1.3　天文光学基础

1.3.1　光学天文望远镜的基本光路

由于大面积均匀透明材料的制造困难，透射元件的吸收和色散，以及大型透镜边缘支承引起的镜体变形等问题，光学天文望远镜主要采用反射式光学系统。反射式光学系统也广泛应用于射电及其他频段的天文望远镜中。在反射望远镜系统中，焦点位置可以分为主焦点、牛顿焦点、卡塞格林焦点、耐施密斯焦点及折轴焦点等系统。这些不同的焦点系统在光路、焦比、像差和镜面位置上均有各自的特点，对此本节将分别予以介绍。

1.3.1.1　主焦点和牛顿焦点

只有一个反射面的主焦（prime）点系统是反射式望远镜最基本的光学系统（见图1.22（a））。根据圆锥曲线的光学性质，当主镜为旋转抛物面时，平行于抛物面轴线的光线将等光程地会聚于抛物面的焦点上，这时的星光在几何光学意义上成完善像。传统的主焦点系统的焦比通常为F/1到F/5，大的焦比会使镜筒增长，从而增大望远镜的造价。为了进一步增大望远镜的口径，新一代的天文望远镜将采用F/0.5到F/1的主焦比。在主焦系统理想的像面上没有球差，轴外彗差是主焦系统的主要像差，彗差值为3ω/（16F2），这里ω为半视场角，F为主镜焦比，彗差和半视场角所用的角度单位相同。主焦系统中像散和场曲与视场角的平方成正比，当视场角大于4度时，像散和场曲才会成为主要像差。主焦系统的可用视场很小，一般需要设置像场改正镜以增大视场。在天文望远镜中主焦系统主要用于成像工作。主焦系统的主要优点是光能损失少，但是由于主焦位置处在镜筒前端的入射光路中，因此焦点不易接近，不能装置较大的终端设备。

牛顿（Newtonian）焦点与主焦点系统类似，只是增加了一块斜放的平面镜，使像点成像于镜筒的侧面（图1.22（b））。牛顿焦点的全部性质与主焦点相同，它仅比主焦系统多一块平面镜。牛顿焦点易于接近，观察方便，同时通过转动平面镜，可以取得不同的焦点位置，装置多种终端设备。牛顿焦点主要用于中、小口径的反射式望远镜中。在大口径光学望远镜中为了减轻镜筒顶部的质量，一般不使用牛顿焦点。

1.3.1.2　卡塞格林和耐施密斯焦点

在主焦系统的焦点之前放置一块双曲面副镜，就构成了经典的卡塞格林（Cassegrain）系统。卡塞格林焦点通常在主镜的后方（见图1.23（a））。在卡塞格林焦点系统中，副镜的引入使焦点位置移出入射光路，因此可以安装较大的终端设备。位于主镜后面的焦点有易于接近，操作方便的优点，在天文观测中具有十分重要的地位和作用。卡塞格林焦点系统中，由于副镜的放大作用，焦比一般为F/7到F/15，特殊的双镜系统的焦比也可以超出这个范围。

经典卡塞格林望远镜的主镜是抛物面，副镜是双曲面。双曲面中的一个焦点与抛物面的焦点重合，望远镜成像在另一个焦点。和抛物面的主焦系统相似，像面仍然消球差，但是存在彗差，也有像散和场曲。由于卡塞格林系统比主焦系统焦比大，所以可用视场会大一些。主镜为抛物面，副镜为椭球面的系统叫做格里高利系统。从像差情况看，这种系统和卡塞格林系统基本相同。但是它具有真正的主焦点，在太阳望远镜中可以设置反射光阑将大量的热量反射出去。同时在副镜的下方有一个望远镜的出瞳，即主镜的像，因为出瞳上的各点和主镜面上的各点成共轭关系，所以可以在这个位置放置红外摆动镜或者放置改正主镜像差的小改正反射镜。

当光学系统满足阿贝正弦条件时，光线出射角的正弦和入射角的正弦成比例，系统将成理想的高斯像。如果在两镜系统中，同时满足等光程和阿贝正弦条件，这时系统会同时消除球差和彗差，这时系统的主镜和副镜均是双曲面形状。这种系统是由克莱琴（Chretien）提出、里奇（Ritch）研究成功的，被称为R-C望远镜系统。R-C系统的可用视场比一般的卡塞格林系统大很多，如果不使用场镜，像质为1角秒时，视场可达0.2度。不过在它的视场中仍存在像散和场曲，焦面是弯曲的。使用场镜后，视场可以达到0.4度。在R-C系统的焦点上存在球差，需要加入改正镜。一种配有改正镜优化后的R-C系统视场更大，可达1度以上，这种特殊的光学系统称为类R-C系统。类R-C系统离开改正镜后将不能进行CCD直接观察。双镜面系统还有其他的主、副面形状，如主镜或副镜是球面的特殊形式，这些系统存在各自的局限性。

在双镜面系统中添加一块倾斜45度的平面镜，可以将卡塞格林焦点移到光路以外，这就是耐施密斯（Nasmyth）焦点（见图1.23（b））。耐施密斯焦点在地平式望远镜中有广泛的应用。该焦点的受力条件不随镜筒的运动而变化，特别适宜安装大的精密仪器。

1.3.1.3　折轴焦点

为了放置稳定的不随望远镜本体运动的大型终端设备，可以应用数面反射镜将光线沿望远镜轴线引出，抵达位于望远镜极轴或者地平轴延长线上的一个静止的焦点。这种焦点称为折轴焦点（图1.24）。折轴焦点焦比很大，焦点远离望远镜本体。折轴焦点仪器犹如一个实验室，输入的是天体的光辐射，输出的是星光的频谱或者其他的辐射特性。在折轴系统中反射镜通常为平面镜，但有时为了和卡塞格林焦点共用副镜也可以使用椭球面来改变光束的焦比。

