1.2　天文学对光学天文望远镜的要求

光学天文望远镜的三个基本要求分别是：很高的角分辨率，很大的聚光能力和较大的有效视场。当光学天文望远镜获得星像以后，第一个需要解答的问题是：这个星像所代表的是一个单一天体，还是由多个角距离很近的天体所形成的系统呢？如果要分解两个非常近的天体，就需要望远镜有极高的角分辨率。第二个需要解答的问题是：这个望远镜能不能获得非常遥远或者非常暗弱的天体星像呢？抛开望远镜自身的效率，一台望远镜所能够接收的光子数和它的口径面积成正比。地面上单位面积接收到的从天体发出的光子数和天体视亮度成正比，和地球到天体的距离平方成反比。地面上来自非常遥远或者非常暗弱天体的光子数极为稀少，所以望远镜必须具有足够大的口径。除了大的口径外，望远镜的自身效率、观测台址的质量及透明度也和望远镜的聚光能力直接相关。光学天文望远镜成像的第三个问题是：在同一次观察中，可以同时获得多少个天体的信息呢？要同时获得很多的星像信息，必须具有较大的视场。在这一节中将分别对这几方面的问题进行讨论。

1.2.1　角分辨率和大气扰动

望远镜的角分辨率，或空间分辨率，是指望远镜分开两个相邻天体位置能力的指标。影响望远镜角分辨率的因素有三个，它们分别是望远镜口径的衍射，光学系统的像差和大气扰动。

现代光学是从理想的高斯光学发展起来的。在高斯光学中，一个单独的物点经过这种理想光学系统成像以后，会形成一个单独的完美像点。高斯光学实际是真实的光学系统的第一次近似，所以它又被称为近轴光学或者一阶光学系统。在高斯光学系统中不存在任何像差。

在光学系统中什么是像差呢？所谓像差是指一个实际光学系统所形成的像和一个理想的高斯系统所形成的像在几何形状上的差别。这种像差也被称为几何像差。几何像差可以用多项式形式表示，如果仅仅考虑像差表达式中的前几项，即物点和像点的坐标展开式的三次方项，这时存在的像差称为初级像差，又称为三级（三次方）像差。这种仅仅考虑初级像差光学系统的第二次近似就是经典光学系统。在经典光学系统中，不存在任何高级像差。

几何光学是在经典光学基础上对实际光学系统的第三次近似，几何光学严格遵循光的直线传播和折反射定理，它实际上考虑了光学系统的所有几何像差。但是它没有考虑由于光的波动性，即光的干涉和衍射所引起的像斑特点。如果把光的波动特性同时考虑进来，则形成对实际光学系统的第四次近似。这次近似被称为物理光学。在物理光学系统中，不但存在几何像差，而且入射光瞳的衍射效应也被包含在内。对于常用的光学望远镜来说，第四次近似似乎已经是足够的了。

对光学系统的第五次近似将包括量子光学在内的光的所有特点。在这次近似中，光是作为一个个量子化的光子来进行探讨和研究的。这些光子具有各自固定的不连续的能量。同时单个光子在空间的位置和动量不可能同时准确地被测量，我们所能获得的仅仅是它出现在某一位置或状态上的概率。光子的这种量子特点在杨氏双缝干涉仪中曾经引起过很大的争论。单个光子在双缝干涉中还具有路线和位置不确定（delocalized）等一些奇怪的波动特点（粒子波）。它可能会同时通过双缝中的两个缝隙，而只有在到达了成像面以后才会具有确定的位置。同时根据量子理论，电磁场具有零点能量（zero point energy）。根据不确定原则，场的真空能量相当于半个光子的能量。因为是半个光子，它既不能被吸收，又不能被消除。所以在对光子的测量中，不可避免地总是存在噪声。量子光学在光学天文干涉仪中起着非常重要的作用。在射电领域，光子能量低，光子数多，量子效应不明显，则不需要考虑它的量子效应。

