第六章    广义相对论

除了用时-空代替时间和空间这一问题以外，与狭义相对论相比，广义相对论拥有一种更宽广的视野及一种更强的哲学趣味。广义相对论要求放弃分开的事件之间的所有直接关系，即时-空所依赖的、主要限于非常微小的区域且仅仅通过积分而得以扩展（在它们能够扩展的地方）的那些关系。所有旧几何学的装置——直线、圆、椭圆等等——都消失了。经过某些修改，属于拓扑学的东西依然留存；而且有一种新的短程线几何学，它产生于高斯在黎曼就职论文的基础上所做的曲面研究。只要我们不是在考虑物理学中像电子、质子及量子之类的那些引入了可分性的领域，几何学与物理学就不再有区分。甚至这种例外可能也不会长期存在。还有一些迄今为止尚处于广义相对论视野之外的物理学领域，但却没有在某种程度上与其不相关的领域。它对哲学的重要性甚至可能超过它对物理学的重要性。当然，不同学派的哲学家已经利用它来支持其各自的招数。人们声称，圣·托马斯、康德及黑格尔已经预见了它。但我认为，任何提出这些建议的哲学家都没有下功夫来理解这个理论。就我而言，我没有自称完全知道其哲学后果最终会被表明是什么样子的；但我确信，这些后果将是影响深远的，并且完全不同于它们对不懂数学的哲学家所表现出来的样子。

在本章中，我希望仅仅将爱因斯坦的理论当作一种逻辑体系来考虑，而忽视其哲学的涵义。这个体系首先假定了一个拥有确定顺序的四维流形。该假定所采取的形式多少有点是技术性的：所假定的是，当我们拥有一组可被称作普通坐标（比如被自然地使用在牛顿天文学中的那些坐标）的东西时，就存在某些合法的坐标转换及另外一些不合法的坐标转换。合法的转换将无穷小的距离转换成无穷小的距离。这等于说，转换必须是连续的。也许，所假定的东西可以陈述如下：假定有一组点P₁，P₂，P₃，…，它们的坐标趋向于一个极限即一个点P的坐标，那么在任何新的合法的坐标系中，这些点P₁，P₂，P₃，…一定拥有趋向一个极限的坐标，而且该极限就是新的坐标系中点P的坐标。这意味着，这些坐标系中的某些顺序关系代表了时-空中的这些点的属性，并且已经被预先假定在坐标值的指派中。关于所涉及的东西的精确陈述只能通过极限被做出；但是，正确的意义是通过邻近的点一定拥有相近的坐标这一说法而得以传达的。在以后的一章中，我们将讨论一个具有相对论性质的坐标系在顺序上的预先假定所具有的精确本性。眼下，我只想强调，在广义相对论中，时-空流形拥有一种并非任意的顺序，并且该顺序将在任何一个合法的坐标系中被复制。重要的是要认识到，这种顺序纯粹是顺序，它不包含任何度量的成份。它也不可从该理论后来所引入的点的度量关系中推导出——也就是说，不可从“间隔”中推导出。

当然，时-空的点既无时间上的持续，也无空间上的广延。通常假定，几个事件可以占据同一个点；这包含在关于世界线的交点的概念中。我认为，也可以假定，一个事件可以穿越一个有限的时-空跨度；但在这点上，据我所知，该理论是沉默的。在以后的一章中，我将处理作为事件体系——体系中的每个事件都有一个有限的广延——的点的构造问题；怀特海博士已对这个主题做了特别的处理，但我将提出一种多少有点不同于他的方法。只要把自身限定于相对论，我们就没有必要考虑事件是否有一个有限的广延，尽管我认为有必要假定两个事件可以占据同一个时-空点。然而，甚至在这一点上，权威的解释也有一定程度的模糊性，而此种模糊性大部分是由该理论所主要涉及的大尺度现象导致的。有时，似乎整个地球被算作一个点；当然，在相对论作者的实践中，一个物理实验室被算作一个点。偶尔地，爱丁顿教授会认为一个9×10¹⁰平方公里的面积是一个二阶无穷小。这样的观点在关于相对论的讨论中是适当的；因此，关于两个事件占据同一个点或两条世界线相交这样的说法意味着什么，不必弄得很精确。现在，我将假定这在一种严格的意义上是可能的；我的理由将在后面的一章中给出。

人们认为，每一个时-空点都有四个被指派给它的实数，而且反过来，任何四个实数——至少在一定的限度内——都是一个点的坐标。这等于假定，点的数目是2^N₀，而N₀则是有限整数的数目；这也就是说，点的数目是康托尔连续统的数目。每一个由2^N₀个项构成的类（class），都是在四维连续统中——或就此而论，在一个n－维连续统中——对这个类进行排列的各种多项关系的域。但是，我们所需要的比这稍多一点。在所有排列四维连续统上的时-空点的方式中，只有一种方式具有物理的意义，其它的方式只是相对于数理逻辑而存在的。这意味着，在点中间，一定有一些可以从经验基础中引导出的关系，它们产生了一个四维连续统。这些是我在上上段中所提及的顺序关系。因此，我们假定，这些顺序关系产生了一个连续统，并且坐标的指派方式使得邻近的点拥有相近的坐标。更确切地说，一组点的极限的坐标就是这组点的坐标的极限。这不是一条自然法则，而是关于坐标指派方式的一种对策。它留下了很大的但并非完全的自由空间。它允许用另一个坐标系来代替任何一个坐标系，而在用以代替的坐标系中，那些新的坐标是原有坐标的许多连续函数；但是，它排除了非连续函数。

