二、解决悖论的尝试

在哲学领域，罗素指出了令人欣慰和烦恼的两种对立发展。欣慰的是，实际上必需的那套逻辑系统比他预期的要小，尤其知道了所谓类是不必要的。由于《数学的原则》用了许多篇幅讨论作为一的类和作为多的类之间的区别，因此《数学原理》的新成果证明了前一本书有关这点的整个讨论以及很多繁复的论证也是不必要的。然而烦恼确实是烦恼，在亚里士多德之后，所有学派的逻辑学家都能从公认的前提中推出某些矛盾来。这表明某些方面有差错，然而却无法指出纠正的方法。1901年春，罗素发现了一种矛盾，当他把这个背运之事告知怀特海时，后者说了一句引言：“不再会有快乐而自信的清晨了。”

康托（Georg Cantor）证明了不存在一个最大的基数。罗素在对全类（universal class）运用这个证明时，得出了关于不是自己分子的那些类的矛盾，即著名的罗素悖论。罗素悖论简述如下：通过由非自身元素的集合所组成的集合S，就会从抽象公理引出矛盾，即S是S的元素，S又不是S的元素，换句话说，它既是自身，又不是自身；也可转换为这样一个定理：“不存在这样一种普遍集合（universal set），就是说不存在包含将所有集合作为元素的集合。”[173]罗素考虑到一个特殊的类，它有时是，有时又不是它自己的一个项。例如，汤匙这个类并非另一把汤匙，但并非汤匙的那些事物的这个类却是并非汤匙的那些事物之一。似乎某些例子本身并非负的：例如，所有类的这个类是一个类。这一个类是否是它自己的一项，若是，它必定具有这个类所界定的属性，即它就不是这个类的一项。相反，若不是，它就必定不具有这个类所界定的特性，即它就是它自己的一项。如此一来，无论二者之中任何一个都会走向自己的对立面，这就产生了矛盾。不久，罗素越来越清楚，这只是无穷类矛盾中的一个。

当罗素悖论提出后，在数学上引起了如同当时物理学危机一样的危机，使整个欧美数学界和哲学界为之震惊，因为它触动了数学与逻辑这两门被人们视为最严谨的科学。罗素写信给弗雷格，后者在回信中非常严肃地说：“算术陷入了困境。”并指出自己的第五个定律因而不得成立。弗雷格还提到：“对一个科学作者来说，没有任何一件事比自己的著作完稿后，而它整个大厦的基础发生了动摇更不幸的了。这就是我收到罗素的信之后的处境，而当时我的书即将印刷问世。”[174]极度懊丧的弗雷格放弃了自己打算毕生从事的从逻辑演绎出算术的计划。大数学家希尔伯特（D.Hilbert）就曾惊呼：罗素悖论对数学世界仿佛是直接的和毁灭性的打击。哲学家和数学家们意见纷纭，各不相同。例如本来就非难数理逻辑的彭加勒（J.H.Poincaré）幸灾乐祸地说：“它有结果了，这就是出现了矛盾。”此话很精彩，但对解决问题毫无助益。另一些本来也不赞同康托的数学家闪烁其词地说：“对它厌倦了，还是换个论题吧！”尽管如此，还是有不少看重数理逻辑的人们探索问题的解决之道。其中首推拉姆塞（F.P.Rammsey）。罗素不无遗憾地叹道：可惜的是他因去世过早，而中断了他富有成效的努力。罗素很感慨：“在《数学原理》问世前的那些时光里，我并不清楚对解决这个问题随后应当做什么样的努力。实际上，我只是孤身一人地苦思冥想。”[175]

实际上，正像物理学的新发现引起的革命打破了旧物理观一样，罗素悖论的发现并没有导致数学的危机，而只是打破了旧的数学观，从而使人们的认识更加深入发展。

有了矛盾，就会有解决矛盾的办法。为解决问题，人们进行了不断的探究。20世纪初，罗素和怀特海在三卷本《数学原理》中提出的逻辑类型论，或称层次演算，就是为消除悖论做出的一个积极而富有成效的初步尝试。后来人们在这方面更进一步的努力，大都可以说是建立在这个原则之上的。

