1.2.2 有限元模型

有限元模型是真实系统理想化的数学抽象。

1. 梯子

有限元模型：杆件、连接节点，图1-16a、b分别是真实系统中的梯子和它的有限元模型。

2. 齿轮啮合

平面应力分析的有限元模型：三角形、连接节点，如图1-17所示。

图1-16 梯子

图1-17 齿轮有限元模型

轮齿的应力分布、位移分布近似解：三角形顶点的位移。

从物理角度理解，可以把一个连续的齿形截面分割成很多小三角形单元，而单元之间在节点处以铰链连接，由单元组合而成的结构近似代替连续结构。合理地求得各单元的弹性特性，也就可以求出这个组合结构的弹性特性。结构在一定的约束条件下，在给定载荷作用下，求出各节点的位移，进而求解单元内的应力。

从数学角度理解，把求解区域分成许多三角形子域，子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示。

3. 工作台

有限元模型：六面体、连接节点，如图1-18所示。

图1-18 工作台有限元模型

按照问题的控制方程（如最小势能原理）和约束条件，可以求解出各节点的待定位移。推广到其他的连续问题，节点未知量也可以是压力、温度、速度等物理量。

有限元的本质是物理场的离散：用有限个状态变量来描述整个结构响应，并求解微分方程（线性或非线性方程组）。