈和端盖，形成血液接出部，使血液从这里流入和流出中空纤维的内腔（管程）。紧靠两端管板端封的内侧的外壳上各有一个接嘴，供透析液流入和流出壳侧的空间（壳程），这与管式换热器相仿。透析器的外壳和端盖通常由透明的工程塑料制成，如聚碳酸酯或苯乙烯-丙烯腈共聚物，形成管板的端封剂多为聚氨酯（Eplthane-3）或环氧树脂，管板和端盖间的垫圈是用硅橡胶弹性体制备的。

现代透析器的质量标准是非常重要的，主要包括：a.从聚氨酯中不释放出环氧乙烷；b.蒸汽消毒；c.清除特定的尿毒素；d.膜具有生物相容性；e.无血栓形成；f.聚氨酯不含亚甲基二苯胺；g.纤维束不漏血、不堵丝；h.有良好的流动条件；i.透析液反滤率低，不使热原、细菌、病毒、铝离子和铁离子及硝酸盐等回吸；j.不与抗凝剂发生不良反应；k.透析器是重要的医疗消耗用品，属于Ⅲ类医疗器械，在研究部门经过严格体外、体内性能测试和生物学试验合格，上报卫生管理部门批准后才能上市。上市的透析器必须给医院提供透析器技术数据，明确说明使用性能。选择使用透析器应考虑：a.透析器性能（包括水的超滤和大分子、中分子、小分子溶质的清除性能等）；b.透析器的生物相容性，包括透析膜、外壳、封装物质、生产、消毒、流动性能等（短期和长期并发症）；c.预充血量和透析器顺应性；d.残留血量和无凝血倾向；e.重复使用的价值；f.透析器价格。

为保证透析器安全使用，透析器厂商都应注明“一次性使用”。为了节省费用，各透析中心自己负责解决透析器的复用问题。尽管在复用消毒剂和操作上有改进的可能，但对于复用可能引起的感染、透析效率降低等风险仍令人担忧。表10-10给出了部分透析器的技术数据。

根据透析器的超滤系数Kuf［mL/（mmHg·h）］，即每小时、每毫米汞柱压力下透析器超滤的水的毫升数），可把透析器分为低通量透析器和中通量透析器和高通量透析器。其中低通量透析器的Kuf<10mL/（mmHg·h），高通量透析器的Kuf>20mL/（mmHg·h），中通量透析器的Kuf介于二者之间。高通量透析器比低通量透析器能清除更多的中分子量毒素，其高毒素清除率及高超滤作用使其成为目前最合理的透析方式。临床上常通过应用高通量血液透析来调节慢性肾衰竭患者的钙磷代谢平衡、增加β2-微球蛋白（β2-MG）的清除率、改善血脂代谢紊乱及改善营养状况等。但高通量血液透析在应用过程中亦存在一些问题，如细菌等微生物可能通过透析膜进入血液，对透析用水和透析液的质量控制要求较高等。提高跨膜压使血液侧压力高于透析液侧压力及使用超纯透析液是保证高通量透析治疗顺利进行的关键［20］。

而超高通量或高截留分子量（high cut-off，HCO）透析器与高通量透析器相比，能允许分子量更大的物质通过，同时也可能丢失部分血清蛋白。目前临床实验上已有采用高截留量滤器血液透析（high cut-off-hemodialysis，HCO-HD）治疗多发性骨髓瘤（multiple myeloma，MM，轻链蛋白所致管型肾病）伴急性肾功能衰竭患者。由于轻链蛋白分子量为25000～50000，超过传统滤器的截留分子量，传统HD无法清除。初步临床研究显示HCO透析器用于慢性肾衰患者可改善贫血，降低高同型半胱氨酸血症，降低血浆糖基化及氧化蛋白质水平，但还缺乏大型随机对照研究观察其对患者预后的最终影响，因此目前还未真正进入临床使用阶段［19］。

