一、数学原理的宗旨

罗素企图从逻辑基础演绎出纯数学的首发阶段，这就涉及演绎法本身，即那些从前提能够推出结论的那些结论。罗素说过：“演绎逻辑的最重大的例子就是纯数学。……纯数学是一个巨大的知识整体，甚至最伟大的数学家也仅知道很小的一个部分。”[170]罗素点出了一切演绎推理（其实归纳推理也是如此）的实质，这就是当一个q是一个p的结论时，那么就可以说p蕴涵q，用符号法就是p→q。

根据本书作者本人多年符号逻辑的教研经验，特将罗素这种说法扩展一下，并加以通俗的解释。我们先确定一下所谓五种关系的符号记法，一、否定（negation），可用“～”“—”“?”等（本书倾向用第一种），意思是“非”“不”；二、合取（conjunction）可用“∧”“&”“·”等（本书倾向用第一种），意思是“和”“与”；三、析取（disjunction）可用“∨”，意思是“或”；四、蕴涵（implication or conditional）可用“→”“”等（本书倾向用第一种），意思是“如果……那么”；五、等值（equivalence or bi-conditional）可用“”“≡”等（本书倾向用第一种），意思是“当且仅当”“两边真值函项相等”或“甲蕴涵乙，乙也蕴涵甲”。此外再用小括号（）、中括号[]以及大括号｛｝来限制符号之间的关系，也可以全用界定好的不同层次的小括号来表示，如（（（）））等。

对任何一个推论来说，前提应当是足够的。我们假定有很多前提，如p、q、r、e、f，以及一个结论w，那这些前提间的关系就是合取关系，即p∧q∧r∧e∧f，可以说不管有多少前提，这些前提之间都是合取关系；整个推理关系就是（p∧q∧r∧e∧f）蕴涵w，即（p∧q∧r∧e∧f）→w。再假定各前提的关系较为复杂，如～p、q∧r、～（p∨r）、～q→e、e～f，以及结论（p∨～q）～（e→r），那么这些前提的关系就是～p∧（q∧r）∧～（p∨r）∧（～q→e）∧（e～f）；整个推理关系就是｛[～p∧（q∧r）∧～（p∨r）]∧[（～q→e）∧（e～f）]｝→[（p∨～q）～（e→r）]。可以总结出三点，其一，不管演绎还是归纳，任何推理（arguments）都是由前提（premises）与结论（conclutions）两部分构成的，缺一不可，而它们之间的关系就是蕴涵关系；换句话说，若非蕴涵关系就不是推理。其二，所有前提之间的关系都是合取关系。其三，所有前提或结论都必须由具有真假值的命题（propositions）或判断（statements）构成。

罗素企图建立命题的性质、命题的函项以及类与关系等，它表现在两个方面；一是作为依赖于初始命题的演绎链，二是形式演算。因此，他指出：“在数学中，作为未定义的观念在某些范围内是可以选择的，指导我们选择的动机是：一、将未定义的观念尽可能地减少；二、当两个系统间有相同数目未定义的观念时，我们就挑选较简易的那个。”[171]为此，我们必须从有关命题演绎或来自另一命题函项得到确定的命题函项的公理开始，从那些初始命题，可以用上述五种方式来不断获得新的命题。而且这五种方式可以互相界定，从而得到一系列替代（Replacement）规则或真值函项等值（Truth Functional Equivalence）规则（仅以命题逻辑为例）：

1）p定义为～p，即双重否定规则（Double Negation），可记为p～p。以日常语言为例：“她是一个好学生”与“她并非不是一个好学生”意义与真假值相同。

2）（p∧q）定义为（q∧p），（p∨q〕定义为（q∨p），即交换规则（Commutation），可记为（p∧q）（q∧p），（p∨q）（q∨p）。以日常语言为例：“她是一个好学生，也是一个好歌手”可以交换顺序为“她是一个好歌手，也是一个好学生”而不改变意义与真假值。

3）p→q定义为～p∨q，即蕴涵规则（Implication），可记为（p→q）（～p∨q）。以日常语言为例：“如果他在北京，那么他一定在中国”可以表达为“他不在北京，或他在中国”，意义与真假值相同。

4）p→q定义为～q→～p，即反位规则（Contraposition），可记为（p→q）（～q→～p）。以日常语言为例：“如果他在北京，那么他一定在中国”可以表达为“如果他不在中国，那么他一定不在北京”，真假值相同。

5）～（p∧q）定义为（～p∨～q），～（p∨q）定义为（～p∨～q），即狄摩根规则（DeMorgan’s Law），[172]可记为（～p∧q）（～p∨～q）或～（p∨q）（～p∨～q）。以日常语言为例：“并非她既是好学生又是好歌手”可以换为“她不是好学生或她不是好歌手”；“并非她是好学生或是好歌手”可以换为“她既不是好学生又不是好歌手”，意义与真假值相同。

6）[p→（q→r）]定义为[（p∧q）→r]，即输出规则（Exportation），可记为[p→（q→r）][（p∧q）→r]。以日常语言为例：“如果他刻苦，如果他聪明，那么他一定取得杰出的成就”可以换为“如果他刻苦，而又聪明，那么他一定取得杰出的成就”，意义与真假值相同。

7）[p∧（q∧r）]定义为[（p∧q）∧r]，[p∨（q∨r）]定义为[（p∨q）∨r]，即联合规则（Association），可记为[p∧（q∧r）][（p∧q）∧r]，[p∨（q∨r）][（p∨q）∨r]。以日常语言为例：“他刻苦，而且既聪明又勇敢”可以换为“他既刻苦又聪明，而且勇敢”，“他或刻苦，或者他聪明或勇敢”可以换为“他或刻苦或聪明，或者勇敢”，意义与真假值相同。

