7.2　课后习题详解

基本题

7.1　已知实值信号x(t)，当采样频率时，x(t)能用它的样本值唯一确定。问在什么ω值下保证为零？

解：因为为实函数，故是偶函数。由题意及采样定理知的最大角频率

，即当时，

7.2　连续时间信号x(t)从一个截止频率为的理想低通滤波器的输出得到，如果对x(t)完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x(t)在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？

解：因为x(t)是某个截止频率的理想低通滤波器的输出信号，所以x(t)的最大频率就为，由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样点恢复出x(t)，需采样频率，即采样时间间隔从而有（a）和（c）两种采样时间间隔均能保证x(t)由其采样点恢复，而（b）不能。

7.3　在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。试确定下列各信号的奈奎斯特率：

解：（a）x(t)的频谱函数为

由此可见　　　　　　　

故奈奎斯特频率为　　　

（b）x(t)的频谱函数为由此可见

故奈奎斯特频率为　　

（c）x(t)的频谱函数为

由此可见，当

故奈奎斯特频率为。

7.4　设x(t)是一个奈奎斯特率为ω₀的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率：

解：（a）因为的傅里叶变换为可见x(t)的最大频率也是的最大频率，故的奈奎斯特频率为ω₀。

（b）因为的傅里叶变换为，可见x(t)的最大频率也是的最大频率．故的奈奎斯特频率仍为ω₀。

（c）因为的傅里叶变换为，可见的最大频率是x(t)的2倍。从而知x²(t)的奈奎斯特频率为2ω₀。

（d）因为的傅里叶变换为，x(t)的最大频率为，故的最大频率为，从而可推知其奈奎斯特频率为

7.5　设x(t)是一个奈奎斯特率为ω₀的信号，同时设，其中

当某一滤波器以y(t)为输入，x(t)为输出时，试给出该滤波器频率响应的模和相位特性上的限制。

解：p(t)是一冲激串，间隔对x(t)用p(t－1)进行冲激采样。先分别求出p(t)和p(t－1)的频谱函数：

注意是x(t)的奈奎斯特频率，这意味着x(t)的最大频率为，当以p(t－1)对x(t)进行采样时，频谱无混叠发生。由Y（）的表达式可见，Y（）是x（）平移且复指数函数加权之后的叠加，且此采

样使中的每个的复制项均有不同的相移。若想输入y(t)，而输出为x(t)，滤波

器的截止频率ω_c应选择在至之间。因当时故滤波器的幅度频谱只需设置为常数T，相位频谱为0即可，即滤波器的频率响应为，

7.6　在如图7-1所示系统中，有两个时间函数x₁(t)和x₂(t)相乘，其乘积ω(t)由一冲激串采样，x₁(t)带限于ω₁，x₂(t)带限于ω₂，即

试求最大的采样间隔T，以使ω(t)通过某一理想低通滤波器能从ω_p(t)中恢复出来。

图7-1

解：因从而有又因

即ω(t)的最大角频率为于是由采样定理知，对ω(t)采样的最小角频率为从而可求得最大采样时间间隔。

7.7　信号x(t)用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x₀(t)，设x₁(t)是在x(t)的样本上经过一阶保持处理的结果，即

