7.3　名校考研真题详解

一、选择题

1信号的奈奎斯特抽样频率为，则信号的奈奎斯特抽样频率为（　　）。[北京航空航天大学2007研]

A．　

B．　

C．　

D．　

E．都不对

【答案】C

【解析】的奈奎斯特抽样频率为，所以最高频率，最高频率。频率，则对应最高频率：。其奈奎斯特采样频率：。

2若信号的奈奎斯特采样频率为，则信号的奈奎斯特采样频率为（　　）。[北京邮电大学2009研]

A．　　　

B．　　　

C．　　　

D．

【答案】C

【解析】的奈奎斯特采样频率为，则的最高频率为。又因为的最高频率为

，则由卷积定理和傅里叶变换性质，的频谱为：其最高频率为，则其奈奎斯特采样频率为。

3已知，的频带宽度为，则信号的奈奎斯特间隔等于（　　）。[西南交通大学2006研]

A．　　　　　

B．　　　　　

C．　　　　　

D．

【答案】A

【解析】根据时域和频域之间关系，可知若时域扩展，则频域压缩。所以若的频带宽度为，则信号的频带宽度为。所以，其奈奎斯特采样频率为，即奈奎斯特间隔等于。

二、判断题

某连续时间信号进行理想采样，采样间隔，则连续域内的频率点1000Hz对应于离散域内的角频率值为0.25。（　　）[华南理工大学2008研]

【答案】错

【解析】由离散域角频率与连续域角频率的关系，得。

三、填空题

1带限信号的最高频率为，若对在时域进行理想抽样，为使这一抽样信号通过一低通滤波器后能完全恢复原信号，则抽样频率应满足______；若对以进行抽样，低通滤波器的截止频率应满足______。[中国传媒大学2009研]

【答案】1000Hz；500Hz~750Hz

【解析】若的最高频率为，则的最高频率为，的最高频率为

，所以的最高频率为100Hz，则

的最高频率为。所以抽样频率应满足。

当，，则低通滤波器的截止频率应满足，即500Hz～750Hz。

2对理想抽样的不失真抽样间隔为______。[四川大学2007研]

【答案】

【解析】可将化为2个相同的采样函数相乘的形式，再令每一个取样函数的最高频率，则利用公式，可得：。

3已知信号的最高频率100Hz，则对信号进行均匀取样时，其奈奎斯特（Nyquist）间隔抽样间隔等于______。[西安电子科技大学2010研]

【答案】0.01s

【解析】由题设可知，对于，。因此对于（时域展宽，频率压缩；相反，时域压缩，频率展宽）。所以，则

四、简答题

什么叫信号的“抽样”？根据抽样脉冲序列的不同，抽样分为哪两种形式？[重庆大学2009研]

答：信号的抽样是利用抽样脉冲序列p(t)从连续信号f(t)抽取一系列的离散样值，这种离散信号通常称为抽样信号。根据抽样脉冲序列信号的不同可以分为矩形脉冲抽样，冲击抽样。

五、计算题

1如图7-1（a）所示系统，激励，系统的频谱特性如图7-1（b）所示，

。

（1）画出的频谱图；

（2）欲从中无失真地恢复，求最大抽样周期；

（3）画出在奈奎斯特抽样频率时的频谱图；

（4）在奈奎斯特抽样频率下，欲使响应信号，试问应具有什么样的特性？

（5）若如图7-1（c）所示，问应如何调整抽样频率。才能保证无失真地恢复？此时的最低抽样频率为多少？[华中科技大学2007研]

图7-1

解：由常用傅里叶变换可知，再结合变换的对称性，可得：

的频谱如图7-2（a）所示。

（1）由框图可知，故其频谱图为如图7-2（b）所示。

（2）由框图可知，则，其中。最小抽样角频率，所以：。

（3）奈奎斯特抽样频率，此时的图形如图7-2（c）。

图7-2

（4）通过观察的图形可知，在奈奎斯特抽样频率下，欲使响应信号，应具有如下特性：

（5）要保证经后得到，则要求。此时须有抽样频率。

2已知时限信号，是的傅里叶变换。今以频域冲激序列

对采样，得到，其中，是频域采样间隔。

令为的傅里叶逆变换，再以时域冲激序列对进行时域采样，得到

，式中，，，为正整数。

（1）的选择满足频域采样定理，请确定的选择原则；

（2）画出及其傅里叶变换的图形，并请标明特征点；

（3）求和的表达式；

（4）上述处理过程中对连续信号进行数值谱分析的基础，在一般意义下，若忽略度量化误差和运算舍入误差的影响，我们能通过DFT准确得到原连续谱的等间隔样值吗？为什么？[清华大学2007研]