望远镜光学系统的误差包括几何像差和口径衍射两个部分。几何像差会导致星像能量分散，星像中心点亮度降低。像差种类和分布将在后面讨论，这一节主要讨论望远镜中的口径场衍射和地球大气扰动对望远镜角分辨率的影响。

1.2.1.1　口径场传播和夫朗和费衍射

如果存在一个均匀照明的口径场以及平面电磁波的传播方向，当口径面尺寸远大于电磁波的半个波长时，沿着前进方向，将会产生几个辐射区域（图1.2）。开始是近场区，近场区的起点距口径场大于一个波长，近场区的最远点连接菲涅尔（Fresnel）区，距口径面距离为

式中d是口径面直径，λ是波长。在近场区，口径场上的辐射能量在空间将重新分配，波束范围将有所扩大，原来十分均匀的能量分布变得起伏不平。在近场区前面，是菲涅尔区。菲涅尔衍射区分为两个部分：接近近场区的部分和距离口径面很远的部分。前者也常常被称为近场区，距离口径面很远的则被称为远场区或者夫朗和费（Fraunhofer）衍射区。夫朗和费衍射区距口径面的距离为

在望远镜焦点上的辐射分布就等于口径场在远场区的辐射情况。如果应用量子理论，可以为口径场的衍射像斑做出一个初步估计。在测不准定理中海森伯格提出光子动量误差和位置误差的乘积将大于或者等于普朗克常数，即ΔpΔx≥h。而在口径面上光子之间的最大位置误差等于口径直径Δx=D。由于光子动量是普朗克常数和波长的比p=h/λ。则有动量误差Δp≥h/D。由于动量和动量误差相互正交，所以光子可能的速度方向应该等于动量误差和动量的矢量差，即θ=Δp/p≥λ/D。这个值应该就是口径场在远场的像斑角直径，即口径场的最小角分辨率。

应用经典方法求解远场衍射斑大小，需要引入衍射的概念。根据物理光学，光的传播不但具有几何光学的特性，而且具有波动光学的特性。当光作为波传播的时候，它遵循矢量叠加的原理。当两束从同一个光源发出的光波（即相干光）同相位传播时，波峰和波峰会叠加起来，使它们的总强度即振幅的平方，会超过每束光线的强度和。而当两束光波的相位正好相差180度时，波峰和波谷会叠加起来，使它们的和处处等于零。这种特有的现象就称为干涉。

一般地讲，当两束同一光源的光波经过不同的路径后再会合起来而产生的效应称为干涉；而在连续的光波中因为遇到边界、障碍或者小孔时，其中光波的一部分和另一部分会合起来而产生矢量叠加就称之为衍射。干涉和衍射之间没有严格分界。衍射中的一个特例是光栅衍射，光栅衍射实际和干涉非常类似。

由于存在衍射，点光源通过望远镜所形成的像，即使在没有像差的情况下，也并不是一个高斯像点，而是一个斑。这个衍射斑的大小决定了望远镜的分辨极限。这个衍射斑有很多不同的名称，如夫朗和费斑、远场方向图、点分布函数、艾里斑，或者能量分布函数。光波在口径场上的分布具有振幅和相位，衍射斑也包括振幅和相位。

在光学系统中，口径（即入瞳）一般是指空间中决定进入焦点的光束大小的平面区域。它常常是主镜面沿光轴方向上的投影。简单地说，口径场的夫朗和费衍射斑就是该口径场函数的傅立叶（Fourier）变换。

考虑一个口径场S的夫朗和费像斑，S中任一面积元dS=dxdy的辐射会对空间中某一方向P产生一定作用（图1.3）。这个作用包括两个部分：第一是将这部分场强F（x，y）dxdy进行传递，第二是产生一个附加的相位值（2π/λ）（lx+my）。这里F（x，y）是口径场函数，（l，m，n）为矢量P的方向余弦，λ为电磁波波长。这样在（l，m）方向上的衍射斑复数函数即（Graham Smith and Thompson，1988）