在早期小部头的《数学的原则》里，罗素并未自诩已经找到了悖论的根本解决之法。他在此书的序中提到：“出版这本仍有不少还未得到解决的争论的著作，我的看法是，在探索后，对于第十章所讨论的矛盾，并未发现不久的将来有获得妥善解决的希望，也看不到希望能把有关类的特性研究得更透彻。某些解决的办法可以让我得到片刻的满足，但不久便觉察出它们常常错误连连。这就使人感到，经过费时的思索或许能够获取某些似乎表面令人陶醉的学说，因而使问题掩藏起来。正因为如此，仅将困难提出，比一直等待到相信某个几乎必然错误的学说含有真理，似乎会稍好一些。”[176]在讨论矛盾的第十章之末，罗素又指出：“上述矛盾并不包含特殊的哲学。此类矛盾直接产自常识，对之加以解决的唯一之途就是摈弃某种常识的假设。只有那种用矛盾孕育出的黑格尔哲学才会等闲视之，因为它随时随地碰到类似的问题。而对于另外学说来说，如此正面的挑战逼迫你必做某种答复，否则就是自认束手无策。庆幸的是，据我所知，在《数学的原则》的另外任何章节中，并无产生相同的困难。”[177]在此书的附录里，罗素指出：对类型论能够赋予某种自圆其说的解释。他甚至深信不疑地声称，这个方法可以解决相关的问题，但《数学的原则》只把它制定得初具雏形。在这本书的最后一段里，罗素宣称：“总而言之，第十章所讨论的那个特殊矛盾似乎被类型论解决了。然而，可能还有至少一种很类似的矛盾无法用此学说解决。由此可见。全部逻辑的对象或命题都包含某种根本逻辑上的困难。我至今还未达到此类困难的完满解决；然而，正由于它影响到推理的基础，因而我衷心希冀每一位从事逻辑的学者对之更努力研究。”[178]

在《数学的原则》出版后，罗素曾下决心用下半辈子解决这些悖论；但从1903年至1904年，他的尝试毫无进展。1905年春季，罗素得到一个建树就是“摹状论（The Theory of Description）”，不过它与那些悖论并没有直接关联。不久，他终于发现了一种新的学说，这就是“逻辑类型说”（The Theory of Logical Types）。

罗素在自传中回忆道，那时自己始终努力奋斗，力图解决这个悖论，但每日从早到晚瞪着一张白纸，但只字未写，因不知如何下手。他很清楚，若不能有所突破，就会止步不前。虽狠下决心克服一切困难来完成《数学原理》的撰写，但很可能会在那张白纸上耗尽余生。终于，罗素本人觉得问题出自逻辑，而并非数学，因而对逻辑必须进行改造。罗素也自认掌握了一个秘诀，用它能够揭示出无穷多样的悖论或矛盾。[179]

在写作《数学原理》的同时，罗素于1908年在《美国数学杂志》上发表了题为“建立在类型论上的数理逻辑”一文，并提出了有关解决悖论的一套著名方法。其中最主要的类型论原是他在小部头《数学的原则》附录B中作为对付悖论的可能解决方法而“尝试性地抛出的”。当时，他提出了这个理论的两大要领：一、每一个命题函项Φ（x）具有一个意义（significance）的范围（range），即在其中如果Φ（x）无论真假都是一个命题，那么x就是一个谎言；二、意义的诸范围形成了类型，即如果x属于Φ（x）的意义范围，那么就会产生诸对象的一个类，也就是x的类型，所有这一切都属于Φ（x）的意义范围，但Φ则可能会改变的；而且这个意义的范围即是单一的类型或几种整体类型的总和。[180]从历史观点看，类型论是一个很有价值的讨论，因为它是在20世纪初，罗素考察这个理论后不久即发表了这些观点，尽管（用1937年他在《数学原理》第二版导言中的言语）“仅为一种粗浅的勾勒”。《逻辑与知识》一书的编者认为，1908年的这篇文章提供了事实上已完成的理论，尽管在1910年《数学原理》第1卷中，这些观点在更大的范围内得到展示。“类型论在现代哲学中产生了如此重大的作用，以致对它的重要性再作评论都是多余的，这篇文章是罗素最精致的文章之一，并被公认为当代哲学思想的一篇杰作。”[181]著名哲学家蒯因（W.V.O.Quine）承认，罗素的类型论使自己的《逻辑方法》等著作在认识论上颇多受益，因为它“引导自身走向一个似乎更正确的产生高层次类的重建”[182]。

