1.2.4 有限元的基本思想及分析方法

1. 有限元的基本思想（以结构场为例）

有限元法的基本思想是把连续体离散成有限个单元所组成的组合体。这些单元仅在顶角处连接（节点），单元之间只能通过节点传递内力。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的各个单元也发生变形，组成单元的各个节点产生不同程度的位移。单元内部各点位移可通过假设函数近似地表示分布规律，利用力学理论中的变分原理或其他方法，建立节点力与位移之间的力学特性关系，得到一组以节点位移为未知量的代数方程，从而求解节点的位移分量，然后利用插值函数确定单元的场函数。归结为以下几点：

1）将连续的问题域离散为有限数目的单元；

2）单元之间通过节点相连；

3）每一个单元都有精确的方程来描述它如何对一定载荷去响应；

4）单元内部的待求量可由单元节点量通过选定的函数关系插值得到；

5）模型中所有单元的响应之和给出设计的总响应。

由于单元形状简单，所以易于建立节点量的平衡关系和能量关系方程式，然后将各单元方程集成为总体代数方程组，计入边界条件后可对方程求解。

2. 有限元的分析方法

1）建立有限元模型；

2）求出以节点位移表示的单元节点力。一个节点处的未知力的数目，往往多于一个节点所能建立的平衡方程式的数目；而该节点的位移数，恰好等于该节点所能建立的平衡方程数目。因此，只要将单元节点力用节点位移来表示，那么，无论有多少个未知力，则要求的未知数永远为节点位移，它们可以通过建立节点力的平衡方程式求出，进而就可以求出单元内的内力或应力。

3）建立节点平衡方程式。建立全部节点的平衡方程式，得到求解节点位移的线性方程组，就可以得节点位移。

4）求单元的内力或应力。