1.3.1.4　施密特望远镜

上面介绍的望远镜焦点系统的一个共同特点就是望远镜可用视场很小，一般不适宜进行巡天工作。真正的突破发生在1931年，这一年施密特（Schmidt）发明了一种视场很大的折反射望远镜，即施密特望远镜（图1.25）。施密特望远镜的有效视场可以达到5×5度范围。施密特望远镜的主镜是球面，相对于球心，球面具有完美的对称性。所以施密特将望远镜入瞳设在主镜的球心，这样对不同方向的入射光除了光阑的投影略有差别外，成像条件完全相同，在光轴和光轴外的星像不存在差异。球面主镜具有球差和场曲，为了改正球差，引进了一块与平板玻璃差别很小的非球面改正透镜，即施密特改正板。施密特改正板的一面是平面，另一面的形状可以由几何光学直接导出。

设距离主光轴y0处的平行光与主光轴会聚于S0点，则任意高度y处的平行光与主光轴的交点S满足

式中R为球面主镜的半径。为了补偿这一球差，必须引入一个小的角度改正θ

设n是改正板的玻璃折射率，则改正板在该处的斜率应该为

这块非消色差施密特改正板的曲面形状由下式表示，即

同理可以推导出消色差的改正板的形状，这时改正镜必须使用两片折射率不同的玻璃。使用非消色差改正板，为了使色差最小，可取，D是改正板直径。为了使望远镜有较大的无晕视场，施密特望远镜中球面主镜直径远远大于改正板直径。施密特望远镜的规格常常记为a/b/c，a表示改正板直径，b表示球面主镜直径，而c表示望远镜焦距。施密特望远镜视场大，光能损失小，改正板也比一般透镜薄，因此直径可以做到1.2米。

施密特望远镜的焦面不是平面，如果想获得平面焦面，可以再加入一片场镜。配合物端棱镜和光纤摄谱仪，施密特望远镜可以进行十分有效的多目标光谱工作。施密特望远镜也可以用在成像要求较低的场合，在γ射线和宇宙线的探测中，有一种超广角的，像质要求低的荧光望远镜也是施密特望远镜的一种形式（第11.2.3节）。

在21世纪以前建造的大视场望远镜几乎全部是施密特望远镜。施密特望远镜有很多优点，它的缺点是：（a）改正镜形状特殊，较难加工和支承；（b）焦面是球面；（c）焦面位于光路之中，有挡光现象；（d）镜筒长，是焦距的两倍。由于改正镜的变形问题，世界上最大的施密特望远镜是1.4米口径。但是这台望远镜的性能并不很好，所以施密特望远镜的最大口径几乎是1.2米。2008年中国建成一台4米反射式施密特望远镜。在这台反射施密特望远镜中，必须实时控制改正反射面的面形，因而采用主动光学系统。

1940年马克苏托夫（Maksutov）也发明了一种大视场天文望远镜，即马克苏托夫望远镜。这种系统的改正透镜是新月形自消色差透镜。这个改正透镜厚度大，不适宜于大口径望远镜。现在马克苏托夫望远镜仅仅用于天文爱好者之中。

1.3.1.4　三镜面大视场望远镜

20世纪的后期，为了达到天文巡天的要求，光学专家对反射望远镜进行了深入研究。先后发展了大视场主焦改正镜，发展了类R-C光学系统，同时发展了一种三反射镜面大视场光学系统。各种改正镜的设计将在后面讨论，本节主要介绍三镜面大视场望远镜。

三镜面的早期系统中，主镜和副镜形成一个无焦的光束压缩器。在这个系统中，主镜是一面凹抛物面，副镜是一面共焦的凸抛物面，而第三镜是一个曲率中心位于副镜顶点的球面镜。这种系统和没有改正镜的施密特望远镜十分相似。保卢-贝克（Paul-Baker）改进后的系统中副镜曲率和第三镜相同（Wilson，2004），从而使系统消球差、彗差和像散。新系统存在场曲并具有大的中心遮挡，视场可以达到1平方度。维尔斯特罗普（Willstrop）将第三镜向主镜背后移动，使望远镜的焦面落在主镜平面上。为了实现更大的视场，对主镜形状也进行了优化，但保留了部分场曲。维尔斯特普的三镜面系统如图1.26（a）所示，其中主镜为准抛物面，副镜为准凸球面，第三镜是准凹球面。由于有较大余地进行系统优化，这种系统可以获得4×4度的有效视场。因为不存在透射元件，可能获得很大的集光面积。但是这种望远镜的镜筒很长。2010年美国空军耗资1.1亿美元制造一台3.5米三镜面长筒望远镜（DSST），视场达3.5度。梁明（2005）进一步改进了三镜系统，设计出一种短筒三镜面望远镜。在新设计中，第三镜前移到主镜平面，主镜和第三镜连成一体，形成一个单一连续的镜面。而望远镜的焦面则位于副镜面的附近（图1.26（b））。这种设计结构紧凑，镜筒长度减少了一半，已经应用于8.4米大口径巡天望远镜（Large Synoptic Survey Telescope，LSST）中，其角视场为3.1度，它是世界上具有最大集光率（etendue）的光学仪器，其集光量为319m2deg2。

1.3.1.6　折叠式光学系统

随着望远镜口径的增大，望远镜的镜筒会变得很长。镜筒的质量，成本以及其变形均是长度的三次方，而惯性矩则是长度高次方的函数。因此，使用折叠式光学系统，缩短镜筒长度，就有很大优点。折叠式系统是在主光路中插入平面镜，从而使副镜和主镜处在几乎相同的位置上，导致镜筒长度减少一半。

图1.27是一台折叠式格里高利系统。这里主副镜形成一个连续表面。如果这个系统用于红外波段，那么该复合镜面可以利用铝材金刚石车削获得。这种十分紧凑的光学系统可以作为非常灵敏的红外导航传感器。

欧洲南方天文台在口径100米超大天文望远镜的设计方案中也采用了折叠式主焦光学系统，如图1.28所示。在这一设计中，一面平面镜将主镜筒长度减少三分之一，使成像面处于主镜和平面镜之间。主镜的球差是通过四块反射镜面组成的改正镜组来校正的。不过这个雄心勃勃的方案已经为一个相对保守的40米级欧洲甚大望远镜所取代。

