第一节　传播动力学

一、传播动力学概念

传染病传播动力学需考虑传染病的四种基本特征（有病原体、有传染性、有流行病学特征、有感染后免疫）和流行的三个基本条件（传染源、传播途径、易感人群）。因此，与传统的统计方法相比，动力学方法能更好地从传染病的传播机制方面来反映流行规律，且通过与生物统计学、计算机仿真等方法的相辅相成、相互结合，能使人们对传染病流行规律的认识更加深入全面，能使建立的理论与防制策略更为可靠。

在传染病传播动力学研究中，数学模型起着重要的作用，其通过假设、参数、变量以及它们相互之间的联系来揭示传染病的传播特征。从使用的数学方法上来看，传染病传播动力学模型可分为确定性仓室模型和随机性仓室模型，因此，传染病传播动力学模型又被称为仓室模型（compartmental model）。常用的确定性仓室模型有常微分方程模型（ordinary differential equation，ODE）、偏微分方程模型、时滞微分方程模型、积分方程模型、差分方程模型、脉冲方程模型等；随机性仓室模型包括随机动力学模型、网络动力学模型、细胞自动机模型等。

二、发展简史

早在1766年，Daniel Bernoulli利用数学生命表描述天花疫苗效果。然而，直到20世纪初传染病传播的非线性模型才被真正认识。

1902年，Sir Ronald Ross因阐述疟原虫生命周期获得诺贝尔生理学或医学奖，他利用数学模型评估不同疟疾干预措施的效果；1927年，Kermark和McKendrick发表一系列论文，利用微分方程组描述疾病的传播过程，提出了传播阈值概念；2003年，SARS之后，数学建模在评估防控策略方面被大量应用；2009年，甲型H1N1流感大流行，使得理论流行病学的应用进入一个蓬勃发展的时期；2020年，新型冠状病毒感染大流行，以传播动力学模型为代表的数学模型得到了非常好的应用，在疫情趋势预测、传播模拟、防控措施特别是社交距离、戴口罩、筛查和检测、病例隔离等非药物干预措施（nonpharmacological interventions，NPIs）效果评估等方面，对辅助政府决策和制定防控策略起到了积极作用。

总之，传播动力学模型在国际上的发展和应用已经进入较为成熟的水平，但在我国公共卫生领域的研究和应用仍处于早期阶段。结合传染病流行病学、生态学、病原生物学、遗传学、应用数学、计算机科学等多学科交叉技术，让传播动力学模型在真实世界和大数据时代发挥应有的作用，将对公共卫生策略的制定和全球健康问题的解决产生积极的促进作用。

三、传播能力量化指标

（一）续发率

续发率（secondary attack rate，SAR）又称二代发病率，是用来衡量某种传染病传播能力的重要指标，指某些传染病在最短潜伏期到最长潜伏期之间，易感接触者中发病人数占所有易感者总数的百分比。

续发率通常用来衡量在家庭、班级、营房或其他小范围内封闭群体中的传染病传播概率，可用于比较传染病传播能力的强弱，分析传染病流行因素及评价卫生防疫措施的效果。

（二）基本再生数

基本再生数（basic reproduction number，R0）是用来衡量某种传染病传播能力的重要指标。其定义为：在易感人群中1个传染源在其传染期内预期直接传染的新病例数。R0越大，传染病的传播能力越强。计算R0需要比较严苛的条件，即要求全人群易感。

当R0＜1时，疾病不会流行，染病者数量将单调下降而趋向于零，疾病将逐渐消除；当R0＞1时，疾病出现流行；R0=1是传染病传播的阈值。

（三）有效再生数

在真实世界中，非药物干预措施以及疫苗接种会产生一定保护效果，难以完全满足R0计算中全人群完全易感性的前提假设，此时估算得到的再生数为有效再生数（effective reproduction number，Re），其意义与 R0类似。