其中h₁(t)是如图7-2所示的函数。试给出一个滤波器的频率响应，当输入为x₀(t)时，该滤波器产生的输出为x₁(t)。

图7-2

解：

7.8　有一实值且为奇函数的周期信号x(t)，它的傅里叶级数表示为

令代表用采样周期T＝0.2的周期冲激串对x(t)进行采样的结果。

（a）混叠会发生吗？

（b）若通过一个截止频率为π/T和通带增益为T的理想低通滤波器，求输出信号g(t)的傅里叶级数表示。

解：（a）由题意知，x(t)的傅里叶级数为x(t)故x(t)的频谱函数为

如图7-3所示，可见x(t)的最大角频率。

图7-3

当采样时间间隔T＝0.2时，采样角频率造成的频谱函数如图7-4所示处由于出现混叠，相互抵消由图7-4可知，当T＝0.2时，采样会造成频谱出现混叠。

图7-4

（b）若x(t)通过一截止频率通带增益为T＝0.2的理想低通滤波器，由图7-4易知，输出信号g(t)的频谱函数为

从而可知g(t)的傅里叶级数表达式为

7.9　考虑信号x(t)为,现想用采样频率，对x(t)进行采样，以得到一个信号g(t)，其傅里叶变换为G(jω)。为确保

求ω₀的最大值，其中x(jω)为x(t)的傅里叶变换。

解：因为

故有　　　　　　　　

即x(t)的最大角频率＝100 π。又因

即有

显然，由于频谱发生混叠，为了保证当最大只能等于

7.10　判断下面每一种说法是否正确。

（a）只要采样周期信号的冲激串采样就不会有混叠。

（b）只要采样周期傅里叶变换为的信号x(t)的冲激串采样就不会有混叠。

（c）只要采样周期傅里叶变换为的信号x(t)的冲激串采样就不会有混叠。

答：（a）因为信号的频谱函数为，即不是带限信号，所以无论采样频率多高，采样的时间间隔多么小，采样必然会导致频谱的混叠。这个论断是错误的。

（b）因为频谱函数为说明x(t)是带限的，且最高频率为，那么根据采样定理知，只要采样频率，即采样时间间隔就可以保证无混叠发生。这个论断是正确的。

（c）设对x(t)进行冲激串采样得到信号(t)，易知

现已知，如图7-5所示。若采样时间间隔,那么。此时如图7-6所示，可见并无混叠发生。那么，当时，就更不会出现混叠了。所以此论断是正确的。

图7-5　　　　　　　　　　图7-6

7.11　设是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：

某一离散时间信号经由而得到。试对下列每一个有关的傅里叶变换

所给限制，确定在上的相应限制：

（a）为实函数

（b）对所有ω，的最大值是1

（c）

（d）

解：将连续时间信号进行离散化处理

（a）要让为实函数，则为实函数

（b）对所有ω，的最大值是1

（c），又，故

此时应满足　　　　　　　　　　　　

又由题目可知

综上所述： 。

（d）

7.12　有一离散时间信号其傅里叶变换具有如下性质：

现该信号被转换为一连续时间信号为

其中T＝10^-3。确定x_c(t)的傅里叶变换保证为零的ω值．

解：由连续时间信号与离散时间处理知：连续时间信号和离散时间信号频率ω的关系为：Ω＝Tω， 所以当连续时间信号为Ω＝ω_d＝3π/4，离散时间信号的频率为：ωc＝ωd/T＝750π。

7.13　参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T，输入x_c(t)为带限，而有。若整个系统具有试求图7-7中离散时间滤波器的单位脉冲响应

图7-7

解：令，则

由x_c(t)可得对应的离散时间信号序列x_d[n]

同理可由y_c(t)可得对应的离散时间信号序列y_d[n]

由上式可得当n＝2时，等式右边恒为0，当n≠2时，上式的极限为，故

所以此滤波器的脉冲响应为：

7.14　假定在上题中有重做习题7.13。

解：令，则总输出

由x_c(t)可得离散时间序列x_d[n]

同理可由y_c(t)可得离散时间序列y_d[n]

恒成立，故

所以此滤波器的脉冲响应为

7.15　对进行脉冲串采样，得到．若试确定当采样时保证不发生混叠的最大采样间隔N。

解：

7.16　关于及其傅里叶变换给出下列条件：

（1）为实序列

（2）

（3）

求。解题时注意到：满足其中的两个条件是有用的。

解：满足第一个和第二个两个条件，但是不满足第三个条件。

因为此信号的傅里叶变换是矩形波，当时，傅里叶变换为0；符合前两个条件，在时是一个矩形，显然满足第三个条件。综上所求的为

7.17　考虑理想离散时间带阻滤波器，其单位脉冲响应为频率响应在条件下为,求单位脉冲响应为h[2n]的滤波器的频率响应。

解：抽样分两步进行，第一步进行脉冲抽样，得到：

由可得抽样频率。

的傅里叶变换为：

图7-8

即是扩展2倍得到的，图像如图7-9所示。

图7-9

故h[2n]理想低通滤波器，截止频率为π/2，通带增益为1。

7.18　假设截止频率为π/2的一个理想离散时间低通滤波器的单位脉冲响应是用于内插的，以得到一个2倍的增采样序列，求对应于这个增采样单位脉冲响应的频率响应。

图7-10

解：两倍的内插会导致频率响应被压缩两倍，内插的脉冲响应相当于一个截止频率为π/4，通带增益为2的理想低通滤波器。

7.19　考虑如图7-11所示的系统，输入为x[n]，输出为y[n]。零值插入系统在每一序列x[n]值之间插入两个零值点，抽取系统定义为其中ω[n]是抽取系统的输入序列。若输入x[n]为，试确定下列ω₁值时的输出y[n]：

图7-11

解：设x[n]经零值插入后得输出z[n]。

（a）各部分输出信号如图7-12（a）所示。

时，，，所以

因此。又由，可得。

（b）各部分输出信号如图7-12（b）所示。

时，，所以

，。

图7-12

7.20　有两个离散时间系统S₁和S₂用于实现一个截止频率为π/4的理想低通滤波器。系统S₁如图7-13（a）所示，系统S₂如图7-13（b）所示。在这些图中，S_A相应于一个零值插入系统，在每一个输入样本之后插入一个零值点；而S_B相应于一个抽取系统，在其输入中每两个取一个。

（a）S₁相应于所要求的理想低通滤波器吗？（b）S₂相应于所要求的理想低通滤波器吗？

图7-13

解：（a）假设如图7-14所示，则傅里叶变换是的输出信号，傅里叶变换是低通滤波器的输出，是的输出，如图7-14所示。显然S₁实现了理想低通滤波器的功能。

（b）假设如图7-14所示，则傅里叶变换是的输出，傅里叶变换是第一个低通滤波器的输出，是的输出信号，傅里叶变换是第二个低通滤波器的输出，如图7-14所示。显然S₂不能实现理想低通滤波器的功能。