公式中i2=-1，C是一个常数，量纲是[长度]-2。公式中振幅部分的贡献为F（x，y）dxdy，相位部分为F（x，y）dxdy的原有相位加上因光程QQ′=lx+my所引起的附加相位。这一公式就是二维复数函数F（x，y）的傅立叶变换公式。口径场中x/λ和y/λ是以波长为单位的长度变量，在衍射斑上l和m是以与口径场法线方向的夹角正弦值为单位的角度变量。

对于一个长方形口径，如果边长为a和b，口径场振幅均匀分布并且有F（x，y）=F0，则它的衍射斑为

对于一个半径为a的圆形口径场，常常用极坐标（r，θ）表示。同样在衍射图中的极坐标为（w，φ），其中rcosθ=x；rsinθ=y；wcosφ=l；wsinφ=m；是方向P（l，m，n）与口径法线方向夹角的正弦值。圆形口径场的衍射斑函数为

式中A（0，0）是衍射斑中心点的振幅，J1（x）是x的第一阶贝塞尔函数。衍射斑的能量分布则是振幅分布的平方，即

式1.7表明圆形口径场的衍射斑是以中心点为圆心的一组明暗相间的图形。这一图形在光学上称为艾里斑（Airy Disk）。艾里斑的振幅和能量曲线如图1.4所示，它的第一圈暗环的半径为1.22λ/d。

双反射面望远镜由于副镜的遮挡，衍射斑图形是两个函数的差即

式中ε为中央遮挡的相对比例。由1.8式可获得衍射斑的能量分布为

表1.1和1.2列出当λ=550纳米时各种中心遮挡比对第一圈暗环直径和各环能量分配的影响。和圆形口径衍射斑相比，随着中心遮挡的增大，衍射斑第一圈暗环条纹逐渐向中心移动，中心亮斑的总能量也逐渐减少。

利用傅立叶变换可以求出各种组合口径场的衍射像斑形状，图1.5为一干涉望远镜阵的口径分布以及其所对应的衍射像斑图形。该望远镜阵由7个子镜面组成。在光学中，通过改变口径场函数中振幅和相位来改变望远镜衍射像斑的形状和大小的方法被称为切趾法（apodization）。这种方法对地外行星的观察有着十分重要的意义。切趾法将在后面进行讨论。

1.2.1.2　分辨率判别准则

望远镜的分辨率是望远镜所能够分辨的最小空间角度。根据口径场强度衍射斑的图形，就可以基本确定望远镜的理论空间分辨率。如何决定这个很小的空间角度呢？一种经典的判断办法是利用两个强度相等的衍射斑，使这两个像斑之间的距离逐渐地减小，而达到一个刚刚可以分辨开的距离。在现代光学理论中由于引进了空间截止频率的概念，它所定义的理论空间分辨率和经典天文学中的空间分辨率有所不同。口径的空间截止频率将在第1.4节中讨论。

经典的分辨率判别准则有三种，即瑞利（Rayleigh）准则，斯佩罗（Sparrow）准则和道斯（Dawes）准则。

瑞利准则影响最大，应用最广。瑞利1879年建议当两个等强像斑中的一个主强度极大正好与另一个像斑的第一圈暗环相重合，就称这两个像斑刚刚被分辨开（图1.6（a））。这就是瑞利准则。在瑞利准则条件下，复合像斑中心点的亮度是单个像斑最大亮度的0.735倍。

斯佩罗准则不很严格。他将两个等强像斑尽量接近，当接近到像中心的暗淡点刚刚消失而不能再靠近的时候，就称作两个像斑刚刚被分开（图1.6（c））。这时如果再继续靠近，则复合像斑只有一个明亮峰值。斯佩罗准则是人为可分辨像斑的极限情况。道斯准则与前两种准则不同，是天文学家道斯经过长时间研究确定的，它介于两种分辨准则之间。在这种准则条件下，复合像斑中心点刚刚有一个暗淡的斑点，可以为人眼所觉察（图1.6（b））。事实上，道斯准则的分辨能力和口径的空间截止频率十分吻合。对于圆形口径来说，瑞利、道斯和斯佩罗准则所对应的分辨率qr、qd、qs分别为

