2.4 容错控制过程

2.4.1 无故障时系统PDF最优跟踪控制律的设计

PDF跟踪控制算法的目标是选择一个控制输入使系统的实际输出PDF尽可能跟踪一个事先给定的连续PDFg（y），g（y）也是定义在[a，b]上的函数，且与控制输入u1（t）无关。类似于对γ（y，u（t））的逼近，目标PDF也可以用有理平方根B样条模型描述如下。

为实现跟踪，当系统无故障时，采用如下的二次型性能指标。

其中，R=RT＞0，Bζ1（t）=Bu1（t）+AVg，Vg是期望目标的一个伪权值向量。当系统正常工作时，F=0，将式（2.2）和式（2.28）代入式（2.29），显然不能直接应用线性二次型准则求解。为此，我们转换控制策略，采用次优控制思想，并构造如下的线性二次型性能指标代替式。

式中，e1（t）=V（t）-Vg为输出伪权值向量和目标伪权值向量的跟踪误差，误差模型为

不难发现，式（2.30）和式（2.31）是一个典型的二次型最优调节问题。虽然这是一个次优控制，但是只要式（2.31）达到最小值，则原目标函数式（2.29）也达到了最小值，这样处理可简化控制算法。应用经典的控制理论不难求出反馈增益矩阵K，当B为非奇异时，可得到控制量为

因为伪权值未知，所以要使用控制器u1（t）还须估计出状态变量（伪权值）。对于B样条函数逼近方法，通常有两种方法获得权值向量，一种是参数估计法，另一种是状态观测器法。参数估计法主要是利用最小二乘原理[8][12]，但这个方法只适用于线性和平方根B样条模型，因为它们的权值是唯一的。对于有理或有理平方根B样条模型来说，用这个方法得到的真正权值来获得伪权值时就会出现问题，因为伪权值不唯一，所以参数估计法不能用来获得伪权值。

因此，设计如下非线性观测器。

其中，是观测器的状态变量；H是具有合适维数的观测器增益矩阵；ς（t）是残差。

将代替V则得到实际控制器为

在控制律[见式（2.34）]的作用下，动态系统式（2.2）在正常工作时，其输出概率密度函数跟踪了给定的分布。

当t＞tf时，系统出现故障，F≠0。为了使系统输出的概率密度函数仍能跟踪给定的分布，可利用诊断出的故障信息进行故障重组。

2.4.2 故障重组

故障重组的任务是使出现故障后系统的输出概率密度函数仍能跟踪给定的分布。故障估计出后，。为求出故障重组后的控制器u2（t）重新定义性能指标如下。

同样构造如下线性二次型性能指标。

其中，e2（t）=V（t）-Vg。

注释2.1 容错控制时定义的性能指标是瞬时性能指标，因为当系统发生故障时，随机系统的输出不会再完全跟踪给定的概率密度函数。

让ζ2（t）考虑故障的影响，令。u2（t）为要重新设计的控制器，仍对误差模型进行二次型最优调节，则可得到

在控制律u2（t）的作用下使得性能指标式（2.36）达到最小，从而使目标函数式（2.35）也达到最小。在实际应用中，系统状态一般不能直接得到，仍用式（2.33）的状态观测器来估计故障发生后动态系统的状态，用观测状态代替系统的状态，得到实际的重组控制器为

通过对控制律u1（t）重新设计，得到控制律u2（t）可使得故障发生后系统输出概率密度函数仍能跟踪给定分布。