除了折叠式的光学系统以外，在X射线望远镜中还广泛使用掠射式光学系统（第10.2.2节），以提高望远镜的反射效率。

1.3.1.7　衍射式光学系统

在空间望远镜中，有一种非常特殊的衍射式光学系统（diffractive optics）。已有的衍射式光学系统有菲涅尔透镜和光子筛（photon sieves）。菲涅尔透镜是由一个个具有半波长相位差的圆环形锯齿形透镜构成的，这些透镜带共同在焦点上成实像。由于这种透镜使用的材料要比普通透镜少得多，所以可以用来制造大口径望远镜。

在菲涅尔透镜中，包含一个个同心圆环，这些圆环被称为菲涅尔带。总的圆环数目为N=D2/（8λF），式中D是直径，F是焦距。菲涅尔透镜具有成本低，质量轻和制造要求低的特点。一般来说，菲涅尔透镜仅适用于一定的波长。对其他波长，它的焦距是不同的。菲涅尔透镜的主要缺陷是它的色差，不过通过成像数据的后处理，已经可以获得各个频段的成像信息（Lo and Arenberg，2006）。

光子筛，又称为菲涅尔板，是通过在一个不透明的平板或薄膜上形成一圈圈透光和不透光圆环带所形成的菲涅尔式成像系统。不过在光子筛中，这些透明圆环带是由一个个密集的透明小孔组成的，同样光子筛可以在焦点上成像。在光子筛中，小孔是不均匀分布的，它们互相不连通，所以光子筛的结构整体性好。在光子筛中，小孔直径随着它们距离中心点半径的增大而减小。小孔中心和光子筛中心点的距离由来决定，式中F是焦距，而每个环上孔的直径为w=λF/（2rn）。现在已经制成的光子筛小孔总数达一千万个（Anderson and Tullson，2006）。

在本书中还介绍了其他一些非常特殊的光学系统，如在切伦科夫望远镜中利用球面子镜拼合成抛物面形状的Davis-Cotton光学系统（第10.3.6节）；在X射线望远镜中利用球面镜、圆锥面镜或平面镜所形成的光学成像系统（第10.2.5节）；以及在γ射线成像望远镜中所采用的特殊的编码口径（coded aperture）系统（第10.3.2节）。编码孔口径相当于针孔照相机，是一种非聚焦的光学系统，它的口径面由透明和不透明的单元组成，天体图像是由成像面上的复杂图像通过计算机计算而获得的，是计算照相法的一种形式。这种光学系统可以在背景光干扰强的高能区域使用。

1.3.2　像差和基本计算公式

高斯光学，即一阶光学或近轴光学，有一个基本的假设，就是所有通过光学系统的光线都是横向尺寸小的近轴光线。但是在实际光学系统中，如果P点是物空间的一点，P′点是它的像点，那么从P点发出的通过光阑的所有光线，并不严格地通过P′点，它们将会聚于接近P′点的一个小区域。实际光学系统即使不考虑衍射，所获得也不是一个点像。这种实际光学系统形成的像和高斯像的差别就称为像差，即几何像差。高斯像点所对应的波阵面叫高斯波阵面。实际波阵面和高斯波阵面之差称为波阵面差，即波像差。由于光线垂直于波阵面，所以几何像差和波像差的斜率成正比。对于一个旋转对称的光学系统，如果Oηξ为物空间坐标平面，O′yz为像空间坐标平面，则可以得出波像差表达式中可能出现的各项及它们所对应的像差规律。对于物空间的任意一点P（η，ξ）发出最后通过P′（y，z）光线的波像差W，它必然是P，P′两点坐标的函数，即

由于系统的旋转对称性，实际上只有矢径和两个极角φ与ψ之差会影响波像差的值。取下列的三个变量项，即

因此，波像差W可以表达成上述三变量的幂级数，取幂级数中含R，R′和u的平方的六项，记为

这是光学系统像差数值的第一组，称为初级像差。在波像差W的幂级数展开式中，含R、R′和u的零次方和一次方的项则表示光学系统成完善高斯像，而三次方以上的项就称为系统的高级像差。根据几何像差和波像差的关系：

式中k为常数。假设物点处在子午面内（轴外物点的主光线与光学系统主轴所构成的平面，称为光学系统成像的子午面。），ξ=0，则可得初级几何像差的表达式为

公式1.51中系数A消失，同时各项均是坐标的三次项。因此初级像差又称为三级像差。B，C，D，E，F是英美澳光学界通常使用的像差系数。式1.51的另一种表达式为

式1.52中系数SI到SV分别被称为球差、彗差、像散、场曲和畸变系数，各对应项也就表示相对应的像差。SI到SV是俄，中和欧洲大陆光学界通常使用的像差系数。

光学系统由于不同波长的光具有不同的折射率，因此在波像差表达式中应该还有下列的平方项，即

式中CI和CII分别是轴向和横向色差系数，横向色差即倍率色差。初级像差和色差构成了几何像差的最主要贡献。

1.3.2.1　球差

在几何像差式1.52中第一项是球差，由于该项不出现物坐标η，因此在视场内球差的影响是一个常数。换句话说球差是轴上物点成像所形成的像差。用极坐标表示几何像差中的这一项，有

由上式有

式1.55表示像的球差是一组半径迅速增长的同心圆，像斑半径与SI成正比，与r′3成正比。如果将像斑等分为五个间隔相等的圆环，则光阑中所有光线的34％将集中于面积仅为像斑总面积4％的第一圆环中，其他各环的光线将分别为20％、17％、15％和14％。这里没有考虑像的衍射效应。如果像平面沿光轴来回移动，则像斑大小将不断变化。

图1.29中F为高斯近轴像点，则像的轴向球差δ就等于光瞳边缘光线与光轴的交点到高斯像点的距离。当像平面沿光轴移到H1时，像斑尺寸最小，该点距高斯像点平面的距离为3δ/4。移动像平面位置相当于在球差分布公式1.54中增加一个线性项。图1.30左侧表示在高斯像平面上的球差弥散情况，图1.30右侧则表示增加了一个线性项后其曲线的变化。选择恰当的线性量贡献可以大大减小像斑的尺寸（像斑尺寸可以减小到原来的）。不过球差中像斑最明亮的位置并不是像斑尺寸最小的位置，而是图1.29中的H2点。