图7-14

基本题

7.21　一信号x(t)，其傅里叶变换为X(jω)，对x(t)进行冲激串采样，产生为

其中。关于x(t)和/或X(jω)进行下列一组限制中的每一种，采样定理能保证x(t)可完全从中恢复吗？

解：采样时间间隔，则采样频率

（a）由所给条件知，x(t)的奈奎斯特频率为，因采样频率，故由采样定理知，x(t)能够由x_p(t)恢复得到。

（b）由所给条件知的奈奎斯特频率而采样频率，故由采样定理知，x(t)无法由x_p(t)恢复得到。

（c）虽然已知当时，但不知当时，是否也为0，故无法确定信号x(t)的奈奎斯特频率，所以无法保证能由x_p(t)恢复x(t)。

（d）因为x(t)是实信号，所以是偶函数，即当，则可推知当时，也等于0，从而可知x(t)的奈奎斯特频率采样频率，故由采样定理知，x(t)可由x_p(t)恢复得到。

（e）与（d）同理，由已知条件可知x(t)的奈奎斯特频率，由于采样频率

，故由采样定理知，x(t)无法由x_p(t)恢复得到。

（f）因为若当时，，则当时，。所以由已知条件可推知，当

时，即x(t)的奈奎斯特频率采样频率，故由采样定理知，x(t)可由x_p(t)恢复得到。

（g）虽然已知当时，，但不知当时是否也等于0，故无法确定x(t)的奈奎斯特频率，即无法保证能由x_p(t)恢复x(t)。

7.22　信号y(t)由两个均为带限的信号x₁(t)和x₂(t)卷积而成，即

其中，，。现对y(t)进行冲激串采样，以得到

。试给出y(t)保证能从y_p(t)中恢复出来的采样周期T的范围。

解：因，故。

又当时，。

于是当。

由采样定理知，若采样频率，即时，y(t)能够由y_p(t)恢复。

7.23　如图7-15所示是一个用交替符号冲激串来采样信号的系统。输入信号的傅里叶变换X(jω)如图7-15（c）所示。

（a）对于，画出x_p(t)和y(t)的傅里叶变换。

（b）对于，确定一个能从x_p(t)中恢复x(t)的系统。

（c）对于，确定一个能从y(t)中恢复x(t)的系统。

（d）确定x(t)既能从x_p(t)又能从y(t)中恢复的最大Δ值（相对于ω_m）。

图7-15

解：（a）由图7-15（a）所示系统知，x_p(t)＝x(t)p(t)，从而有

p(t)是个周期信号，周期为2Δ，其傅里叶系数为

故其傅里叶变换为

于是得

注意到即，从而得X_p（）的图形如图7-16所示。

仍由图7-15（a）知

图7-16

因H(jω)是一带通滤波器，上、下截止频率分别为和所以易得Y(jω)如图7-17所示。

图7-17

（b）如图7-18所示系统，可实现用x_p(t)回复x(t)的波形。其中，说明：因

，即。

（c）如图7-19所示系统，可完成由y(t)重建x(t)的任务。其中，

说明：因

故　　　　　　　

即。

（d）由图7-16和图7-17所示的X_p（）和Y（）可见，要能由x_p(t)或y(t)重建x(t)，必须有

即Δ的最大值

7.24　如图7-20所示是一个将输入信号乘以一个周期方波的系统，s(t)的周期是T，输入信号是带限的，且为。

（a）对于利用ω_m确定T的最大值，以使在W(jω)中X(jω)的重复部分之间没有混叠。

（b）对于利用ω_m确定T的最大值，以使在W(jω)中X(jω)的重复部分之间没有混叠。

图7-20

解：如图7-20所示的s(t)可以表示为s(t)＝g(t)－1，其中g(t)如图7-21所示，易知

于是

图7-21

如图7-22所示。

图7-22

又因为，故

可见，W(jω)是被抽样函数（Sa函数）幅度加权且平移了的X(jω)叠加而成的，平移量为2kπ/T，若要不发生频域混叠，应有，从而得到在这种情况下的T的最大值。

（b）若，则

S(jω)如图7-23所示。

图7-23

由图7-23可见，当时，S(jω)＝0，这意味着W(jω)中，两个相邻的

相距4π/T，因此若想不发生混叠，只有

从而得到在这种情况下的周期T的最大值。

7.25　如图7-24所示是一个采样器紧跟着一个用于从样本x_p(t)中恢复出x(t)的理想低通滤波器。根据采样定理知道，若大于x(t)中存在的最高频率的2倍，而且那么重建信号x_r(t)就一定等于x(t)。如果在x(t)的带宽上这个条件不满足，x_r(t)就一定不等于x(t)。本题要证明，如果那么无论选什么T，x_r(t)和x(t)在采样瞬时总是相等的，即为了得到这一结果，将x_r(t)用x(t)的样本值表示成