我们现在假定，任何两个相邻的点都拥有一种度量上的关系；这个关系被称为它们的“间隔”，而该“间隔”的平方是它们的坐标差的二次函数。这是经由高斯和黎曼而来的对毕达哥拉斯定理的一种推广。简短地回顾一下其发展历程将是值得的。

根据毕达哥拉斯定理，假如一个平面上的两点拥有坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂），并且S是它们分开的距离，那么：

s²=（x₂－x₁）²＋（y₂－y₁）²。

s²=（x₂－x₁）²＋（y₂－y₁）²＋（z₂－z₁）²。

ds²=dx²＋dy²＋dz²。

ds²=du²＋dv²；

ds²=Edu²＋2Fdudv＋Gdv²，

黎曼将这种方法推广到了空间。他设想，毕达哥拉斯定理可能是不精确的，并且关于两点间距离的正确公式可以通过增加另一个变项而从高斯公式中产生。他表示，这个假定可以被当作非欧几何的基础。然而，直到爱因斯坦的引力理论对其加以利用，非欧几何的整个主题才与物理学产生了明显的关联；爱因斯坦的引力理论就是黎曼的想法与用时-空“间隔”代替时间与空间中的距离这种做法相结合的结果，而此种结合已由狭义相对论实施了。

正如我们所看到的，在狭义相对论中，两个时-空点——其中之一是原点——之间的间隔是s；在这里，若间隔是类空间的，则有：

s²=x²＋y²＋z²－c²t²，

s²=c²t²－x²－y²－z²。

在离物质很远的地方，狭义相对论还将是真的，而且空间因此也将是欧几里得的，因为假如我们设ds=0，狭义相对论就将给出关于距离的欧几里得公式。引力物质的邻域是由所涉及区域的非欧几里得特征所显示的。然而，这需要进行一些初步的解释，尤其需要对张量方法做出解释；我们下一章的主题就是解释张量法。

广义相对论中的一切事物都依赖于上述关于ds²的公式的存在。这个公式自身具有经验归纳的性质，而且没有人为它提出任何先天的证明。它是毕达哥拉斯定理的推广，而人们以前是能够证明这个定理的。但是，这种证明曾取决于欧几里得公理，而我们并无理由认为那些公理是完全真实的。不仅如此，为他的基本概念——比如“直”线——指派一种意义也是困难的。旧几何学假定了一个静止的空间；而它之所以能做到这一点，是因为人们设想空间和时间是可以分离的。自然地，人们认为，运动是沿着空间中的路线进行的，并且在运动前后，空间都在那里：有轨电车沿着预先存在的轨线运动。然而，这种运动观已不再能站得住脚了。一个运动着的点是时-空中的一系列位置，而后面的一个运动着的点不能再走“同一条”路线，因为它的时间坐标是不同的；这意味着，在另一个同样合法的坐标系中，它的空间坐标也将是不同的。我们认为一辆有轨电车每天都在走同样的路线，因为我们认为地球是固定的。但从太阳的角度看，这辆有轨电车绝不会重复先前的路线；这就像赫拉克利特所说的，“我们不能两次踏进同一条河里”。因而显然，我们将不得不使用根据时-空而非空间来定义的且具有某种特殊性质的运动，来代替欧几里得静止的直线。所需要的运动是一条“短程线”，以后我们将更多地谈论这种“短程线”。

在相对论中，分开的时-空点只拥有能通过积分而从邻近的点的关系中所得到的关系。因为两点间的距离总是有限的，所以我们所称的在邻近的点之间的关系实际上根本不是点与点之间的关系；像速度一样，它是一种极限。只有微积分语言才能准确地表达所意味的东西。形象地讲，人们可以说，“间隔”概念所涉及的是在每个点上趋于发生的事情——尽管我们不能说这个事情将会实际发生，因为在到达任何指定的点之前，都可能发生某种事情并导致其偏离。当然，这是在速度方面所出现的情况。在特定的瞬间，一个物体将以特定的速度沿特定的方向运动；由这个事实，我们丝毫推断不出该物体在另一个指定的瞬间——无论多么接近第一个瞬间——将会出现在什么地方。为了从物体的速度中推论出它的运行路线，我们必须知道它在一段有限的时间中的速度。类似地，关于间隔的公式描绘了每一个单独的时-空点的特性。为了获得一个点与另一个点之间的间隔（无论这两个点多么接近），我们必须具体指明一条路线，并沿着那条路线进行积分运算。然而，我们将会看到，有一些路线可以被称为“自然的”，它们是短程线。唯有通过它们，间隔概念才能有益地扩展到彼此相距一段有限距离的那些点的关系上。