罗素列举了七种悖论，甚至某些古老的悖论，并力图说明自己的类型论对解决它们是如何有效：

一、据历史记载，早在2500多年前，克里特哲学家就发现了一个令人困惑的问题，即一个克里特人爱比美尼德斯（Epimenides）说“凡克里特人都是说谎者”[183]。倘若首先肯定他说的是真的，那么，由于说谎者本身就是克里特人，因此，他说的话也应该是谎话，谎话为假，于是这句话的内容也必定是假的，从而，就由断定其真而导出了其假；另一方面，倘若断定此话为假，那么，就可推出并不是所有的克里特人都是说谎者，其中某些人是说真话的。这就形成了一种逻辑矛盾。这个命题，就是人们所熟知的“说谎者悖论”。罗素通俗地加以限定性解释：倘若某人说：“我在说谎。”这就是此悖论的最简单的形式。如果他真在说谎，那么他是说谎就是一个谎，因而他在说实话；然而如果他在说实话，他就在说谎，因为那是他在说他正做的行为。如此一来，矛盾必然产生。中世纪的圣保罗曾谈及过这个悖论，但对其逻辑层面无动于衷，而仅注重它可以证明异教徒的罪恶。历来的数学家们大都回避这个难以解答的难题，认为与自己的领域并无关联；尽管他们无法全然忽略是否有一个最大的基数或最大的序数这样的问题，而正是在这方面他们陷入矛盾之中。有关最大序数的悖论是在罗素悖论之前由布拉里—弗蒂（Burali-Forti）所发现。罗素认为这个悖论比自己的悖论复杂得多，只不过猛一看它所产生的摧毁力似乎不那么强烈，但其实后果的严重性并无差别。

二、令w作为所有并非本身元素的类的类，那么，无论类x可能是什么，“x是w”与“x不是x”是等值的。因此，对x给值w，则“w是w”与“w不是w”等值。

三、无论R对S有无R关系，令T是存在于R与S两个关系之间的关系。那么，无论关系R和S可能是什么，“R对S有关系T”与“R对S不具关系R”等值。因此，对R和S都给定值T，“T对T有关系T”与“T对T不具关系T”等值。

四、有穷整数的英文名称中音节的数目随着整数的加大而加大，而且必定是不确定地逐步加大，因为仅有有限的名称可以通过一些给定的有限的音节构成。因此，某些整数的名称必定至少由19个音节构成，而这些整数中必会存在一个最小数。如此一来，“无法用小于19个音节命名的最小整数”必定指称一个确定的整数。事实上，它指示着111777。然而，“无法用小于19个音节命名的最小整数”的本身却是一个由18个音节构成的名称；因此，无法用小于19个音节命名的最小整数却能够用18个音节来命名，这就是一个矛盾。

五、超穷序数（transfinite ordinals）中有一些能够加以定义，而另一些则不可定义；因为可以定义的总数是0，而超穷序数的数目却超过0。因此，必定存在不可定义的序数，而在它们中必定存在最小的一个。然而，正是这一点被定义为“最小的不可定义的序数”，这就是一个矛盾。

六、理查德（Richard）悖论与最小不可定义序数的悖论相类似。它表现如下：考虑可通过有限的词定义的所有小数；令E是这些小数的类。那么E具有0项；因此，它的元素能按第一、第二、第三……顺序来排列；令N为定义成如下的一个数：如果在第n个小数中的第n个数字是p，令在N中的第n个数字是p+1（或者o，如果p=9）。那么N与所有E的元素不同，因为无论有穷值n可能有什么，N中的第n个数字不同于组成E的第n个小数中的第n个数字，因此，N与第n个小数不同。然而，我们已用有限的词定义了N，因此，N应当是E的一个元素。那么，N既是又不是E的一个元素。