1.3.2.2　彗差

几何像差表达式中的第二项就是彗差的贡献，为

类似地进行坐标变换可得

上式表示对应于r′等于常数的光线，所得的像仍然分布在同一个圆周上，该圆周的半径与r′2成正比，其圆心和高斯像点的距离为。因此彗差图形是一个密集于60°夹角内的一个个圆周上的光斑。彗差最明显的特点是它的不对称性。和球差不同，彗差的像斑不能通过移动像平面位置的方法来加以改善。轴对称系统的彗差是视场角的线性函数。图1.31所示为具有彗差的像斑宽度分布的情况。在子午面上彗差的值称为子午彗差，在弧矢面上的则称为弧矢彗差。所谓弧矢面就是同时垂直于像平面和子午面的平面。一般子午彗差的数值是弧矢彗差的三倍。另一个衡量彗差的指标是彗差系数，其值为

1.3.2.3　像散和场曲

公式1.52中如果SI，SII和SV同时等于零，则几何像差是y或z的线性函数，经过简化合并后可得

这时的像斑是一个亮度均匀的椭圆，椭圆的长轴和短轴都与η2和r′成正比。如果成像面沿光轴前后移动，通过选择轴向移动量可以分别使TAy=0或者TAz=0，从而得到互相垂直的两根焦线：子午与弧矢焦线。像散的最小弥散斑就位于子午和弧矢焦线之间。轴对称系统的像散是视场角的二次方函数。如果SIII=0，这时的子午与弧矢焦线相重合成为一个点，像散消失。而SIV项称为场曲系数，它主要影响理想焦面的曲率。专门用于改正场曲的改正镜称为场镜。

1.3.2.4　畸变

当SV≠0而其他像差系数均为零时，几何像差表达式中的一项kTAz为零，而另一项为

这个公式表明成像点产生了位移，移动量是η3的函数。这并不是简单的放大率变化，而是一种像差，称为畸变。图1.32分别表示两种畸变的影响，图中正方形是物的形状，而具有畸变的像有两种：（a）桶形畸变和（b）枕形畸变。

1.3.3　望远镜系统的主要像差公式

和其他光学系统一样，天文望远镜中总像差是所有折反射面像差贡献之和。由于望远镜系统常常使用较多的非球面，同时物点位于无穷远，因此其像差系数的公式比较其他光学系统仍有显著的差别。沿用天文望远镜常用的表达方法，任意曲率半径为r的球面，均可以表示为：

对于轴对称的旋转面则可以表示为下列近似的形式：

将这种近似形式代入公式1.61有：

上面两个公式中各个系数的关系为

结合公式1.61，可以用如下表达式来表示任意旋转非球面（Wilson，2004）：

式中系数bs为圆锥曲线常数（conic constant）。非球面的另一种表达方法是定义偏心率ε，圆锥曲线常数和偏心率之间有bs=－ε2。偏心率是根据椭圆的偏心程度来定义的，如果一个椭圆的两个半轴分别为a1和a2，并且有a1＞a2，则有（a1/a2）2=1/（1－ε2）。在圆锥曲线中，bs=0时为球面，bs=1时为抛物面，－1＜bs＜0时为椭圆面，bs＜－1时为双曲面，bs＞0时为偏球面。另一种非球面的表示方法是定义非球面系数G，G=bs/（8r3）。非球面系数用于仅仅含有r4项的表面时，它是指该项的系数。在具有顶点曲率半径的系统中应用非球面系数G时，由于像差值在归一化处理时的具体考虑，其像差值的具体表示比较容易发生差错，应该特别慎重。这上面的公式中高次项对初级像差没有任何影响，可以不予考虑。如果引进焦距f，则公式1.65可写为

对于非球面的具体像差值的计算，不少光学专家应用解析方法进行了大量推导。这些推导的基本原理是首先求出波像差，然后把波像差的表达式写成式1.49的形式，通过比较各项的系数，得出非球面的具体像差值。非球面的波像差计算是求出从物点到像点的所有光线和主光线的光程差。所谓的主光线（principle ray）是指通过光瞳中心的光线，它可以看作整个光束的中心线。主光线有时又称为第一辅助光线。相应的第二辅助光线则是指从物面中心向着光瞳的边缘发出的光线，第二辅助光线又称为边缘光线（marginal ray）。目前计算机的应用使这种计算变得十分简单。这里仅给出单反射面的像差系数的公式（Wilson，1996）：

在上述各式中b1是主反射面的圆锥曲线常数，f1为反射面的焦距，y1为第二辅助光线的入射高，sp1为入射光瞳和反射面的距离，这一距离与入射光线方向相同时为正，反之为负。H=nuη为拉格朗日不变量（图1.33），在望远镜系统中拉格朗日不变量H=nyup，这里n是介质折射率，up是主光线的入射角，y是半口径尺寸。式中下标1是指主镜面。

实际光学系统中通常对一些参数作归一化处理，这时下列参数定义为

通过上面公式，对单一反射面，如果光瞳位置和反射面相重合，则像差系数为

从上式可知单一反射面，当入瞳与反射面重合时，只有球差与反射面的圆锥曲线常数相关，而其他像差均有其固定数值。为了使球差消失，必须取圆锥曲线常数为－1，这时反射面为抛物面。抛物面镜的主要像差是彗差，当视场角增大后，才会产生极大的像散和场曲。

上面公式没有包括移动光阑位置对像差的影响。如果移动光阑位置，则有下列像差公式：

通过移动光阑可以达到消彗差的目的。对球面主镜，如果将光阑位置移于主镜的球心处，则可以获得消彗差的效果，这就是施密特望远镜的设计原理。

双反射面望远镜具有如图1.34的基本安排，用f1和f2分别表示主镜和副镜的焦距，则系统焦距f由下式确定：

如果m表示副镜放大率，副镜放大率等于系统焦距和主镜焦距之比，f=mf1，d表示主副镜之间的距离，则像差系数为（Wilson，1968）

式中b1，b2分别是主、副镜的圆锥曲线常数。注意在后面公式中将使用没有下标的b来表示主镜到系统焦点的距离（见图1.34）。上面公式仅考虑了光瞳与主镜重合的情况，sp1=0。