由于上式变为

只要考虑到的a值，无须对x(t)进行任何限制，由式证明：对任意整数k，都有

图7-24

证明：

当n≠k时，

当n＝k时，

因此成立。

7.26　采样定理表明，一个信号必须以大于它的2倍带宽的采样率来采样（或者等效为大于它的最高频率的2倍）。这就意味着，如果有一个信号x(t)的频谱如图7-25（a）所示，那么就必须用大于2ω₂的采样率对x(t)进行采样。然而，因为这个信号的大部分能量是集中在一个窄带范围内的，因此似乎有理由期望能用一个低于2倍最高频率的采样率来采样。能量集中于某一频带范围内的信号往往称为带通信号（bandoasssitmal）。有各种办法来对这样的信号进行采样，一般统称为带通采样（bandass samoline）技术。

为了研究有可能存一个小于总带宽的采样率下对一个带通信号进行采样，考虑如图7-25所示的系统。假定求能有的最大T值，以及常数A，ω_a和ω_b的值。

图7-25

解：

因为

图7-26

当T增加时，趋于0。

当时，有混叠现象。

如果则当没有混叠。

最大的T为，此时ω₂为0，故，

作出此时的图像，可得。

7.27　在习题7.26中讨论了带通采样和恢复的一种方法。当x(t)为实信号时可用另一种方法，这种方法先将x(t)乘以一个复指数，然后再对乘积采样。采样系统如图7-27（a）所示。由于x(t)为实函数，且仅在时为非零，频率ω₀选为低通滤波器H₁(jω)的截止频率为

（a）若X(jω)如图7-27（b）所示，画出

（b）确定最大的采样周期T，以使可以从x_p(t)中恢复x(t)。

（c）确定一个从x_p(t)中恢复x(t)的系统。

图7-27

解：（a）令，表示的傅里叶变换。是低通滤波器的输出，表示 的傅立叶变，和如图7-28所示。

图7-28

（b）的奈奎斯特率为，因此采样周期T至少为以使能从x_p(t)中恢复x(t)。

（c）从x_p(t)中恢复x(t)的系统如图7-29所示。

图7-29

7.28　如图7-30所示的系统将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号。输入x(t)是周期的，周期为0.1s，x(t)的傅里叶级数系数是。低通滤波器H(jω)的频率响应如图7-30（b）所示，采样周期

（a）证明x[n]是一个周期序列，并确定它的周期。

（b）确定x[n]的傅里叶级数系数。

图7-30

解：（a）因为x(t)的周期T₀＝0.1s，故其基频

则其傅里叶变换为

其中

低通滤波器的截止频率，因而x_c(t)的傅里叶变换为

注意到

则可求出X_p(jω)

X_c(jω)和X_p(jω)分别如图7-31（a）、（b）所示。

图7-31

注意：由于采样时间间隔，采样频率，因而在构成X_p(jω)时，X_p(jω)在等处有叠加。而且由图7-31（b）可看出，X_p(jω)既具有周期性，又都是由冲激串组成的。在图7-31（a）所示系统中，将冲激串x_c(t)变为离散序列x[n]，只是一个频率变换过程。因此，x[n]的频谱与x_c(t)的频谱一样，是周期性的冲激串，因而x[n]是周期的，因为周期离散信号的傅里叶变换是周期的冲激串。

下面求x[n]的周期。不难知x_c(t)的傅里叶级数为

因，即

可将上式右端作为周期序列x[n]的傅里叶级数。因有

而，其中N为x[n]的周期，故x[n]的周期。

（b）在（a）中已得到x[n]的傅里叶级数为，

因为当k＝－10时；当k＝10时，

所以此傅里叶级数也可写为

即x[n]的傅里叶系数为

7.29　如图7-32（a）所示系统利用离散时间滤波器过滤连续时间信号。若和如图7-32（b）所示，以画出和。

图7-32

解：x_c(t)经过冲激串采样得到x₀(t)，采样频率

易知采样后信号的频谱

X_n(jω)如图7-33（a）所示。

由冲激串x_p(t)转换为序列x[n]，在频域中进行了频率归一化，即若将X_p(jω)表示为X_p（jΩ），而x[n]的频谱函数用X(e^jω)表示，则

X（e^jω）如图7-33（b）所示。

x[n]通过截止频率为π/4的低通滤波器得到y[n]，易知

Y（e^jω）如图7-33（c）所示。

由序列y[n]转换为冲激串y_p(t)，若y_p(t)的频谱函数用Y_p（jΩ）表示，则

Y_p（jΩ）如图7-33（d）所示（图中Ω换成为ω）。

y_p(t)再通过截止频率为，通带增益为T的低通滤波器，得到y_c(t)，易知

如图7-33（e）所示。

图7-33

7.30　如图7-34所示系统由一个连续时间线性时不变系统接一个采样器，转换为一个序列，再后接一个离散时间线性时不变系统。该连续时间线性时不变系统是因果的，且满足如下线性常系数微分方程：