七、布拉里—弗蒂（Burali-Forti）矛盾可表述如下：每一个良序的数列都有一个序数，它达到并包含任何给定序数，并比给定的序数要超出一个，而且（据某些相当自然的假设）所有序数的数列是（按大小排列）良序的。由此可见，所有序数的数列具有一个序数，如Ω。但在这种情形下，所有包括Ω的序数的数列据有序数Ω十1，而它们必定大于Ω，因此Ω并非所有序数的序数。[184]

罗素还提出“理发师悖论”来使自己的发现更通俗易懂。一名理发师的招牌上申明：“城里所有不自我刮脸的男人都由本人替他们刮，本人也只给这种人刮。”问题来了，何人替这位理发师刮脸？倘若他自我刮脸，那他就属于自我刮脸的那种人。然而，他的招牌强调他不替这种人刮脸，因而他不得自我刮脸。倘若其他人来替他刮，那他本人就属于不自我刮脸的人。然而，他的招牌指明他要替所有这类人刮脸。因而所有其他人都不能给他刮脸。如此一来，不会有任何人可以替这位理发师刮脸了！

罗素指明上述所有矛盾只是从大量矛盾中挑选出的几例，但它们都有一个共同的特点，即都可以描述为自我指示或自返性（self-reference or reflexiveness）。爱比美尼德斯之语在其自身范围内必定包含自身。如果所有的类只要不是自身的元素，就都是W的元素，这必定也对W适用；与此类似的关系矛盾也是同样的。在名称和定义的例子中，悖论来自把不可命名性和不可定义性当成名称和定义中的要素。在布拉里—弗蒂悖论的例子中，那些引起困难的序数的数列是所有序数的数列。在每个矛盾中，都是某事物被说成对某种所有事例，但从所说的又产生了新的事例。当所有的事例由所说的进行考虑，这新的事例既属于又不属于这类事例。

在《数学原理》专谈逻辑类型论的一章中，罗素以所谓恶性循环原则（the vicious-circle principle）为切入点揭示了：所有各种悖论全都起因于某种恶性循环，即对象构成的集合（collection）可包含只能由作为整体的集合来界定的某些元素。例如命题的集合被设想包含“所有命题或真或假”这一陈述。然而，只有在“所有命题”所指的是已被确定的某些集合，上述这句话才能是正确的。否则相反。但实际上，这一点无法实现，因为对“所有命题”所作摹状的新命题是被生造出来的。这样一来，有关“所有命题”的表达毫无意义。从更普遍的意义说，倘若假设任何给定的集合都有一个总体或总数（total），它必将包括某些假定这个总数的元素，若真如此，这个集合就不可能具有总体。人们说某一集合不具总体，那就是指，对“所有这个集合的元素”这句话来说，它没有任何意义。一个结果是，命题必然成为一个没有总体的集合。掌握了这一原则，就可以帮助人们去避免造成悖论的那些不合理总体（illegitimate totalities），因此可以这样理解；“无论如何一个集合的所有元素必不得成为此集合的一个元素”，或反之而言，“如果一个集合具有由总体各项所界定的元素的一个总体，那么这个集合就没有总体”。若违背了这个原则，就会陷入不合理总体中的循环，从而导致悖论。有时也会产生这样的情况，尽管论据是假的，但它推出的结论却在事实上是真的。例如排中律指出：“凡命题为真或为假”，若据此，就会导致一个循环的错误。因此，在将“所有命题”组成一个合理总体之前，必须对某些方面进行限制，并让其成为合理的任何界限必须让有关此总体的任何表述处在此总体的范围以外。假设某一怀疑论者说自己什么都不知道，但他知道自己什么都不知道的这个断言本身就是一个循环的错误，因而毫无意义。为了让他的断言有意义，就必须对其所肯定无知的那些对象设定某种界限，因为他可能不知的那些事物组成了一个不合理的总体。只有这个怀疑论者对判定为自己所不知的那些命题的集合设定了正当的界限时，他判定自己不知这一集合中所有元素的那个命题本身，才会不成为这个集合中的一个元素。做到了这一点，任何有意义的怀疑论者就能自圆其说。[185]