对于具有中心遮挡的环形口径，由于中心亮斑直径的减小，相应的空间分辨率也将有所提高。原则上这些分辨准则也适用于非等强像斑的分辨，图1.7是两个亮度相差1.5星等的星，在瑞利极限下复合像斑的亮度分布。这时在主次极大之间有一明显的暗淡点，可以很容易地进行分辨。应该指出由于数字图像处理技术的发展，望远镜成像的理论分辨率已经高于一般接受的瑞利准则，而接近于在目视观察中不易达到的斯佩罗准则。而更高的空间分辨率则要求望远镜有更大的口径，更合理的口径场分布以及特别的图像处理方法。

1.2.1.3　大气宁静度

应用普遍接受的瑞利准则，可以计算出各种口径所对应的理论空间分辨率。对于波长为550纳米的可见光，帕洛玛山天文台5米海尔光学望远镜的理论分辨率为ω=0.028角秒。然而实际上5米海尔望远镜仅仅能够分辨角距离为1角秒左右的相邻天体。这是什么原因呢？原来在地面光学天文望远镜中，望远镜的衍射极限通常是不能实现的。大气扰动，即大气宁静度（seeing），是影响地面天文光学望远镜分辨能力的最主要限制因素。大气宁静度是描述经过大气层后星像不规则运动和弥散范围大小的物理量。与之密切相关的另一个概念是大气闪烁（scintillation）。大气闪烁是指经过大气层后星像亮度迅速变化，忽明忽暗的现象。大气宁静度和大气闪烁都是因为地球大气扰动而形成的。

在温度300K、一个标准大气压的条件下，地球大气层中所有气体的厚度大约是8千米，大气层中氮气和氧气最多。标准大气压是指海平面上的大气压，从海平面向上，每上升约18千米，大气压就降低到原来的1/10。同样大气密度也不断降低，大气密度是温度和气压的函数。一般气体的折射率和1之间的差值与气体密度成正比。大气扰动是由于大气层中温度、压力和湿度存在差别，而引起大气密度和折射率改变，形成扰动的结果。大气扰动会产生不同频率的风，而不同的风频又激发了不同线尺度的湍流。在同一个湍流旋涡内温度是相同的，但是在不同的湍流旋涡内温度是不同的。这种温度的分布引起了大气折射率的变化。折射率变化的线尺度可以是几毫米、几米、十几米甚至达到几百米，形成了大气层对星光折射的随机影响。大气扰动的时间尺度为毫秒级，它和光的时间周期10-15秒相差很大。大气层在很短的时间尺度内是固定不变的，而且大气扰动所引起的绝对的光程差和电磁波的频率基本上没有关系。在光学波段，大气扰动的影响很大；而在射电频段，大气扰动的影响很小。

来自天空的星光可以用光线表示，光线表示光的传播方向。星光也可以用光波表示。用光波表示时，空间中具有相同相位的点的结合就被称为光的波阵面，光的波阵面和光线传播方向相垂直。在临近点光源的区域，理想波阵面是一个个围绕着光源的同心球面。当距离点光源非常远的时候，理想波阵面是一个个和光线方向相垂直的平面。图1.8表示从大气层外射入的一束星光，当星光穿透扰动的大气层后，原始的平面波阵面将发生畸变。从较大的线尺度范围看波前的畸变幅度较大，但星光的偏转角小。从较小的线尺度范围看星光偏转角较大，但波前的畸变幅度小。即大口径望远镜像斑弥散大，但像点的位置稳定；而小口径望远镜则像斑比较明锐，但像点位置会不断跳动。由于风力的影响，大气湍流会迅速移入或移出望远镜的上方，波阵面的形状就会发生变化。当这种湍流旋涡距离望远镜很远时，波阵面形状的变化将引起光程差较大的起伏。对于小口径望远镜来说这种光程差的起伏会使星光不连续，产生像点位置的跳动，这就是大气闪烁。对于大口径望远镜来说所产生波阵面的倾斜相对较小，而畸变则较大，使星像弥散范围扩大，这就是大气宁静度的影响。