输入是一个单位冲激函数

（a）确定y_c(t)。

（b）确定频率响应和单位脉冲响应使得有

图7-34

解：（a）因为连续LTI系统的输入-输出方程为

可得其系统函数为

又因该系统是因果的，不难得其冲激响应为，当输入，不难得出

（b）由于y[n]是对y_c(t)进行冲激串采样得到的序列，故

于是有

又由于，从而有

当时，，于是得

且

7.31　如图7-35所示系统利用一个数字滤波器h[n]来处理连续时间信号，该数字滤波器是线性的，因果的且满足如下差分方程：

图7-35

对于带限输入的信号，即图中的系统等效为一个连续时间LTI系统。确定从输入x_c(t)到输出y_c(t)的整个系统的等效频率响应H_c(jω)。

解：为了区分数字频率和模拟频率，以下过程中用ω表示模拟频率，用Ω表示数字频率。由于采样时间间隔为T，而当时，X_c(jω)＝0，所以x[n]的频谱函数为

对于数字滤波器，由其输入-输出方程可知其频率响应为

于是得y[n]的频谱函数为

且

因为经过的低通滤波器截止频率为π/T，所以有

从而得等价连续系统的频率响应为

7.32　信号x[n]的傅里叶变换在时为零，另一信号,试给出一个低通滤波器的频率响应使得当该滤波器的输入为时，输出等于x[n]。

解：令

如图7-36所示

图7-36

显然为了得到，低通滤波器的截止频率为，通带增益为4。即

7.33　傅里叶变换为x（e^jω）的信号x[n]具有如下性质：

对于什么样的∞值，可以保证

解：令，则

一个截止频率为,通带增益为3的理想低通滤波器的脉冲响应为

要使对中的的采样相互不会混叠,则，则有。

7.34　一个实值离散时间信号x[n]，其傅里叶变换在时为零，可首先利用增采样L倍，然而再减采样M倍的办法将的非零部分占满到的区域，试求L和M的值。

解：要使的非零部分占满到的区域, x[n]必须减采样倍。又因为信号不能直接减采样一个非整数倍,因此需要先增采样3倍,再减采样倍。即L＝3，M＝14。

7.35　考虑一个离散时间序列x[n]，由x[n]形成两个新序列x_p[n]和z_d[n]，其中x_p[n]相应于以采样周期为2对x[n]采样而得，而x_d[n]则以2对x[n]进行抽取而得，即

（a）若x[n]如图7-37（a）所示，画出序列和

（b）若如图7-37（b）所示，画出和

图7-37

解：（a）序列和如图7-38（a）所示

（b）序列和如图7-38（b）所示

（a）

（b）

图7-38

深入题

7.36　设x(t)为一带限信号，

（a）若x(t)用采样周期T对其采样，试确定一个内插函数g(t)，使得有

（b）函数g(t)是唯一的吗？

解：（a）设x(t)的导数为，则

因为x(t)的奈奎斯特频率为，所以可以从中恢复信号。从7.2小节知

其中。

设为，则

因此

（b）不是唯一的。

7.37　只要平均采样密度为每秒2（W/2π）个样本，那么一个带限于|ω|＜W的信号就能够从非均匀间隔的样本中得到恢复。本题说明一个特殊的非均匀采样的例子。假设在图7-39（a）中：

（1）x(t)是带限的，

（2）p(t)县一个非均匀间隔的周期冲激串，如图7-39（b）所示。

（3）f（t）是一个周期性波形，其周期由于f(t)与一个冲激串相乘，因而只在t＝0和t＝Δ时的值f(0)＝a和f（Δ）＝b才有意义。

图7-39

（4）是一个90^o的相移器，即

（5）是一个理想低通滤波器，即

其中K是一个常数（可能是复数）。

（a）求p(t)，y₁(t)，y₂(t)和y₃(t)的傅里叶变换。

（b）给出作为Δ的函数的a，b和K值，以使对任何带限信号x(t)和任何Δ，都有x(t)＝x(t)。

解：（a）p(t)可以写成

其中

因此

其中

设

则

因此

其中在式（s7.37-1）中一指定。因此

又

所以

因此

当时，有

因为，当时，有

因为，当时，有

（b）给定，需要（），即

故

根据上式方程得

当时，可得

7.38　往往需要在示波器的屏幕上显示出具有极短时间的一些波形部分（例如，千分之几毫微秒量级），由于最快的示波器的上升时间也比这个时间长，因此这种波形无法直接显示。然而，如果这个波形是周期的，那么可以采用一种称为取样示波器的仪器来间接地得到所需的结果。

图7-40（a）就是用来对快速变化的波形x(t)进行采样，采样时每个周期采一次，但在相邻的下一个周期内，采样依次推迟。增量Δ应该是根据x(t)的带宽而适当选择的一个采样间隔。如果让所得到的冲激串通过一个合适的低通内插滤波器，那么输出y(t)将正比于减慢了的，或者在时间上被展宽了的原始快变化波形，即y(t)正比于x（at），其中a＜1。