如果主镜为抛物面，即b1=－1，为了消球差，则

这就是经典的卡塞格林系统，这时m＜0。而当m＞0时，则为格里高利系统，这时副镜为椭球面。这两种系统的彗差和主焦点系统相同，均为1/2。这两个系统的像散值为－m/（1－mb/f）≈－m，比相同焦距的单镜面系统的像散值要大。

在双镜面系统中，一种同时消除球差与彗差的卡氏系统称为R-C系统。由公式1.72，令SI=SII=0，则可解得

由上式知这一系统中主副镜均为双曲面。这种系统的主要像差为像散，其数值为

这一像散值也不是很大。所以R-C系统的可用视场可以达到40角分左右，远远大于经典的卡塞格林系统。

应用同样的方法，令SI=0，同时b1=0或b2=0，则可以解出主镜或副镜为球面时其他镜面的圆锥曲线常数。主镜为球面时，副镜的圆锥曲线常数为

而副镜为球面时，主镜的圆锥曲线常数为

通过对各种系统像差的计算，可以了解各种望远镜的初级像差的情况，同时也可以正确认识望远镜设计和像场改正器设计的指导思想。

在双反射面望远镜系统中，除了公式1.71的关系以外，还存在下列各参数之间的关系

如果在角直径2φ上没有渐晕，设主镜的直径为D，则副镜的直径至少应为

1.3.4　像场改正器的设计

1.3.4.1　主焦像场改正器

公式1.69表明，不管主镜是抛物面还是双曲面，在焦面上均存在彗差。彗差大小与焦比的三次方成反比，因此影响可用视场的范围。双曲面主镜有球差，当主焦比小于F/4时，主焦点就很难直接用于观察工作。这时必须使用像场改正镜。初期的主焦像场改正镜用于抛物面主镜，其目的是改正彗差。

罗斯（Ross，1935）首先提出了改正色差的重要理论，即不可能利用两个分离透镜同时对轴向和径向色差进行改正。对于一个透镜组，如果两个透镜的轴向色差分别为（C1）1和（C1）2，则系统的轴向和径向色差分别是（Wilson，1968）：

式中yp和y是第一和第二辅助光线在改正透镜上的高度，H是拉格朗日不变量，对归一化光学系统，拉格朗日不变量等于1。由于这个原因，同时实现对轴向和径向色差改正的系统中的两个透镜必须是光焦度为零，同时它们之间的距离也须为零。在实际情况下，这样的透镜组是不存在的。

基于这个原因，罗斯提出了由两片光焦度数值相等、方向相反的透镜来构成改正镜。这种透镜组由于总光焦度为零，所以不影响原主镜面的焦距，这样也不会引入附加色差。这样的透镜组放置于焦点附近，透镜组的尺寸较小。在这样的系统中如果同时消去球差和彗差，即SI=SII=0，所引起的像散很大，严重影响了改正镜的效果。为此罗斯提出，如果在这样的系统中，同时实现消去彗差和像散，即有SII=SIII=0，但是保留一定的球差，则由像差公式可解得：

式中g是透镜组到焦点的距离，E=（f－g）/g是透镜组偏离焦点的参数。在SI表达式中的最后一项是假设主镜本身的像散可以忽略的情况。从这一公式出发，为了减少SI的数值必须尽力减少g的数值，这就希望改正透镜组尽量靠近焦面。这一方面使畸变增大，影响了可用视场。另一方面使改正透镜的形状凹凸得很厉害，从而会产生高级像差。为此罗斯提出了三透镜型的主焦改正镜系统（图1.35（a））。在这一系统中靠近主镜一侧增加了一片深度较大的弯月形透镜用以校正双透镜组所引起的球差。

这种主焦改正镜具有较大的视场，但是仍然难以满足小焦比照相的需要。通过增厚弯月形透镜，或者选用高折射率玻璃，可以改善这种改正镜的效果，但是这样又限制了望远镜在短波段的工作。为此温（Wynne，1967）提出了四透镜的改正镜系统（图1.35（b））。在四透镜的改正镜中，共包含有两组总光焦度为零的透镜组，从而有较大的自由度可以同时消去了焦点上的球差、彗差和像散。设下标A、B分别表示透镜组A和B的像差系数，而加上右上撇则表示透镜组相对于主镜光阑的像差系数的贡献，根据消球差、彗差和像散的要求，应该有：

式中EA和EB分别为透镜组偏离焦点的参数，E=d/hMhL，d为主镜和透镜组的距离，hM和hL分别表示第二辅助光线在主镜和透镜组上的高度。这里已经假设这两组透镜分别修正同等分量的彗差，同时忽略了原有抛物面主镜所具有的像散。则可解得：

这种改正镜要求两透镜组必须相距一定距离以免每一组透镜的像差过大。为了减小高阶色差的影响，改正镜各透镜应该选用低色散玻璃材料。

对于主镜不是抛物面的望远镜系统，由于主镜有一定的球差，相比抛物面主镜，其像场改正镜的设计会更简单一些。图1.36是两种R-C望远镜的主焦像场改正镜。图中（a）含两片透镜，（b）含三片透镜。英澳望远镜建成了一个具有±30角分视场的3镜片主焦改正镜。这些改正镜具有按比例缩放的特点，改正镜尺寸相对主镜越大，星像改正的效果就越好。