小尺度的高层大气的湍流对大气闪烁有较大的影响。而大尺度的中、低层大气，包括地面附近，圆顶室内的大气湍流对大气宁静度有较大的影响。大气宁静度一般用星像弥散斑的直径来表示。地球上不同地点，大气宁静度的数值各不相同，因此大气宁静度数值是衡量天文台台址优劣的最重要的指标。对于高度低的台址，星光要经过比较厚的大气层，大气宁静度较差。这也是天文台台址一般都选在高山顶上的原因。

优秀天文台台址的大气宁静度应在0.5角秒以内，较差的台址的这一数值可能达到3到5角秒（图1.9）。地球上最好的天文台台址可能是在南极的高原，南极高原的大气宁静度甚至可以达到0.15角秒。地球大气扰动与光线传播方向有关，当入射方向接近于地平线时光线穿透大气层的距离很大，大气宁静度会下降。对于大口径望远镜来说，大气宁静度是影响望远镜分辨率的最大限制因素。为了努力提高望远镜的分辨率，必须选用优良的台址，同时要改善望远镜圆顶内的宁静度（第1.2.4节和2.4.1节）。提高望远镜分辨率的根本方法是采用自适应光学系统来补偿大气扰动的影响，采用光学天文干涉仪，采用其他高分辨率技术（第四章），或者将光学天文望远镜直接送入轨道空间（第六章）。

1.2.2　聚光本领和极限星等

望远镜的聚光本领，即灵敏度，是衡量望远镜穿透能力的重要指标。聚光本领强的望远镜能够探测到非常微弱的星光。在光学天文中天体亮度是用星等来表示的。依巴谷（Hipparchus）在公元前二世纪把人眼看到的星依其视亮度分为6个等级。每一等星的视亮度均是下一等星视亮度的两倍。在十九世纪，天文学家应用现代光度测量方法，对所有星进行了重新校对。星等与星的辐射能强度之间建立了确定的对数关系，即

式中m是星等，f是星的辐射能强度。星等越大，它发出的到达地球表面的光子数就越小。只有聚光本领很大的望远镜才能够探测到星等很大的星所发出的微弱辐射。

当光子数目少时，光的量子特性就会显露出来。这时光子会在随机时间点上降落到接收器一些毫不相关的位置上。这时，仅仅能够计算出光子落到某一特定位置的平均概率，而不能推算出下一个光子会在什么时间，什么位置上出现。这就和刚下雨时，从地面上出现的雨点分布上是完全看不出在哪个位置的上方有一把雨伞一样。当人眼在很黑的环境下完全适应时，就相当于处在这种情况下。这时在视觉停留期内进入眼睛的光子数大约只有10个，人眼在这时无法判断光子源的具体方位。当光子数目渐渐增大后，就如同雨点渐渐增多，地面上会显示出上方雨伞的形状，光子源的方向就会明晰起来。因此当光子数太少时，天文望远镜的分辨率是不可靠的。这也是天文学家不断地追求更多光子数的原因。在下面讨论中，均假设在接收器中存在足够多的光子。

在天文观察中，光学望远镜对空间某一天体的聚光本领可以用下式表示，即

式中A是望远镜的口径面积，t是天文观察的积分时间，Δλ是观察的频谱宽度，np是单位时间、单位面积、单位频宽目标天体发出的到达地球表面的光子数，函数Q表示望远镜和接收器的综合量子效率。对于天体中的零等星，在标准可见光V频段内，每平方厘米、每秒到达大气外层空间的光子数为Δλ·np=1007。

从1.14式可以看出望远镜的聚光本领是口径面积和积分时间的线性函数。在望远镜观察中积分时间常常是有限制的，所以除了提高望远镜和接收器的效率以外，增大望远镜的口径面积是增大聚光本领的根本途径。这也是天文学家不断提出建造新的更大口径的天文望远镜的主要原因。