透析器在血液透析过程中需要放在透析机上配合使用，而透析机主要有3大功能：提供体外血液循环的动力；配置、供给透析液及控制容量平衡；监测循环系统完整性及各项治疗参数。目前血液透析治疗的一大缺点是患者必须频繁到医院接受治疗，对患者工作及生活造成极大不便。为解决这一问题，便携式透析装置（wearable dialysis device，WDD）的研究发展迅速［21］。WDD技术的核心是联线再生及循环使用透析液，其中再生是通过吸附技术清除透析液中的尿毒症毒素。Gura等人提出利用再生性透析（regenerative dialysis，REDY）吸附技术，包括利用尿素酶、磷酸锆、乙酰氧化锆和活性炭等再生透析液。Ronco等人提出便携式连续腹膜透析装置，通过双腔导管持续注入及引出腹透液，腹透液经活性炭、聚苯乙烯及离子交换树脂再生。赵长生等人提出佩戴式人工肾，通过解决微型泵和微型监测装置的制备技术和透析液的高效再生，提高尿毒症患者的生活质量。目前便携式透析装置尚处于研究开发阶段。

10.4.3　其他渗（透）析器

10.4.3.1　工业用渗析器［4-6］

早期的工业用渗析器有三种构型——桶式、板框式和管式，虽然都有有关的设计和实验研究，但只有板框式获得广泛应用，而其他两种没有商品化。

①Cerini渗析器可作为桶式的代表，1928年在意大利开发成功，这也是第一个工业渗析器，用于从人造纤维生产的废水中回收NaOH。其结构如图10-24所示，即3m×1.5m×1.2m的桶，内有50个膜袋，总膜面积达300m2。每个膜袋内部由金属网支持，各自与进水接通，进料从下向上流动，从顶部溢出，其中的碱透过膜到膜袋内。这种渗析器已成为历史。

②板框式渗析器有多种设计，如Tuwiner式和Graver式等，板框式渗析器可用比桶式渗析器更薄的膜，膜的水通量比桶式的高5～10倍。渗析器的板框可用PVC来制作，两个框、两张膜和两只垫圈构成了渗析器的基本单元，其中一个框内流进料液，另一个框内流渗析液。一个渗析器可由150个基本单元组成，如图10-25所示。在逆流操作中，低密度的渗析液向下流，相邻室里的高密度的进料向上流，这样，渗析液中溶质浓度不断升高，进料液中溶质浓度不断下降，渗析液侧压力比进料液侧略高为好，以使膜紧压在进料框上。

③中空纤维渗析器　Enka AG型铜氨中空纤维膜也曾用于工业试验，纤维外径为200μm，壁厚为16μm，制成有效长度为28cm的渗析器，两端用PU密封，固化后，切削两端使纤维开孔，制成管板，每个渗析器的有效面积为11.3m2，堆砌密度为板框式的40倍。

Sepracor Inc.产的工业用渗析器（图10-26）所用中空纤维是由PAN或再生纤维素制成的，纤维外径为200μm，纤维两端以环氧树脂黏合，固化后，切削两端制成管板，端部用O形圈与外壳间形成密封，其中规格为12L的渗析器中空纤维的膜面积为65m2。它不仅可用于水-水溶液的渗析中，也可用于水-有机物溶液的萃取。

在进料和渗析液是有机溶剂的场合，外壳优选材料是不锈钢，尼龙也在考虑之列，端封剂限于环氧树脂和聚丙烯，密封圈材质是氟橡胶或外有氟材料涂层的弹性体。在蒸汽原位消毒的场合，可选用不锈钢外壳、环氧树脂端封、乙丙橡胶弹性体密封圈。

10.4.3.2　实验室用透析装置［23］

实验室用透析装置主要包括透析袋以及小型透析实验装置。

①透析袋　透析袋通常是一种含有半透膜的袋状容器，其主要被用于在生物大分子的制备过程中对少量有机溶剂、盐、生物小分子杂质的去除和对实验样品的浓缩。这类透析技术中的核心部件是专用透析膜，通常是将半透膜制成袋状，将生物大分子样品溶液置入袋内，用透析袋夹子密封透析袋两端后将其浸入水或缓冲液中。随着透析的进行，样品溶液中的生物大分子被截留在袋内，而盐和小分子物质不断扩散、透析到袋外，直到袋内外两边的浓度达到平衡为止。在透析过程中还可以定时更换袋外的水或缓冲液来进一步透析去除袋内的杂质。保留在透析袋内未透析出的样品溶液称为保留液，袋（膜）外的溶液称为渗出液或透析液。