上述改正镜均为球面镜构成，这些球面透镜加工简单。随着非球面加工技术的提高，非球面也开始应用于改正镜中。非球面改正镜是由保尔（Paul）提出，后迈耐尔（Meinel）和旮斯瓜热（Gascogne）等分别发展了多种非球面改正镜。图1.37是几种非球面主焦改正镜系统，（a）是R-C系统双曲面主镜的单片改正镜。这种改正镜可以消球差和彗差，不过像散值却远大于双曲面自身的像散，因此视场有限制。常用的是3片或4片型改正镜。在使用非球面改正镜时常常使它仅产生球差，这种非球面板就是施密特改正板。由公式1.70和1.72，双反射面系统和一个邻近光瞳的非球面板的总像差分别为（Wilson，1996）：

式中是非球面板对球差的贡献，spl为非球面板和主镜的距离，d为主副镜之间的距离，当光线首先射到主镜而后射到非球面板时，这一距离为正值，反之为负值。上面公式可以推广到使用多个非球面板的情况。在设计非球面板改正镜时，上面三个公式应该同时为零。最简单的非球面改正板厚度是中心距四次方的曲面，有t=Gr4，这里G是非球面系数。如果玻璃折射率为n，它产生的球差为：

因为非球面板并不位于光瞳面，所以它的球差贡献还要乘上因子l/f，l是非球面改正板到焦点的距离，f为系统焦距。对于单一主镜情况，在公式1.84中有：

对参数进行归一化处理，有f=y1=up1=1。这样如果有三块非球面改正板，整个系统的主焦点的像差应该为：

求解这组方程，可以求出三片改正板需要的球差值，从而确定各改正板的形状。当改正镜系统要求消除场曲，则可以考虑非球面板的顶点曲率，一般使用最后一片非球面板的形状来同时消除场曲。比较球面透镜的改正镜系统，非球面板改正镜可以实现在较宽的或全频段上获得1度以上的大视场。

光学改正镜需要十分均匀透明的玻璃材料。早期改正镜受到透镜玻璃材料大小的限制。1974年，3.8米英国澳大利亚光学望远镜主焦点改正镜的最大透镜是0.5米口径，1979年使用的是0.75米口径，直到1993年，才首次使用直径0.9米的透镜（Lewis，2002），21世纪以后一些改正镜透镜的口径已经达到1.5米直径（Cuby，et al.，1998）。

由于透镜曲率大，为了节约材料，透镜毛坯常采用坯料在凸模上热蠕变成形。这种方法的缺点是容易引起内部应力。图1.38所示是英澳望远镜的2度视场的像场改正镜，注意其中的第一和第二透镜构成透棱镜大气色散改正镜。大气色散改正镜的设计将在后面章节介绍。

1.3.4.2　卡塞格林焦点像场改正镜

与主焦像场改正镜相似，卡塞格林焦点像场改正镜包含有两至三片透镜（见图1.39）。当视场增大时，需要在改正镜系统中增加透镜的数目。经典卡塞格林系统是严格消球差的，即SI=0，但存在严重的彗差，所以两透镜型的改正镜仍难以获得1度以上的视场。

对于R-C系统，由于在焦点上实现了SI=S2=0，因此三级像差的校正工作相对容易，像场改正的效果也要好些。如果R-C像场改正器包含三片透镜，则可以同时消除畸变，视场可以达到1度。像场改正的效果和主镜偏心率相关，当偏心率从1不断增大时，像场改正的效果将不断改善。

当主、副镜的形状没有限制，同时去掉改正镜后的望远镜允许有球差和彗差，像场改正器将在主镜偏心率的某一数值上获得最佳效果，这种经过优化的望远镜系统被称为类R-C系统。类R-C系统加入像场改正器以后，有效视场将大于1度。当采用折射率不同的透镜组成改正镜，单色光的性能可以校正得很好。

在非球面板卡塞格林改正镜方面，国外主要集中于类R-C系统方面。南京天文光学技术研究所系统地研究了类R-C、R-C、经典卡塞格林和球面主镜等系统。这些系统的非球面板改正器分别包括一片、两片和三片非球面板附加一片场镜。特别有意义的是，球面主镜系统加上三片非球面板可以获得很大的视场，这时并不需要专门的场镜。球面主镜系统的有效视场也接近40角分。

在卡塞格林焦点改正镜的设计上，影响较大的2.5米斯隆望远镜的改正镜包括两个非球面板，它的第一块板和主镜的顶点邻近，而第二块板则和焦点相接近。它们实现了2.5度的照相视场和3度的光纤光谱视场。VISTA 4米望远镜采用了具有4面透镜的改正镜，获得2.5度的视场。

1.3.4.3　场曲改正镜

在光学系统中，场曲是一种十分常见的像差。它起源于透镜成像的基本规律，对于同一透镜，距离远的物体成近像，而距离近的物体成远像。在同一平面上的轴上点离透镜中心近，所以成像点远；而轴外点离透镜中心远，因此一个平面天体经过透镜所成的像将分布在一个球面上。这种弯曲的像面常称为佩兹瓦尔（Petzval）曲面。

1839年佩兹瓦尔证实，对于一个光学镜面组合，如果没有其他像差，那么它的像场的曲率为：，其中，式中n为玻璃折射率，n′为大气折射率，r为曲面的曲率半径，ρ为像场弯曲的曲率半径，被称为佩兹瓦尔和。佩兹瓦尔证明在光学系统中，佩兹瓦尔和与孔径、光阑位置、透镜厚度、镜片间的间隙等因素完全无关。一个由多个薄镜片构成的光学系统，其佩兹瓦尔和为，其中Φ是薄镜片的度数。对于反射光学望远镜，同样存在类似的公式。

为了消除场曲，可以使用以下方法来减小佩兹瓦尔和：1）利用厚的弯月形镜片；2）利用间隔较大的正、负透镜组，为了消色差，需要加强负镜片度数，从而减少佩兹瓦尔和；3）利用冕玻璃和燧石玻璃的组合。这种减小佩兹瓦尔和的镜片就是场曲改正镜。

