第七章    张量法

张量法包含着对一个问题的回答，这个问题因我们的坐标的任意性特征而显得迫切。我们怎么能知道用坐标表达的一个公式是表达了某种描述物理现象的东西，而不只是表达了我们碰巧使用的具体的坐标系呢？一个有可能在这方面出错的显著的例子，是由同时性提供的。假设我们有两个事件，它们在我们所使用的坐标系中的坐标是（x，y，z，t）和（x'，y'，z'，t），——也就是说，它们的时间坐标是一样的。在狭义相对论出现之前，每个人都断言这代表着关于两个事件的一个物理的事实，即它们是同时发生的。现在我们知道，所涉及的这个事实也包含着对该坐标系的提及——也就是说，它不仅是两个事件间的一种关系，而且也是它们与参照体之间的一种关系。但是，这将说狭义相对论的语言。在广义相对论中，我们的坐标没有任何重要的物理意义，而且拥有同一个坐标的一对事件，无需拥有不为其它成对事件所拥有的任何内在的物理性质。实际上，坐标的指派一定遵循某种原则，而这个原则一定具有某种物理的意义。但是，我们可以（比如说）用曾经制造出来的最差的时钟来测量时间——假如它只是走错了而又并未真正停下来；而且，我们可以使用某只虫子作为我们的长度单位，而无视运动导致其去遭受的“斐兹杰惹收缩”。既然那样，假如我们说在两个都发生于某一瞬间的事件之间存在着单位距离，那么我们将要在这两个事件、一只性能糟糕的时钟及某个虫子之间进行一种复杂的对比——也就是说，我们将做出一个依赖于我们的坐标系的陈述。我们想要发现一个充分的——假如不是必要的——条件，并且如果该条件得到了满足，它将保证我们依据坐标所做的一个陈述拥有一种独立于坐标的意义。这种差别或多或少类似于日常语言中语言学陈述与关于（通常就是这样）语词所指之物的陈述之间的差别。假如我说“力量是一种可愿望的特质”，我的陈述就可以在不改变意义的情况下翻译成法语或德语；但是，假如我说“力量是一个包含七个辅音和一个元音的词”^注24，那么若将我的陈述翻译成法语或德语，则这个陈述是错误的。现在，物理学中的坐标类似于语词；两者的差别在于，把“语言学”陈述从其它陈述中区分出来要困难得多。这就是张量法试图要做的事情。

用非技术语言阐述张量法似乎是不可能的。我恐怕，不能指望那些认为微积分没有学习价值的哲学家理解它。也许，用以解释它的某种简单方法可以及时被人发现，但迄今为止尚未有人发现过这样的方法。^注25

假如我们拥有一个向量，它的分量是A¹，A²，A³，A⁴（这里的1，2，3，4起到指标［suffix］的作用，而非一些指示幂的指数），那么在某些情况下，若我们碰巧转换到任意一组其它的坐标x'₁，x'_2，x'_3，x'₄上，且它们是原有坐标x_1，x_2，x_3，x₄的连续函数，则我们将拥有A'¹，A'²，A'³，A'⁴作为新坐标中该向量的分量，且在这里：

我们还可以有一个向量，它的分量为A₁，A₂，A₃，A₄。它通过下述定律被转换：

显然，假如我们拥有两个逆变向量A和B，它们的分量在某一个坐标系中是相等的，那么它们的分量在任何坐标系中都是相等的；同样的说法也适用于两个协变向量A和B。这个说法可以马上从上述转换规则中推论出来。因而，当两个逆变向量或两个协变向量的某种相等性出现时，这种相等性是一个独立于坐标系的事实。事实上，它是最简单的张量方程。

通常的“张量”定义，是对逆变向量和协变向量的定义所做的一种抽象。我们可以拥有一个具有下列十六个分量的量，并以之代替仅有四个分量的向量：

A₁₁，A₁₂，A₁₃，A₁₄，A₂₁，A₂₂，A₂₃，A₂₄，

                  A₃₁，A₃₂，A₃₃，A₃₄，A₄₁，A₄₂，A₄₃，A₄₄；

可以毫无困难地把这些定义扩展到任意数目的指标上。显而易见，就像在逆变向量与协变向量的情况下一样，假如同一类型的两个张量在一个坐标系中是相等的，那么它们在任何坐标系中都是相等的，以至于张量方程表达了某些独立于坐标之选择的条件。由于这个原因，有必要把所有一般的物理定律都表达为张量方程；假如不能做到这一点，所涉及的定律一定是错误的，并且必须进行修正，以使其能作为一个张量方程被表达出来。引力定律是这方面最值得注意的一个例子；但相对而言，也许能量守恒几乎没有受得人们的注意。^注26