罗素指出：“符号逻辑的悖论关系到各种对象，如命题、类、基数与序数等，而它们全部都显示了不合理的整体性，因此造成恶性循环谬误。”[186]为此，他进一步探讨了“命题函项的性质”“真假值的定义及歧义”“为什么一个给定的函项需要某种类型的推理”“函项与命题的层次”以及“归原公理”等论题；最后对一些典型的悖论进行了分析，并提出解决的方式。对此，罗素更深一层地看到，对命题函项来说，情况也是这样。因此，就有必要将集合细分为若干小集合，而它们则可以具有总体。在罗素看来，各种矛盾或悖论的出现总是由于词语中暗含典型的歧义，而这些矛盾和悖论的解决就是揭示这些歧义。词语和符号实际上囊括所有数学及数理逻辑所关注的概念，而系统性的歧义起因于系统性的类推（analogy）。这就是说，在几乎所有构成数学和数理逻辑的推理中，人们利用了由无穷不同典型的断定所得来的概念，而它们都背离了推理的有效性。

绕开那些繁琐的细节，也许研究类型论的最佳方法是考查什么是某一“类”的意义。可以先以一个普通的例子来阐明。设想应邀出席晚餐后，主人摆出三道甜食随客人选择，挑其中一种、两种，甚或三种。这样会有下列四大类方式：其一，三者全不选；其二，三者只选一（这有三种可能的选择）；其三，三者选二（这也有三种可能的选择）；其四，三者全都选。如此算来，就会有八种可能的选择。倘若将这个程序形成通则：设想有n数的事物，对之全部不选，或选几个，抑或全选。试问共有多少选择？很显然，选择法的数目是2n。从逻辑角度来看：一个有n项的类会有2n次一级的类。倘若n为无限，此命题依然正确。康托所作证明在于，即便在此例中，2n大于n。倘若如同罗素所做的将此应用到宇宙间的所有事物，便可得出以下结论：事物的类多于事物；因而“类”就不是“事物”。然而，由于无人可以完全明白上述“事物”一词的意思究竟如何，因此，将已证明出来的东西很确定地表述出来会相当困难。

就此而论，所谓类仅是言谈时的某种方便。在《数学的原则》写作之时，罗素对“类”这个问题曾几乎一筹莫展。他把这种情况归结为，当时表达意思所用的语言，带有太多的实在论色彩（经院哲学意义上的）。为此，在此书的序中，罗素提到：“对那些不易界定事物（哲学逻辑的主体）的探究是设法将其看得明晰，也是让他人看清楚它们。如此一来，我们的心理有可能认识这些实体，正如认识红色或菠萝的滋味一样。所有我们所获到的那些难以界定的事物，只要处于分析过程中必然遗存残余的时候（当下的例子就是如此），知晓必存这样的实体常常比实际觉察它们会较容易一点。有某种过程与发现海王星的过程很相似，只有一个差别，这就是，用精神的望远镜来探寻那种已推论而出的实体，而这最终的阶段经常是操作此事最困难的部分。有关类这个例子，必须坦率地说，我本人并未发现存在着任何概念能够成为满足类这个概念的必要条件。在第十章中，所讨论的矛盾证明了某些东西不太正确，然而，这到底为何我始终不得而知。”[187]

罗素后来改变了自己的想法。他认为，假设存在任何命题函数（propositional function）[188]fx， x的值会存在某一相应的范围，也只有在其中，此函数具有“意义”，就是非真即假。倘若a属于此范围，作为一个命题fa就非真即假。除用某一常数代换变数x外，对于某一命题函数，仍可有两种做法：一是称它为永真；另一是称之有时为真。“如果x为人，x就一定会死”此一命题函项永真；而“x为人”此一命题函项则有时为真。因而对于某一命题函项可有三种做法：一是以某一常数代换变数；二是将此函项的所有值进行断定；三是对某些值或至少其中一值进行断定。所谓命题函项本身仅为某一式子，而并非对何种东西进行断定或否定。以此类推，某一类也仅为某一式子，而只作为让此函项为真的变数有关值的某种便利之法。