1.3.4.4　大气色散改正镜

在前面的章节中，已经讨论了地球大气所引起的大气宁静度和大气闪烁现象。大气折射和大气色散是地球大气所引起的另外两种效应。大气折射是光线或者电磁波在经过大气时，因为大气密度的变化是高度角的函数，所引起的偏离直线的现象。发生这种折射的原因是因为随着空气密度的增加，空气的折射率会不断增加，而光线在空气中的传播速度会不断减小。由于这个原因，光线倾斜进入大气层后会不断向下弯曲。如果光线垂直于大气层，它的弯曲量为零，相对于观察者，它将仍然保持直线传播的状态。然而当光线以一定的夹角进入大气层，光线就会向下再弯曲一个角度，使得它所代表的光源看起来要比它实际上在天空中的位置高出一个角度。当望远镜使用较大视场时，在焦面上的天体就存在着不同的大气折射量。

在光学波段，天顶的星所产生的大气折射是零，天顶角小于45°时，大气折射量均小于1′。当天体的高度角是10°（天顶角80°）、气温是10℃ 、大气压为1013.25 hPa时，大气折射是5.3′；高度角是5°，大气折射就上升到9.9′；当高度角为2°时，大气折射就上升到18.4′；当高度角为零时，大气折射就上升到35.4′。

萨目德森（Saemundsson，1986）推导出根据天体的真实位置求出的大气折射公式：

除了大气引起的折射，可见光经过大气以后，还会产生色散，使不同颜色的光产生不同的折射量。总的来讲，波长短的光（如蓝光或者紫光）会产生比波长长的光（如橙光或者红光）更多的折射量。这样不同颜色的像点会在一条线上分布开来，严重影响大视场中的照相工作。

通过天体的高度角的视位置或者天体的真实位置来计算大气折射量的公式为（Bennett，1982；Saemundsson，1986）：

式中ha和h分别是用度数表示的高度角的视位置或者天体的真实位置，这时大气压为101.0 kPa，而温度为10℃；对于不同的气压和温度，大气折射量的公式需要乘上以下因子：

上面的折射量公式适用于波长为500 nm的光，对其他波长的光，修正量的公式为（Filippenko，1982）：

在天文学中，光线在地球大气层中所通过的光程常常用一个专门的单位来表示，它就是大气质量（air mass）。在天顶的天体所经过的光程是1个大气质量。随着天顶角的增加，光线所经过的光程也会不断增加。当天顶角较小时，相对的大气质量可以表示为X=secz，式中z是天顶角。当天顶角为60度时，所经过的光程是2个大气质量。大气质量的比较精确的公式为：

图1.40是不同天顶角的星像所产生的色散情况的图像。当天顶角为75度时，星像的长度为2.04角秒。为了克服由于天顶角所造成的色散以及在一个大视场中的较差折射，有必要使用大气色散改正镜（ADC，atmospheric dispersion compensator or corrector）。

最简单的大气色散改正镜是工作在会聚或者发射光束中的一种线性装置（linear ADC ，LADC，图1.41）。这种装置由两片分离的薄棱镜构成，两个棱镜具有相同的棱镜角和折射率，它们沿着光轴对称分布。它们之中的一个位置固定，另一个可以在光轴上平行移动。当两片棱镜互相接触时，形成一块平板玻璃，消色散能力为零，当两片棱镜之间的距离达到最大值时，消色散的能力也达到最大值。

比较起来使用更多的是旋转大气色散改正镜（RADC）。旋转大气色散改正镜是用于平行光内，或者是缓慢会聚的光束之中。最简单的旋转大气色散改正镜包括两组完全相同的、反向旋转的棱镜组，这样可以在任何天顶角上提供对大气色散的补偿。这种RADC的单元常常称为Resley 棱镜。

最近在大视场望远镜中，也常常使用一种由Amici棱镜构成的旋转大气色散改正镜。这种装置包括两组完全相同的棱镜。它们中的每一组均包含两片反向胶结的棱镜片，两片棱镜的材料不同，对于D谱线它们的折射率相似，但是具有不同的色散能力，即不同的阿贝数。这种旋转大气色散改正镜当它们的顶角处于相同的位置时，具有最大的色散改正能力，而当它们的顶角处于180度位置时，具有最小的色散改正能力（图1.42）。

在光学中，阿贝数又称为V-number，或者被称为玻璃材料的倒色散系数。高阿贝数表示低色散能力，低阿贝数表示高色散能力。阿贝数的定义为：

式中nD，nF和nC分别是材料对Fraunhofer D（589.3 nm），F（486.1 nm）和C（656.3 nm）线的折射率。高色散的火石玻璃的V＜55，而低色散的冕牌玻璃具有较大的阿贝数。

根据折射定理，当光线垂直于棱镜的一个面入射时，色散角为：

式中α是棱镜的棱角，n是棱镜的折射率。如果棱镜围绕入射光线旋转，出射光线就形成一个以光轴为中心的圆锥体，圆锥体的半顶角就是棱镜的折射角。这时，如果增加另一个相同的棱镜，则最后的折射角就等于两个棱镜的折射角之和。如果在两个方向上的折射角分别是δx和δy，则棱镜组的总折射角为：

式中A1和A2分别是第一和第二个棱镜的折射角。如果A1=－A2则可以在X轴上进行扫描，而它不存在Y轴的任何折射。如果A1=90°－A2则它们在X和Y轴的折射就完全相同。如果A1=180°－A2则它可以在Y轴上扫描，用以补偿大气色散。如果A1=A2则最大补偿角为2δ。

近来，一种新发展的大气色散改正镜包括两组平板，而每个平板是由三块不同材料制成的棱镜（图1.43）。有的甚至包括4块棱镜（Kopon et al.，2008）。

上面提到的大气色散改正镜常常由于像场大小以及改正镜尺寸限制的原因，不能直接应用于大视场的改正镜中。另外在会聚的光束中引进任何新的折射零件均会引进一定大小和形状的像差，主要是球差和纵向色差，这些像差必须在设计中进行校正。

为了避免产生这些像差，1986年苏定强设计出由两片倾斜剖开的、不同材料的半透镜组成的透棱镜（lensm）的大气色散改正镜（图1.44）。1993年，温（Wynne）也设计了新月形复合透棱镜改正镜（图1.45）。