若试求出Δ的取值范围，使得图7-40（b）中的y(t)正比于x（at），a＜1；同时，用T和Δ确定a的值。

图7-40

解：X(jω)，P(jω)和Y(jω)的傅里叶变换如图7-41所示

图7-41

明显不能得到Δ＝0，从图7-41可以得到

所以

从图7-41还可以得到

7.39　信号x_p(t)是对一个频率等于采样频率ω_p一半的正弦信号x(t)进行冲激串采样得到的，即

且其中

（a）求一个g(t)，使得有

（b）证明

（c）利用前两部分的结果证明：若x_p(t)作为输入加到截止频率为ω_s/2的理想低通滤波器上，则其输出为。

解：（a）因为

所以。

（b）用2π/T替换，NT替换t，则

上式右边在n＝0，±1，±2……时为0。

（c）根据（a）和（b）可得

当信号通过一个低通滤波器，滤除高频部分，最终输出为

7.40　考虑一个圆盘，在该圆盘上画有一个正弦曲线的4个周期。圆盘以近似15r/s的速度旋转，因此当通过一个窄缝看时，正弦曲线具有60Hz的频率。整个装置如图7-42所示。设v（f）代表从窄缝看到的线的位置，因而v(t)有如下形式：

为了符号上的方便，现将v(t)归一化，以使A＝1。在60Hz频率下，人的眼睛是不可能跟踪v(t)的变化的，现假定这一效果可以通过把眼睛模型化为截止频率为20Hz的理想低通滤波器来代替。

对正弦曲线的采样可以用一个频闪灯照亮圆盘来完成，因此光照度i(t)可以用一个冲激串来表示，即

其中1/T是频闪频率（Hz）。所得到的已采样信号是乘积令R(jω)、V（ω）和I(jω)分别记为r(t)、v(t)和i(t)的傅里叶变换。

（a）画出V(jω)，并明确指出参量φ和ω₀的影响。

（b）画出I(jω)，并指出T的影响。

（c）根据采样定理，利用ω₀来表示存在一个最大的T值，使得v(t)能够利用一个低通滤波器从r(t)中得到恢复。试确定这个T值和该低通滤波器的截止频率，画出当了T微微小于这个最大T值时的R(jω)。

图7-42

如果采样周期T取得大于（c）中所确定的值，将会发生频谱混叠。由于混叠的结果，感觉看到的将是一个较低频率的正弦波。

（d）假定对画出R(jω)。用v_a(t)表示看到的线的视在位置，如果假定眼睛表现为一个截止频率为20Hz并具有单位增益的理想低通滤波器,试将v_a(t)表示成如下形式：

其中A_a是v_a(t)的视在振幅，ω_a是v_a(t)的视在频率，是它的视在相位。

（e）当时，重做（d）。

解：（a）V(jω)的傅里叶变换如图7-43（a）所示

图7-43（b）

 

如图7-43（b）所示。

（c）v(t)的奈奎斯特频率为，所以

 

低通滤波器的截止频率为。

（d）

因为，则，如图7-43（d）所示。

因此将r(t)通过一个截止频率为的低通滤波器可以获得

所以。

（e）依题意，如图7-43（e）所示。

因此，。

7.41　在许多实际场合，是在有回波的情况下记录信号的，因而希望通过适当的处理消除这些回波。例如，图7-44（a）示意了一个系统，在该系统中接收机同时接收到信号x(t)和一个回波，该回波是用衰减并延迟了的x(t)来表示的。于是，接收机的输出是其中；为了恢复x(t)，先将s(t)变换成一个序列，并用合适的数字滤波器h[n]对接收机的输出进行处理，如图7-44（b）所示。

图7-44

假定x(t)是带限的，即且

（a）若并取采样周期等于T₀（即T＝To），试确定数字滤波器h[n]的差分方程，以使y_c(t)正比于x(t)。

（b）在（a）的假定条件下，确定该理想低通波波器的增益A，以使

（c）现在假定试选择采样周期T、低通滤波器增益A和数字滤波器h[n]的频率响应，使得y_c(t)正比于x(t)。

解：本题中为了避免混淆，采用Ω表示离散时间频率。

（a）的奈奎斯特频率为。因此根据抽样定理，的抽样频率至少为。因为

，所以只要y[n]＝x[n]，就有y_c(t)＝ x(t)，故

如果使y[n]＝x[n]，则

所以数字滤波器h[n]的差分方程为

（b）从图7-44（a）和（b）可得

其中是连续时间系统的系统传递函数。又要使，则

比较上述两式得。

（c）要使T避免混叠，则且

又

为了满足上述这些条件，需要，且当时有

7.42　考虑一带限信号x_c(t)，以高于奈奎斯特率对其采样，然后将相隔T秒的各样本按图7-45转换为一个序列x[n]。

试确定序列的能量E_d原始信号的能量E_c和采样间隔T之间的关系。序列x[n]的能量定义为而连续时间函数x_c(t)的能量定义为

图7-45

解：本题中为了避免混淆，采用Ω表示离散时间频率。

根据抽样定理和时可得

利用抽样定理有

又当，则

用替换，可得

当时，上式又可以写成

7.43　如图7-46（a）所示系统的输入和输出都是离散时间信号。离散时间输入x[n]转换为一连续时间冲激串x_p(t)，然后将x_p(t)经过一个线性时不变系统过滤产生输出y_c(t)，而y_c(t)又被转换成离散时间信号y[n]。