张量法或许是物理学历史发展的一个结果；似乎可以自然地设想，相比于张量法所提供的方法而言，有可能确立一种不太间接的表达物理定律的方法。在物理学中，坐标最初欲被用来表达所涉及的事件与原点之间的物理关系。其中的三个坐标是长度；人们以为，这些长度能通过使用刚性杆进行测量而确定下来。第四个坐标是时间，我们能使用计时仪将其测量出来。然而，存在一些困难，并且物理学的进步使这些困难迅速变得引人注目。只要地球被看作是不动的，使用相对于地球而固定的参考轴线及保留在地球表面的时钟似乎就够了。因为通过选择最有刚性的物体及最精确的时钟而揭示出来的物理定律体系，能被用来估计这些仪器与严格的不变性（constancy）之间的背离，而且所得到的结果在总体上是一贯的，所以我们就有可能忽视这样一个事实，即没有哪个物体是完全刚性的，且没有哪个时钟是完全准确的。但在包括潮汐问题在内的天文学问题中，地球不可能被视作是固定的。对牛顿力学来说，参考轴线必须没有加速度；但是由引力定律可以得出，所有的实体参考轴线都必定有某种加速度。因此，参考轴线变成了绝对空间中的理想结构；用实际的杆子所测得的实际结果，只能近似于我们使用没有加速度的参考轴线时所得到的结果。这个困难并不是最严重的：最麻烦的事情与绝对加速度有关。随后，人们从实验上发现了导致狭义相对论的事实：长度和质量随速度而变化，以及不管使用什么样的物体来定义坐标，光在真空中的速度都是不变的。这组困难被狭义相对论解决了；该理论表明，在一组作匀速直线运动的物体中，使用任何一个作为参照体，我们都会得到等值的结果。然而，这仅仅做到了伽利略和牛顿认为他们已做到的事。它从速度方面把电磁现象纳入到了相对论的范围内；但是，明显有必要把相对论扩展到加速度，并且当做到这一点时，坐标就不再拥有它们从前所拥有的那种清晰的物理意义。确实，甚至在广义相对论中，我们能实际使用的任何坐标系中的一个坐标，都将始终拥有某种物理的意义；但这种意义是没有价值且复杂的，而不像以前那样是重要且简单的。

可以自然地问：由于坐标变成了仅仅是被系统性地指定的约定名称，我们难道不能完全省去它们吗？也许，这迟早会成为可能；但目前尚缺乏必要的数学知识。例如，我们希望能够求微分，可是除非一个函数的自变量和值是数值，否则我们就不能求它的微分。这不是由微分定义中看似比较困难的那些部分所导致的。我们可以为非数函数定义一个特定自变量函数的极限（如果存在的话），也可以定义更常出现的四个极限，即通过向上或向下逼近而得到的最大值和最小值。我们也能定义一个“连续的”非数函数。（参阅《数学原理》（Principia Mathematica），第230-234节。）迄今尚未定义的东西，除了数以外，就是分数。现在，是一个分数的极限；因而，尽管我们能够抽象出关于极限的概念，但我们目前不能对进行抽象，因为我们不能抽象出关于分数的概念。人们似乎先验地明白，因为坐标的微分法在物理学上是有用的——甚至当坐标的数量值是约定的时——，所以，一定存在某个过程，而对于该过程，微分法是一种特殊的数的形式，并且这种形式能应用到任何一个我们在那里拥有连续函数——甚至当它们是非数函数时——的地方。定义这样的一个过程是数理逻辑的问题；这个问题很可能是可以解决的，但至今尚未解决。假如它真的被解决了，就有可能避免那种复杂的、迂回的过程，即先指派坐标，然后再把它们几乎所有的属性都看作是不相干的；而实施这样的过程就是我们在使用张量法时所做的事情。

