2.3.2　大M建模方法

大M建模方法（Big-M formulation）是一种以数据表达式刻画逻辑关系的重要方法。数学建模中常常使用大M和0-1变量对多种逻辑关系进行数学建模。包括大M的约束一般被称为大M约束。在大M约束中，当0-1变量取不同的值时，对应的逻辑关系就会生效。

以某水泥厂决策是否在某地建立厂房为例，令y为一个0-1变量，取值为1表示决定要在该地建立厂房，取值为0则表示不在该地建厂。令x为一个连续变量，表示该水泥厂的最优计划产量。若厂房的生产能力上限为M，则当不建厂房时，该水泥厂产量为0；若建立厂房，则最优计划产量一定不会超过M。上述对应关系可以简单地总结为：若y=0，则x=0；若y=1，则x≤M。这两个对应关系可以用一条线性约束表示，即x-My≤0。大M建模方法基于下面的定理[2]。

定理2.3.1［23］考虑x为任意类型的变量（连续型、整数型或0-1型），y为0-1变量。若x和y满足关系“当y=0时，L0≤x≤U0；当y=1时，L1≤x≤U1”，则该关系可以表示为下面的不等式：

在很多实际问题的建模中，更常用的是定理2.3.1的另一个版本，即定理2.3.2。令L0=L1=-∞，U0=0，U1=M（一般假设M＞0），可以比较容易地推出定理2.3.2。

定理2.3.2考虑x为任意类型的变量（连续型、整数型或0-1型），y为0-1变量。若x和y满足关系“当y=0时，x≤0”，则该关系可以被表示为x-My≤0，其中M是x的一个上界。

注意，若将定理2.3.2中的变量x替换为一个表达式（例如，2x1+3x2、x1+x2+x3等），结论依然成立。