解：（1）根据频域抽样定理我们知道，采样速率必须大于或等于原信号的时宽，所以

（2）由常用傅里叶变换可知，。则

由题意，为的傅里叶逆变换，则

此时可得

根据时域抽样定理，可得

由表达式可以画出及其傅里叶变换如图7-2所示。

图7-2

（3）上问中已经求出和的表达式如下：

（4）不能。DFT来自DFS，即周期离散时间信号的傅里叶级数，其时域和频域都呈现周期性，DFT的值是DFS主值区间上的值，这实质上是本题中的处理过程，即分别在频域和时域采样，也是分别在时域和频域进行周期延拓。一般情况下，这个过程都会出现混叠，因此，即使不考虑量化误差和舍入误差，也无法从DFT准确得到原连续谱的等间隔样值。

3如图7-3（a）所示一抽样系统，如果是实信号，且其频率谱函数为，如图7-3（b）所示，只在为非零值，。

（1）求为使信号通过低通滤波器不失真，其截止频率，并画出输出的幅度频谱的波形；

（2）确定能从恢复的最大抽样周期。[东北大学2003研]

（a）

（b）

图7-3

解：（1）根据傅里叶变换性质，的频谱为，如图7-4（a）所示。因为，所以

，

则　　　　　　　　　　　　　　

输出的幅度频谱，是将的频谱与一个截止频率为的低通滤波器频谱相乘，波形如图7-4（b）所示。

（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　 （b）

图7-4

（2）由系统框图可知，是将进行抽样得到的，抽样周期为T。根据抽样定理，可知最低抽样频率为，则最大抽样周期为：。

4设为带限信号，频带宽度为，其频谱如图7-5所示。

（1）分别求、的带宽、奈奎斯特抽样频率与奈奎斯特采样间隔；

（2）设（秒），用抽样序列对信号进行抽样，得抽样信号，求的频谱，画出频谱图；

（3）若用同一个对，分别进行抽样，试画出两个抽样信号，的频谱图。[湖南大学2007研]

图7-5

解：（1）由图7-5可知，的带宽为8，则由尺度变换性质，的带宽为16，可得：

，

的带宽为4，则：，

（2）因为的带宽为8，所以则，，可知此时是在以奈奎斯特抽样频率进行采样。

所以，则：

其频谱图如图7-6所示。

图7-6

（3）由于抽样频率不变，所以的频谱为，其中；的频谱为，其中。则的频谱图如图7-7所示。

图7-7

的频谱图如图7-8所示。

图7-8

5假设x₁(t)和x₂(t)均为带限信号，且。现分别对以下两种情况下的y(t)进行理想的冲激采样可得。试分别确定采样周期T的取值范围，以保证能够从采样信号y_p(t)中无失真恢复信号y(t)。

（I）y(t)＝[x₁(t)＋x₂(t)]x₂(t)；

（2）y(t)＝[x₁(t)＋x₂(t)]﹡x₁(t)。[电子科技大学2007研]

解：（1）根据傅里叶变换的频域卷积性质，有

奈奎斯特采样速率：，其中ω＝1200π　　

最大采样周期

（2）

奈奎斯特采样速率：，其中，ω＝200π　

最大采样周期。

6如果对一最高频率为400Hz的带限信号进行抽样，并使抽样信号通过一个理想低通滤波器后能够完全恢复出，问：（1）抽样间隔T应满足的条件是什么？（2）如果以抽样，理想低通滤波器的截止频率应满足的条件是什么？ [北京工业大学2004研]

解：（1）由题意，的最高频率，则那奎斯特抽样间隔为：

所以，抽样间隔T应满足　　　　

可见，此时抽样不会发生频谱混叠。

（2）已知抽样间隔T＝1ms，则抽样频率f_s为：。

由抽样定理可知，应满足，即

7．如图7-9所示的采样系统中，若信号，其采样频率为F_s＝5kHz，且理想低通滤波器LPF的带宽为F_s/2，求：

（1）重构后的连续时间信号y(t)；

（2）若y(t)与x(t)并不完全相等，则如何由采样x[n]精确重构信号x(t)？[浙江大学2009年研]

图7-9

解：（1）由于LPF截止频率为F_s/2，所以截止角频率为5000π，这样只需考虑最高频谱分量小于5000π即可。

输入的频谱如图7-10（a）所示。

采样函数，其频谱如图7-10（b）所示。

 

（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　 （b）

图7-10

若时域相乘，则频域卷积，所以x[n]的频谱如图7-10（c）所示。这里注意，已经把频谱分量高于5000π的都没有表示出来，实际频谱中还有8000π，π等等。经过零阶保持电路，零阶保持电路的冲击响应如图7-10（d）所示。

　　

（c）　　　　　　　　　　　　　　　　（d）

图7-10

最后信号经过带宽为的低通滤波器后，频谱如图7-10（e）所示。

图7-10（e）

所以　　　　　

其中，，所以

（2）通过比较可知，y(t)幅度，相位与x(t)不同，为了精确的获得重建信号，只需将幅度，相位修正一下即可，可以通过如下的滤波器，滤波器的截止带宽只要大于2000π，这里取5000π。

滤波器的幅度响应如图7-11（a）所示，相位曲线如图7-11（b）所示。

　　

（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　 （b）

图7-11

通过以上的滤波器，就可以精确的重构信号了。