透析膜可用动物膜和玻璃纸等制成，而使用最多的是用纤维素制成的透析膜。商品透析袋一般制作成管状，其扁平宽度为10～50mm不等。透析袋的规格一般通过截留分子量来确定。所谓截留分子量（MWCO）即留在透析袋内的生物大分子的最小分子量。比如若透析袋的截留分子量为5000，一般是指理论截留分子量为5000，也就是说分子量小于5000的分子会漏出透析袋，而高于5000的分子会留在透析袋里面，一般是一个统计范围。商用的透析袋有100～500、500～1000、2000、3500、5000、8000、10000、20000、50000、100000、300000等规格。

透析袋在使用时，一端用特制的透析袋夹子夹紧（也可以使用橡皮筋或线绳扎紧），由另一端灌满水，用手指稍加压，检查不漏后方可装入待透析液。装液时通常要留三分之一至一半的空间，以防透析过程中袋外的水和缓冲液过量进入袋内后将袋子胀破。为了加快透析速度，除可多次更换袋外透析液外，还可使用磁子搅拌浸泡透析袋的透析液，透析的容器可以选择容量稍微大一些的烧杯、量筒或塑料桶。

②小型透析实验装置　其构型和板框式透析器的构型类似，主要用于探究处于实验阶段的膜材料的透析性能和溶液的分离纯化。在20世纪50年代和60年代，透析用于实验室主要是为了纯化生物溶液或分离大分子。Craig在20世纪60年代的一系列论文中所使用的实验室透析器如图10-27所示。超滤膜直到20世纪60年代末才开始被使用，这个装置是当时分离许多大体积生物溶液的唯一方法。

10.4.4　过程和系统设计［4，6］

渗析可以两种基本操作方式进行：间歇式和连续式。

10.4.4.1　间歇式

①如图10-28所示，容器的体积为V，内有进料液，浓度为cf，通过渗析器进行循环渗析，渗析液进口浓度为cdi，进料和渗析液进入渗析器的流速分别为Qf和Qd，渗析液从出口到回收系统。该流程可用于从高分子量产物中除掉低分子量杂质，也可用于进料反应器中回收高分子底物催化水解的低分子产物。

②过程中容器内的质量平衡为：

　　（10-69）

体积平衡可写为：

　　（10-70）

式中，V0为容器的初始体积；Quf为进料到透析液的超滤速率。

上两式整理可得：

　　（10-71）

对式（10-71）积分并重排之可得：

　　（10-72）

式中，b=（D*-Quf）/Quf；为初始进料浓度。

若不发生超滤，即Quf=0，则

　　（10-73）

　　（10-74）

③用于进料反应器，设底物到反应器的流速为Qr，底物转变为产品的速率为G，则

　　（10-75）

积分形式为：

　　（10-76）

式中，g=（D*-Quf+Qr）/（Quf-Qr）。

10.4.4.2　多级操作

为了提高渗析分离的选择性，可用多级操作。该操作可提高萃取率E值，改进不同分子量的两种溶质的分离。

设整个系统中Qf=Qd，则

　　（10-77）

式中，Nt为传递单元数；n为串联的级数。

例如，两种溶质A和B进行逆流操作分离，Qf=Qd，这里EA=0.33，EB=0.60，NtA=0.5，NtB=1.6，选择性为EB/EA=1.82。若用三级串联，由式（10-77）可知，EA=0.11，EB=0.77，选择性提高到7.0。

10.4.4.3　连续逆流操作

渗析过程的物料衡算如图10-29所示。

当溶质为单一组分时，假定Qa和Qb都不变，则溶质穿过膜dA，从溶液向溶剂传递的速率方程可表示为：

　　（10-78）

　　（10-79）

式中，U0为总传质系数；A为渗析膜面积；W为溶质传递量；Qa为溶质流量；Qb为溶剂（渗析液）流量；ca为溶液中的溶质浓度；cb为渗析液中的溶质浓度。

由式（10-79）得：

　　（10-80）

　　（10-81）

　　（10-82）

所以

　　（10-83）

将式（10-83）代入式（10-78）得

　　（10-84）

　　（10-85）

假定总传质系数U0为一定值，则式（10-85）对整个渗析器进行积分

　　（10-86）

　　（10-87）

　　（10-88）

故

　　（10-89）

将式（10-89）整理后得

　　（10-90）

式中，Δcim为对数平均浓度差；cai和cao分别为溶液中的溶质进、出口浓度；cbi和cbo分别为渗析液中的溶质进、出口浓度；W为溶质传质量；A为膜面积；U0为总传质系数。

式（10-90）为渗析方程式，经常使用。