针对这个目的，罗素又提出一种学说如下：当对fx函数的所有值进行断定之际，若使所断定的东西明确，x的所取值就必须明确；亦即x可能的所有值必存某一总体。倘若用这个总体进一步来说明新的值，此总体似乎得以扩大，并且那些新值也随之与这个扩大了的总体产生关联。由于那些新值必须被这个总体所囊括，因而这个总体会无法追上这些新值。罗素用说谎者悖论为例来说明自己的这一学说。那个说谎者说：“无论我说任何话皆为假的。”实际上，这本身即是他所说的一句话，此句话就是指他所说的话的总体；但只有将它包括进那个总体之际才出现悖论。因此，必须区别两个层别的命题，即涉及命题总体的命题和不涉及命题总体的命题；而前者决非为那个总体之中的元素。可以将第一层命题看作不涉及命题总体的那些命题；第二层命题就是涉及第一层命题之总体的那些命题；以此相推，可至无穷。这样看来，那个说谎者必须如此说：“现在就是肯定某一第一层的假命题，它是假的。”然而，这句话本身就是一个第二层的命题。他并非说出任何第一层的命题。如此一来，他所说的那种既假又真的矛盾似乎得到化解。[189]上述这种方法完全能够适用任何高一层的命题。对所有逻辑悖论而言，其均有某种反身自指，对这种状况都可以用同样的方式进行辩驳。即是说，这种所谓反身自指包含着表达那个总体的罗素的逻辑类型论的根本原则，通俗地说就是把命题和它所指的对象区分为不同的层次，即命题自身并不包括在它所指的对象中。罗素指出：“假定个体的总数为n，那么个体类的总数就是2n，于是个体类的类的总数就是2的2n次方，以下类推。在这里，n可以是有穷或无穷，但在这两种情况下2n都大于n。于是，大于n但并不大于2n的基数便适用于类的类而存在，但并不适用个体的类；因此，无论我们假定什么样的个体数，都将会有为高一层次而非低一层次的存在公理（existence-theorems）。”[190]

我们将说谎者悖论先化为一个简单而严格的形式，即一个人说：我在说谎。人们可将其解释为“我肯定着一个命题，而它是假的”，即断定了“我肯定P，而P是假的”。但“假的”这个词是含混的，为让其成为清楚的，就必须详细阐明这个假的层次，以及此假所从属的命题的层次。如果其中的P为第n层，那么，以P为变项的上述整个命题就是更高一层的，即n+1层。也就是说，我们断定一个命题p，但它为一个第n层的假命题，此命题的真或假，与第n层比较而言，乃高一层的命题。因此说谎者的表述不包含在其所说的范围内，因此没有产生矛盾。换种方式说，人们把某一总体命题所指的对象作为一个层次，而把总体命题本身作为比上述层次更高的第二个层次，并以此类推。一切有关对象的陈述，只在其本身类型层次中才有意义。“我在说谎”这一命题自身不属于它所指的谎话的那个层次，因此，“说谎”这一陈述对于“我在说谎”这个命题就没有意义。这样，悖论就似乎得到了解决。

罗素认为，悖论的出现是由于它假定了一个事物的集合可以包含只能由其总体来定义的那些元素，而把涉及某一总体的命题作为该总体的一个元素，结果导致了认识上的混乱。因此，类型论要求所有涉及某一总体的命题，都不能成为该总体的分子，它力图把大集合分为若干具有自己总体的小集合，并把包含有一个表面变项（variable）[191]的任何表述看作是比这个变项更高的层次。当人们对一个总体赋予新值时，总体就会扩大，而原来的总体永远赶不上扩大后的总体。对于这种关系，罗素曾诙谐地说，就像光线从背后把人的影子投在地上时，人们永远不能跳到自己头部的影子上去一样。

在罗素的启迪下，人们通过不断的探索，给悖论作了一个规定：如果对一个命题的肯定便意味着否定，否定便意味着肯定，即由其真可得出其假，由其假可得出其真，那么，就构成了悖论。上述“说谎者”还不是严格意义上的悖论，而仅作为古代的一种原始说法，因为它固然可以从真引出假，但从假并不能推出其全部真，而仅能推出部分真，即并不能推出所有的克里特人都不说谎。这里，我们可以按照悖论的精确含义，赋予这类悖论以更严格的形式，例如我们以单数第一人称为主语列出几个命题：“我总是说谎”；“我从来不讲真话”；“我此时写的正是一个假句子”；给人看一张纸，纸的正反两面都写着“这张纸背后的那句话是假的”；或者，我们在一个方框中写上这么一句话“在本方框中引出的这个陈述是假的”等等。由于这些命题恰好都是指其自身，因此，就可以由肯定其真推出其假，由其假推出其真（而不仅仅是推出部分为真）。受到这种严格限制的悖论，也就显得更加神秘莫测了。