其中输入为x_c(t)且输出为y_c(t)的线性时不变系统是因果的，且由如下线性常系数微分方程所表示：

整个系统等效为一个因果离散时间线性时不变系统，如图7-46（b）所示。试确定该等效线性时不变系统的频率响应H（e^jω）和单位脉冲响应h[n]。

图7-46

解：本题中为了避免混淆，采用Ω表示离散时间频率。

对所给微分方程两边同时进行傅里叶变换得

对上式进行傅里叶反变换得

因为，所以且

当时，；其他值为0。因此当时， ；其他值为0。所以当时，。

故等效系统函数为

表示的傅里叶变换，可以看做一个低通滤波器（截止频率为），抽样周期为T。

因此

7.44　设想要设计一个连续时间正弦信号发生器，该发生器对内的任何频率都能产生正弦信号，其中ω₁和ω₂是已知的正数。

设计准备这样来做：现已经存储了一个周期为N的离散时间余弦波，亦即已经存储了x[0]，x[1]，…，x[N－1]，其中每隔T秒输出一个被x[k]的值加权了的冲激，这是通过按周期方式取k＝0，1，…，N－1来实现的，即或等效为

和

（a）证明：通过调整T，可以调节被采样的余弦信号的频率，也就是证明

其中试确定T的取值范围，使得y_p(t)能代表一个余弦信号的样本值，而该余弦信号的频率在整个范围内可调。

（b）概略画出

产生连续时间正弦波的整个系统示于图7-47（a），图7-47中H(jω)是一个具有单位增益的理想低通滤波器，即，参数ω_c是需要确定的，使得y(t)在所需的频带内是一个连续时间余弦信号。

（e）对在（a）中所确定范围内的任何T值，确定最小的N值和ω_c的某个值，使y(t)在范围内是一个余弦信号。

（d）y(t)的振幅将随在ω₁和ω₂之间所选定的ω值而变化。因此，有必要设计一个系统G(jω)，该系统将信号进行归一化，如图7-47（b）所示。求此系统G(jω)。

图7-47

解：（a）依题意

如果，则

则

令T的范围为，在处可得到最大角频率ω₂，在处可得到最小角频率ω₁，即

（b）令

则。如图7-48所示。

图7-48

（c）为了避免发生混叠，需要使，故，即N＞2。所以N的最小值为3。通过对抽样，有，使得Y(t)在ω₂是正弦信号，滤除了和为中心的余弦部分。

（d）

7.45　在如图7-49所示的系统中，输入x_c(t)是带限的，有 数字滤波器h[n]的输入输出关系为

　　　　　　　　

图7-49

（a）若从x_c(t)到x_p(t)的变换中避免混叠发生，所允许的最大T值是什么？

（b）确定由式（P7.45-1）给出的离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应。

（c）确定是否有任何T值能使

　

若有，求出最大的T值；若没有，陈述理由，并说明应该如何选择T，才能使式（P7.45-2）最接近成立（这一部分要仔细想想，否则很容易导出错误结论）。

解：（a）x_c(t)的奈奎斯特频率是。因此x_c(t)的最大抽样周期T为

（b）依题意

所以。

（c）依题意

同理

因此（P7.45-2）式为

得

其中

为了避免在ω＝0发生混叠，需要使，即，且

7.46　如图7-50所示为一个信号x[n]的离散时间采样，h[n]是一个理想低通滤波器，其频率响应为

根据式（7-46）和式（7-47），该滤波器的输出可表示为

其中

证明：无论序列x[n]是在高于还是低于奈奎斯特率下进行采样的，都有，m为任意正或负的整数。

图7-50

解：依题意

其中m＝k时为1，否则为0。因此

7.47　假设x[n]的傅里叶变换在内为零．证明：

证明：定义一个信号

从7.5.1小节知，的傅里叶变换为

当时，，所以不会发生混叠，如图7-51所示。

图7-51

为了从中恢复，需要将通过一个截止频率为π/3，增益为3的低通滤波器。因此

7.48　若，和为保证

，必须对机施加什么样的另外限制？

解：的图像如图7-52所示

图7-52

注意对每隔4个脉冲采样一次，如果是（如图7-52所示），则对所有的n值都为0。因此为了保证成立，应使。

7.49　正如在7.5节中讨论并于图7-53中说明的，用一个整数因子N内插或增采样的过程可以看成两个运算的级联。第一个涉及系统A，相应于在x[n]的每一个序列值之间插入（N－1）个零值序列，而有