在历史上，早在1869年，艾利的助手就利用两个曲率半径相等的平凹和平凸透镜的相对位移来形成不同角度的棱镜的补偿方法来克服大气色散（图1.46）。

事实上，任何光学系统，只要有两个分离的透镜，都可以用它们的位置的变化，来实现对大气色散的部分补偿。图1.47是Vista望远镜利用悬臂梁的镜面支承的变形来修正大气色散的改正镜结构，Vista望远镜具有2.5度的视场，是一台新一代的光学望远镜。

1.3.5　光线追踪、点图和评价函数

前面小节中对望远镜像差的讨论，仅仅涉及系统中的初级像差。系统中高级像差的计算常常牵涉十分繁杂的运算和推导，至今难以应用于对光学系统成像情况的评估。光学设计唯一可靠的评估方法是精确确定每一根光线经过光学系统后的准确位置，即通过光线追踪来了解光学系统在几何光学条件下的成像情况。通过光线追踪还可以获得光程差分布情况，从而应用于波像差的贴合，计算出真实的几何像差。

最早的光线追踪计算公式是赛得（Seidle）于1866年提出的，当时的公式只适用于球面折射面，以后很多光学专家分别推导了不同条件下不同形式的各组公式。现代计算机的发展使得光线追踪的问题不仅仅应用于光学领域，而且广泛地应用于计算机图像显示等其他领域。总的来说，现代光线追踪包括以下几方面的内容：（1）根据光线的原点和方向，确定空间光线与有关表面交点的坐标；（2）确定有关表面在交点处的法线方向，应用折反射定理求出入射光线折反射后的方向；（3）这时光线与表面的交点就变成光线的新原点，从而继续新的光线追踪。

光线追踪第一个任务是确定起始于某一原点X0=（x0，y0，z0）T并具有方向Xd=（xd，yd，zd）T的光线的简单表达式，这里方向矢量是归一化矢量。这个光线的表达式为：

该方程可以简化为X=Xdt+X0。对于任意曲面，其公式为：

那么该光线和这个曲面的交点处的参数t值应该满足下列方程：

这个方程可能有n个解。在光线追踪中，我们所感兴趣的只是所有解中间的最小的正解。这个解所表示的就是光线和表面的第一个交点。

用代数方法求解上面的方程应该根据方程性质来进行。对于高次方程，有时可以应用迭代方法来求解。下面讨论几个典型情况。如果表面是一个平面，其方程为：

这时交点的解为：

当表面是平面时，表面方程也可以表示为N·p=c，式中N是平面的法线矢量，p是坐标原点到平面上一点的矢量，c是一常数。则光线与平面的交点坐标为：

对于一个二次方程所表示的曲面：

上面的方程可以写为：

式中：

这时相应的交点的求解方程为：

式中的系数是求解的关键，它们分别为：

对于一些典型的二次曲面其解的形式要简单得多。如球面的情况，设球心为Xs（xs，ys，zs），半径为Sr，则求解方程的系数为：

当折射面是由下列方程表示时：

上面介绍的是光线追踪的代数方法，在实际光学程序中应用几何方法往往更加有效。应用几何方法求解从一点出发的光线和一球面的交点时，可以首先形成两个三角形。第一个三角形是AOP，A是光线的起点，O是球面的球心，P是光线和球面的交点。第二个三角形是OPD，D是在光线传播方向上的一点，同时OD垂直于PD。AD线段的长度可以用AO矢量和归一化后的光线方向矢量的点乘积来表示。在三角形AOD中，球心到光线距离的平方是AO2与OD2的差。有了这个球心到光线的距离，就可以判断该光线和球面是否相交，如果相交则可以很快地通过三角形ODP的关系找到光线和球面交点的位置。在三角形ODP中，OP等于表面的曲率半径，它的平方等于其他两边的平方和。对于非球面的情况，也可以利用类似的方法反复迭代来求得交点位置。

在求得光线和表面的交点后，交点处的表面法线方向是很容易求得的，后面的工作是利用折反射定理来求出折反射光线的方向。如果我们用I表示归一化后的入射方向，用R表示归一化后的反射方向，用T表示归一化后的折射方向，那么简单的折反射公式就是（Glassner，1989，图1.48）：

式中n1和n2分别是第一和第二介质的折射率，N是表面的法线矢量。

通过对各条光线的空间追踪不难获得每条光线与像平面的交点分布情况。如果选取由一物点发出的在光瞳上具有一定分布的光线，经过光线追踪，求出这些光线与像平面上交点的分布，这个分布图就叫做这一光学系统对该物点成像的点图，或点列图。计算点列图时一般取光线在入瞳面上均匀分布，同时考虑副镜的遮挡。通过点列图可以清楚地了解像斑的具体情况。由于光线在入射光瞳上接近于均匀分布，所以像斑上点的密度就表示了像能量密度的分布。在光学设计中各种波长和视场角下的点图是评价光学系统成像质量的重要手段，同时也是修改光学系统的重要依据。光线追踪不但可以用于光学设计，还可以用于对系统杂散光情况的了解。这时要引进漫反射的光线追踪，并采用从像点逆向追踪的方法。

在光学系统优化设计的过程中，对于光学系统的成像质量需要一个具体的数学量来表示，这一数学量就称为光学系统的评价函数。评价函数的形式可以有不同的表达式，但是它基本上包含有两方面的内容。第一是各种条件下点图的弥散程度用点图中各点在加权情况下对点图重心的距离的平方和来表示。第二是在视场角情况下点图重心与视场角的比例失调的情况。综合这两个方面的因素就可以得到评价函数的一般表达式（苏，1983）：

式中e为视场角的个数，S为波长的种类，n为每个视场角Wj处空间光线的根数，aj，bj，η和Iλ为相应的权重。一般光学系统的评价函数是通过在最佳像面上的点图分析获得的。从1.108式可以看出在光学系统的优化过程中，评价函数的目标值就是该函数的最小值。通过空间光线追踪，点图的分析，评价函数的优化，现代光学设计已经完全不同于传统的光学设计方法，这种新的方法已经设计出一批质量优良，结构合理的光学系统，对望远镜的发展起着十分重要的作用。