2.2　模型建立

考虑公司投资一个项目，其收益流可观测但不可交易，公司收益流δ服从如下算术布朗运动：

其中，μ和σ是常数，分别表示公司收益流的增长率和波动率，Z是定义在赋有信息流（F_t）_t≥0的概率空间（Ω，F，P）上的标准布朗运动。

假设公司资本结构是由股权、普通债券和或有可转换债券构成，公司发行面值为L₁且票面利率为u₁的永久性债券(1)，即每年连续支付直至公司破产，则普通债券的息票支付b₁≡u₁L₁，并且或有可转换债券也是永久性的，面值为L₂且票面利率为u₂，连续每年支付直到债权转换为股权。其中或有可转换债券的转换触发水平是外生给定的，并且考虑债权人有保护条款的情形，即破产条件是事先约定的。

我们假设公司是高度集中的所有权结构，投资者都是风险厌恶的，且都不能完全分散非系统风险。投资者只可以通过无风险投资（如银行储蓄）进行平滑消费。

记W=（W_t）_t≥0是定义在赋有信息流（F_t）_t≥0的投资者的财富过程；记C=（C_t）_t≥0是定义在赋有信息流（F_t）_t≥0的投资者的消费过程，并且对任意的t≥0，消费过程满足<∞，其中，C_s表示投资者在任意时间s的消费数量。

假设市场上的投资者是风险厌恶的，但普通债券持有人能完全分散非系统风险，并且投资者具有如下CARA效用函数：(2)

其中，γ表示绝对风险厌恶系数。

若公司实行单纯股权融资，则无杠杆（纯股权）公司的消费效用无差别价值A（隐含价值或主观价值）可以由Miao and Wang（2007）[7]的一个结果直接得出，即有：

其中，x代表公司收益流的当前值，即δ₀=x。式（2.3）表明，随着公司收益流波动率σ或绝对风险厌恶系数γ的增大，无杠杆公司价值就会降低，即公司的消费效用无差别价值A是经过风险调整后的价值。特别地，当γ=0时，A₀（x）=＋，为风险中性条件下(3)无杠杆公司价值。

假设当无杠杆公司隐含价值A首次低于事先规定的触发水平πL₁，0<π≤1时，公司宣布破产，为简化模型，按照Duffie（2001）第十一章的假设，在违约时刻，普通债券持有人获得公司未来所有收益流[101]。公司违约时刻为τ₁且满足等式：

或等价于：

其中，表示破产触发点，正如式（2.5）所示，破产触发水平关于普通债券的面值L₁、违约保护水平π、公司收益流波动率σ以及绝对风险厌恶系数γ是递增的，但关于公司收益流平均增长率μ是递减的。

而当公司资不抵债时，或有可转换债券将会转换为股权，转换规则将在下面一节研究或有可转换债券消费效用无差别定价时给出。

在以下的章节中，我们将会讨论公司证券（或有可转换债券、股权和普通债券）的定价以及最优资本结构问题，那就是取多大的息票支付b₁和b₂才会使得公司总价值最大。由于市场是不完备的且投资者是风险厌恶的，我们将用消费效用无差别定价来求解问题，我们将公司总价值，即股权、或有可转换债券、普通债券的消费效用无差别价格之和，作为目标函数，在外生给定的转换条件和破产条件下，求出相应的息票支付b₁和b₂来最大化目标函数。