8）p∧（q∨r）定义为[（p∧q）∨（p∧r）]，[p∨（q∧r）]定义为[（p∨q）∧（p∨r）]，即分配规则（Distribution），可记为[p∧（q∨r）][（p∧q）∨（p∧r）]，[p∨（q∧r）][（p∨q）∧（p∨r）]。以日常语言为例：“他刻苦，而且聪明或勇敢”可以换为“他既刻苦而又聪明，或者他既刻苦又勇敢”；“他或刻苦，或者既聪明又勇敢”可以换为“他或刻苦或聪明，而且他或刻苦或勇敢”，意义与真假值相同。

9）pq定义为（p→q）∧（q→p），即等值规则（Equivalence），可记为（pq）[（p→q）∧（q→p）]。以日常语言为例：“他在北京当且仅当他在中国的首都”可以换为“如果他在北京，那么他就在中国的首都，而且如果他在中国的首都，那么他就在北京”，意义与真假值相同。

10）p∨p定义为p， p∧p定义为p，即重言规则或翻印规则（Tautology or Duplication），可记为（p∨p）p，（p∧p）p。以日常语言为例：“他在北京或者他在北京”，其实就是一个选择“他在北京”；“他在北京而且他在北京”，其实就是一个信息“他在北京”。人们经常反复重复某一选择或信息，只是为了不断地强调，如人们常引用的“学习、学习，再学习！”

有意思的是，上述这些规则大都可以用来相互定义、转换和替代，如p→q可以变形为下列各种形式：1.～p∨q（对p→q用蕴涵规则），2.q∨～p（对1用交换规则），3.～q∨～p（对2用双否定规则），4.～（～q∧p）（对3用德摩根规则），5.～q→～p（对3用蕴涵规则或对p→q用反位规则），6.～（p∧～q）（对4用交换规则），7.～p∨～q（对6用德摩根规则），8.p→～q（对7用蕴涵规则），9.～q→～p（对8用反位规则），10.～q→～p（对9用双否定规则），11.～p→～q（对10用反位规则），12.～q∨～p（对10用蕴涵规则），13.q∨～p（对12用双否定规则），14.～p∨q（对13用交换规则）15.～（p∧p）∨q（对1和14用重言规则），16.（～p∨～p）∨q（对15用德摩根规则），17.～p∨（～p∨q）（对16用联合规则），18.p→（～p∨q）（对17用蕴涵规则），19.p→（p→q）（（对18用蕴涵规则），20.（p∧p）→q（对19用输出规则），21.～q→～（p∧p）（对20用反位规则），22.～q→（～p∨～p）（对21用德摩根规则），23.～q→（p→～p）（对22用蕴涵规则），24.～（p→～p）→～q（对23用反位规则），25.～（p→～p）→q（对24用双否定规则），26.～（～p∨～p）→q（对25用蕴涵规则），27.（～p∧～p）→q（对26用德摩根规则），28.（p∧p）→q（对27用双否定规则），29.～（p∨p）∨q（对1和14用重言规则），30.（～p∧～p）∨q（对29用德摩根规则），31.q∨（～p∧～p）（对30用交换规则），32.（q∨～p）∧（q∨～p）（对31用分配规则），33.（～p∨q）∧（～p∨q）（对32用交换规则），34.（p→q）∧（p→q）（对33用蕴涵规则），35.p→q（对28用重言规则，或对14用蕴涵规则，或对5和10用反位规则，或对8和11用双否定规则，或对20用重言规则，或对34用下一节将要讲到的推理简化规则）。如此一来，经过不断地变形和代换又回归到原来的形式p→q。

根据罗素的设想，我们可以利用这五种方式还能够表示一系列推理（inference）规则（仅以命题逻辑为例）：

1）连接规则（Conjunction），简称Conj。

p

q

∴p∧q

也可以表达为（p∧q）→（p∧q）。

2）另加规则（Addition），简称Add。

P

∴p∨r

也可以表达为p→（p∨r）。

3）简化规则（Simplification），简称Simp。

p∧q

∴p

也可表达为（p∧q）→p。

4）泼仑规则（Modus Pollens），简称MP。

p→q

p

∴q

也可表达为[（p→q）∧p]→q。

5）托仑规则（Modus Tollens），简称MT。

p→q

～q

∴～p

也可表达为[（p→q）∧～q]→～p。

6）链推规则或假言三段论规则（Chain Argument or Hypothetical Syllogism），简称CA。

p→q

q→r

∴p→r

也可表达为[（p→q）∧（q→r）]→（p→r）。

7）析取三段论规则（Disjunctive Syllogism），简称DS。

p∨q

～p

∴q

或

p∨q

～q

∴p

也可表达为[（p∨q）∧～p]→q或[（p∨q）∧～q]→p。

8）构建两难规则（Constructive Dilemma〕，简称CD。

p→q

r→e

p∨r

∴q∨r

也可表达为｛[（p→q）∧（r→e）]∧（p∨r）｝→（q∨r）。

9）消解两难规则（Destructive Dilemma〕，简称DD。

p→q

r→e

～q∨～e

∴～p∨～r

也可表达为｛[（p→q）∧（r→e）]∧（～q∨～e）｝→（～p∨～r）。10）排中引介规则（Excluded-Middle Introduction），简称EMI.P。

∴p∨～p

也可表达为p→（p∨～p）。

11）重复规则（Repetition），简称Rep.P。

∴P

也可表达为p→p。

12）同化规则（Absorption），简称Abs。

p→q

∴p→（p∧q）

也可表达为（p→q）→[p→（p∧q）]。