确实存在一些数，它们在新几何学中是重要的：它们是给出间隔之大小的数。但是，正如我们已经看到的那样，相隔有限距离的两个点并不拥有一个明确的间隔；而且任何两个点都隔着一段有限的距离。包含在间隔概念中的数并非有限的距离，而是从十六个系数中产生的数；这些系数就是前一章中的包含在关于ds²的公式中的G_μν。这些系数自身依赖于坐标系，但ds²并不依赖于它。直到我们考虑了短程线，我们才能对这个主题加以展开。我们必须由短程线得到那些在新几何学中具有物理意义的数，而此种意义与人们设想坐标在旧几何学中所具有的意义是相同的。这些数将是沿着某些短程线所取的ds的积分。但是，与旧的度量几何学中的长度不一样，它们在几何学上是不充分的。为了避免不相干的复杂性，我们可以通过考虑狭义相对论来举例说明这种不充分性。

关于间隔未能成功地构造一种几何学的最明显的例子，来自对光线的思考。作为同一条光线之一部分的两个事件之间的间隔是零。现在假设一条光线从事件A出发，并到达事件B；在它到达B的那一刻，另一条光线从B出发，并到达C。那么，A和B之间的间隔是零，B和C之间的间隔也是零，但是A和C之间的间隔可以拥有某种类时间的大小。欧几里得证明，一个三角形的两边加起来大于第三边；由于这个命题的完全自明的，他受到了批评。但在相对论几何学中，这个命题是错误的。在我们的三角形ABC中，AB和BC是零，而AC可以拥有某种有限大小的间隔。

再者，作为一条光线之一部分的事件拥有一种确定的时间顺序，尽管它们当中任何两者的间隔都是零。这是以下述方式体现出来的。假设一条光线从太阳出发到达月球，然后由那里被反射到地球上：相比于一条在同一时间离开太阳直达地球的光线，它到达地球的时间要晚一些。因此，当我们说光线达到月球的时间要晚于它离开太阳的时间时，这种说法是有一种确定的意义的——也就是说，我们能够说光线是从太阳出发到达月球的，而不是从月球出发到达太阳的。我们可以概括地说：假如A和B是一条光线的一部分，并且由A到达B的一些光线——它们有别于前一条光线——包含着彼此间具有类时间间隔的两个事件C和C'，那么，不管这些新的光线可能是什么，C和C'的时间顺序都是一样的——也就是说，我们将始终拥有这一事实，即C在C'之前，或者，C'在C之前。这就阐明了当我们试图只依据间隔来建立几何学时所出现的那些困难。我们也必须考虑时-空间流形的纯顺序性质。在光线离开太阳与其到达地球之间，这些性质提供了一种宽广的分离，尽管这些事件间的“间隔”是零。

现在回到张量法及其可能的最终的简化问题上来，我们似乎很可能拥有一个关于一种一般倾向的例子；这种倾向就在于过分强调数，它早自毕达哥拉斯时代以来就存在于数学中，尽管在后来的欧几里得所阐明的希腊几何学中暂时地变得不太引人注目了。当然，欧几里得的比例理论并没有省略数，因为它使用了“等倍数”；但无论如何，它只需要整数，而不需要无理数。由于算术是容易的，几何学中的一些希腊方法自笛卡尔以来一直处于一种不显眼的地位，并且坐标到头来似乎成为不可或缺的。在许多问题上，尤其是在数学归纳、极限及连续性等问题上，数在从前似乎是必要的；但数理逻辑表明，在这些问题中，数是逻辑上不相干的。当不再使用数时，我们就需要一种新的技术；但在逻辑的纯粹性中，我们将有一种补偿性的收获。新的技术似乎是深奥的，因为人们不熟悉它。我们应该有可能把一种类似的纯化（purification）方法应用到物理学上。张量方法首先指派坐标，然后表明如何获得一些确实不依赖于它们的结果，尽管这些结果是用坐标来表达的。一定存在一种可能的不太间接的技术；在这种技术中，我们仅仅使用逻辑上必要的工具，并且我们拥有一种语言，这种语言仅仅表达现在由张量语言所表达的事实，而不表达依赖于坐标之选择的事实。我不是说，这样的一种方法，如果被发现了，在实践中将会是更可取的；但我确实是说，它为那些本质的关系提供了一种较好的表达方式，并将极大地促进哲学家们去完成自己的任务。与此同时，张量法在技术上是令人满意的，而且能够满足数学的需要。