（四）实时再生数

实时再生数（time-varying reproduction number，Rt）是指在某个区域的给定人群中，在t时刻的人口、经济、环境条件以及干预力度下，一个具有传染性的个体在其具有传染性的周期内在易感群体中造成二次传染的期望。t表示一个时间单位，可以是小时、天、周等，通常计算每一天的实时再生数。随着群体中具有免疫力人数不断增加（易感群体比例下降），Rt下降，新发病例数会逐渐清零。估计Rt有助于评估流行病的实时传播力以及干预措施的效果。

四、传播能力指标测算

（一）续发率计算方法

续发率计算公式如下（式2-1），计算时，分母（易感接触者总人数）应减去初代病例。

（二）R0、Re的主要计算方法

1.直接法

下面这个简单的例子展示了直接法中如何利用再生数定义计算R0与Re。

如图2-1，带字母编号的圆圈表示病例，连线表示病例间的传染关系，假设下层病例由上层病例传染，即病例a是初代病例，b、c、d是二代病例，f、h、e是三代病例，g、i是四代病例。此时通过计算流行初期未受到干预的少数几代病例的平均传播人数，可以得到基本再生数R0的估计。例如，取前两代病例估计，则R0=（3+3）/4=1.5；取前三代病例估计，则 R0=（3+3+2）/7=1.14。

对于有效再生数Re，可以截取某一段时间内的传播链，计算这一段时间内平均的Re。例如，将时间区间取为从流行开始到结束的整段时间，则这段时间内平均的Re=（3+3+2）/9=0.89。

在现实场景中确定传播链往往十分困难。多数情况下，无法确定唯一的传播链。此时，可以通过对每一种可能的传播链计算一个再生数，再用得到的一系列再生数来描述再生数的分布。

2.下一代矩阵法

下一代矩阵法是动力学模型中最常用、适用性最广的计算再生数的方法。该方法使用下一代矩阵描述不同状态病例（不同仓室）的发展方式，由Diekmann和Heester于1990年提出。下一代矩阵法中最常用的方法为Van den Driessche和Watmough法，其算法步骤如下。

（1）步骤1：

将所有仓室分为两类。第一类是未被传染的，包括易感者（S）、移出者（R）；第二类是被传染的，包括潜伏期者（E）、染病者（I）及无症状感染者（A）。

（2）步骤2：

根据转化图写出微分方程，并将第二类仓室的导数向量拆分成两部分：第一部分F是新产生的病例，第二部分V表示不同患病状态之间的相互转化。

（3）步骤3：

将向量F和V关于各传染性仓室（I、E）求导数，得到相应的Jacobi矩阵F、V。

（4）步骤4：

计算FV-1的最大特征值λmax（FV-1），计算Re。

（5）步骤5：

将无病平衡点（S=N）带入λmax（FV-1），得到下一代矩阵法定义的R0。

该方法在传播动力学模型中应用时，Re及R0的计算公式详见本章第三节。

3.Rt的主要计算方法

实时再生数Rt最常用的估计方法是基于代间距的方法。该方法基于“一段小的时间区间内的新感染病例数可能由这段小区间开始以前的任一被感染的病例造成”所描述的等式，并使用感染代际时间间隔的分布表示单个病例的传播能力在时间上的分布，将Rt表示为流行曲线和代间距分布的泛函。

自然史中有三个时间节点对代际关系的计算至关重要：被感染的时间、出现传染性的时间、出现症状的时间。根据这三个时间节点，可以引出以下三个关键代际关系指标（图2-2）。

（1）感染代际（generation time，GT）：

指传染源和续发病例被感染的时间间隔。

（2）传染性代际（the time interval between transmission generations，TG）：

指传染源和续发病例出现传染性的时间间隔。

（3）症状代际（serial interval，SI）：

指传染源和续发病例出现症状的时间间隔。

若获得了逐日发病数b（1），b（2），…，b（n），以及感染代际时间间隔GT的概率密度函数g（），即可根据式2-2计算每一个离散时间段的Rt。

例如，利用从首例病例开始前5天的逐日病例数据b（1），b（2），…，b（5），带入上述方程，得到（式2-3）：

将由此得到的R5作为第5天的实时再生数。类似地，根据1～6天的数据，可以计算第6天的实时再生数。