对于真正的带限内插来说，H（e^jω）应是一个理想的低通滤波器。

（a）确定系统A是否是线性的？

（b）确定系统A是否是时不变的？

（c）若如图7-53所示，N＝3，画出

（d）如图7-53所示，而已适当选择成具有真正的带限内插，画出

图7-53

解：（a）将信号输入系统A，令输出分别为和。考虑输入的形式为

，则输出为

因此，即系统A是线性的。

（b）考虑如图7-54所示的信号，输出如图7-54所示。现定义一个新的输入，输出响应如图7-54所示。很明显，因此系统是时变的。

（c）因为，所以如图7-54所示。

（d）如图7-54所示

图7-54

7.50　在本题中考虑与在7.2.1节和7.2节中讨论的连续时间零阶和一阶保持相对应的离散时间零阶保持和一阶保持问题。

设x[n]为一序列，按图7-55（b）所指出的对它进行离散时间采样。假定满足离散时间采样定理中的条件，且这里ω_s是采样频率，并且有那么，原信号x[n]就可用理想低通滤波器由完全恢复，这如同在7.5节中所讨论的相应于带限内插。

零阶保持代表一种近似内插，借此每个样本被重复（或保持）N－1次，图7-56（a）给出N＝3的情况。一阶保持则代表样本之间的线性内插，也如图7-56（a）所示。

（a）零阶保持（ZOH）可以表示成式（7-47）的内插，或等效为图7-56（b）所示的系统。对采样周期为N的一般情况，试确定并画出h₀[n]。

（b）如图7-56（c）所示，利用一个合适的线性时不变滤波器可以从零阶保持序列中完全恢复试确定并画出

（c）一阶保持（FOH）可以表示成式（7-47）的内插，或等效为如图7-56（d）所示的系统。对采样周期为N的一般情况，试确定并画出h₁[n]。

（d）利用一个合适的，频率响应为的线性时不变滤波器，可以从一阶保持序列中完全恢复试确定并画出。

（a）

图7-55

（b）离散时间采样

图7-55

图7-56

解：（a）依题意有

如图7-56（e）所示

图7-56（e）

（b）要使当时，，否则为0，其中ω_s/2＝π/N，且

则

（c）

（d）同（b）要使当时，，否则为0，根据（c）有

则

7.51　正如图7-57所示和7.5.2节所讨论的，以整数因子N内插或增采样的过程可以看成两种运算的级联。对于真正的带限内插，图7-57中的滤波器H（e^jω）是一个理想低通滤波器。但在任何实际应用中，就有必要实现一个近似的低通滤波器。在本题中要研究的是，在这些近似滤波器的设计上往往要施加一些有用的限制条件。

（a）假定用一个零相位的FIR滤波器来近似，这个滤波器是用这样的约束条件来设计的：原始序列的值得到真正的重现，即

　

这就保证了虽然在原始序列值之间的内插并不完善，但原始序列值在内插中得到真正重现。为了保证对任何序列式（P7.51-1）都严格成立，试确定对低通滤波器单位脉冲响应的限制。

（b）现在假设内插是用一个长度为N的线性相位、因果、对称的FIR滤波器来进行的，即

其中是实函数。这个滤波器按下述条件来设计：使原始序列值得到真正重现，但具有一个整数延迟a，这里a是相位特性斜率的负值， 也就是

　

确定这是否意味着对滤波器的长度N是奇数还是偶数施加了什么限制。

（c）再次假定内插是用线性相位、因果、对称的FIR滤波器来进行的，因而具有其中是实函数。该滤波器按下述条件来设计：使原始序列值得到真正重现，但具有一个延迟M，而M不一定就等于相位特性斜率的负值，即

确定这是否意味着对滤波器的长度N是奇数还是偶数施加了什么限制。

图7-57　增采样

解：（a）可能有。

（b）N必须为奇数，题中是一个整数。如果N是偶数，则不是整数。如果是一个整数，移动h[n]会使h[n]成为偶序列，故不可能使N为偶数。

（c）N可以为奇数也可以为偶数，题中是一个小数，从而可以设计一个线性、因果、对称的FIR偶数长度滤波器。

7.52　在本题中要建立与时域采样定理对偶的频域采样定理，借此一个时限信号可以由它的频域样本得到重建。为了得到这一结果，考虑图7-58中的频域采样。

（a）证明其中x(t)和ｐ(t)分别是和的傅里叶逆变换

（b）假设x(t)是时限的，即证明：通过一个“低时窗”的运算，x(t)可从中恢复。即，其中，

（c）证明：若x(t)在时不限制为零，就不能从中恢复x(t)。

图7-58

解：因为

所以

（b）对进行傅里叶反变换得

根据（a）的结论有

因为x(t)是时限的，即假设x(t)如图7-59（a）所示，如图7-59（b）所示。很明显通过乘以下面的函数，可从使x(t)从中恢复

图7-59

（c）如果x(t)在时不限制为零，如图7-59（c）所示。很明显，发生了时域混叠，故不能使x(t)从中恢复。