到了近代，随着人类认识的发展，在数学集合论和语义学上，人们接连不断地发现了许多新的悖论，如1897年布拉里—弗蒂悖论、1899年康托悖论、1902年罗素悖论、1965年瑞查德悖论以及格瑞灵悖论等等，其中以罗素悖论和格瑞灵悖论影响最大。还应指出，我国学者于1958年发现的沈氏悖论在学术界也产生了很大的影响。

由于有些悖论牵涉到的符号和公式太多，一般读者不易看懂，为了通俗介绍，我们就以属于语义学而不属于逻辑或数学的格瑞灵悖论为例。这个悖论可以概括如下：形容词可以分为自述的和非自述的两类，凡一个形容词既适用于它所形容的对象，又适用于它本身；或者说一个形容词所形容的对象与其自身一致，就是自述的，反之，就是非自述的。例如，“汉语的”这个形容词是汉语中的一个词，所以，可以说，“汉语的”一词本身就是汉语的，同样“形容词的”这个词本身就是形容词；“抽象的”这个词本身也是抽象的，因此这些词都是自述的。但是，大部分形容词却是非自述的，如在汉语中，“英文的”这一词本身并不是英文的，而是用中文表达的，因此，它只能指它所形容的对象，而不能指它自身，同样，“动词的”这个词本身是形容词，“具体的”这个词本身是抽象的。有趣的是，虽然几乎所有的形容词都可以这样分类，但当“非自述的”这几个字构成形容词时，却偏偏出现了麻烦：“非自述的”这个形容词究竟是自述的还是非自述的？如果它是自述的，那么，它就应该是非自述的；如果它是非自述的，那么，它就应当是自述的。这样一来，“非自述的”一词就既是自述的，又是非自述的，从而陷入了悖论。

上述所有悖论与不太严格的说谎者悖论一样，实质上可以说都是事物某些复杂关系在人们思维中的虚幻反映。具体一些说，是人们对命题作自返性的描写，因而引出了恶性循环论证的一种悖谬。悖论造成了人们的思维混乱，它不仅表现在数学和逻辑方面，也表现在哲学甚至日常生活中。例如人们常说的“一切事物都不是绝对不变的”这一哲学命题，我们如果反问：既然一切事物绝对会变，那么这命题本身也会变，变的结果，岂不就成为“一切事物都是绝对不变的”了吗？这样一来，就陷入了悖论之中。再如“怀疑一切”这一说法，既然一切都可怀疑，那么这一说法本身也可对之怀疑，如此一来就变成了“不能怀疑一切”了。

虽然不能说逻辑类型论已经完全解决了，但却可以说它极大地促进了逻辑的发展。因为在一定意义上，它正确地反映了客观外界的无限多样性。这种多样性可以以一种多层性的形式反映在人们思维中。作为人类思维的外在表现形式的语言势必在某种程度上间接反映着这种客观的多样性或多层性。当人们的语言层次或思维层次与客观外界的层次不协调时，就可能出现悖论，而通过对语言和思维的层次分析，可以帮助我们了解事物的各种规定性。当然，我们应当指出：客观世界的所谓“多层性”绝不像罗素的逻辑层次那样壁垒分明，而是呈现出极复杂的状态，而且，命题的层次说只是从思维的形式和结构方面来讲的，它仍是一种有待进一步检验的假说。

那么，人们试图解决悖论的种种努力究竟有什么意义呢？简单概括起来大概有以下三个方面：1）从数学上看，悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究，这种努力正是企图给数学以相对更加牢靠的基础；2）从逻辑上看，单以二值逻辑来说，它的值必须或真或假，即不能既真又假，然而，逻辑悖论却破坏了矛盾律和排中律，使命题的值既真又假，无法确定，解决悖论的努力可以说是在企图维护形式逻辑的基本律；3）从哲学上看，人们在解决悖论的探索中，使自己的认识不断深化，从而对相对静止的思维形式和结构，以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。此外，上述努力对于反对诡辩论和相对主义也有一定的意义。