1.14式中函数Q包括望远镜本身和接收器的量子效率。相比于照相底片，现代电荷耦合器件（CCD）有非常高的量子效率。影响望远镜本身量子效率的因素包括反射和透射损失。反射望远镜中反射损失是影响望远镜量子效率的主要因素。新鲜的铜合金镜面，反射损失约45％。随着反射面的锈蚀，它的反射损失不断增加，这种反射损耗是影响早年光学望远镜量子效率的重要因素。早期接收器（人眼和底片）的量子效率也极低。应用化学镀银方法获得的玻璃镜面，反射损耗只有5％左右（图1.10）。但是由于空气中硫化物的作用，镀银面将很快暗淡，使反射效率急剧降低。现代反射望远镜几乎无一不采用真空镀铝的镜面。镀铝膜是在小于0.007帕斯卡（Pascal）压强的真空室内进行的，镀膜厚度控制在黄光波长的二分之一左右。在这种条件下反射损失在可见光区域将略高于10％，在250纳米的紫外区域，反射损耗约12％。反射损耗在红外波段不断改善，当波长为1000纳米时，反射损耗仅仅为9％，在波长为50000纳米时，反射损耗仅仅为1％。镀铝的镜面在离开真空室后将迅速氧化，这使镜面的反射损耗略有增加。长时间使用以后，由于灰尘、空气的作用会使反射损耗增加到15％左右，影响望远镜的正常观察。为了降低镜面的反射损耗，镀铝镜面应该每三至六个月冲洗一次，每隔一两年重镀一次。对于双镜面望远镜，总反射效率是单个反射面效率的乘积。折轴焦点由于多次镜面的反射，使用一般的镀铝镜面将使反射损耗高达60％以上，因此必须采用更高效率的反射镀层。在紫外和远紫外区域，大部分反射镀膜的反射率急剧下降，只有铂膜和铟膜反射率较高，其应用波长范围可在红外和紫外波段分别延伸至19微米和2.3微米。

一般来讲如果某镀膜层对可见光具有吸收作用，则该膜层的复数折射率为

式中k为膜层的消光系数，n为膜层的折射系数。根据这一公式可以确定普通厚反射膜的反射效率为

为了提高镜面的反射效率，可以采用多层电介质干涉薄膜。如果周期性的多层电介质膜是由厚度A和B各N个的周期膜层组成，其A和B层的折射率分别为nA和nB，镜面的折射率为n，空气的折射率为n′，则最高的反射率将发生在每一层介质的光学厚度均等于波长四分之一的奇数倍的地方，这时总反射率为（图1.11）

图1.12给出了一部分多层电介质镀膜的反射率曲线，它们均可以在很广阔的频段达到96％以上的高反射率。在同一图表中也列出了一些极低反射率的多层电介质增透膜的反射率曲线。

当在望远镜中引入透镜时，在透镜与空气的表面会因为反射而产生能量损失。在透明介质之间的折射效率可以用下式表示

式中n和n′分别为第一和第二介质的折射率，当光线从空气中直接进入玻璃透镜时，对n=1.74的玻璃因表面反射而引起的损失约等于7.3％（当n=1.51时约等于4.1％）。由于折射率n对各种波长略有差异，所以这种透射损耗在蓝光波段较红光波段略高。通过在透镜表面涂镀四分之一波长的氟化镁（MgF2）层（n=1.38），这种透射损耗可减少到1.3％～1.9％。多层介质增透膜的透射率可以达到99.7％。对于一个或两个很狭窄波段，多层介质增透膜的透射率几乎可以达到100％。

除了反射和透射的损耗外，望远镜的量子效率还受到在透明介质内部吸收损耗的影响，如果介质的吸收系数为τ，则介质的透射率为

式中l为介质厚度。透射率的倒数叫不透明度，不透明度的以10为底的对数被称为光学密度。

当望远镜的口径、望远镜和接收器的综合量子效率决定以后，一般就可以确定望远镜的聚光本领。对于天文学家来说这是衡量望远镜穿透能力的主要指标。但是聚光本领和穿透能力，与观察方法也紧密相关。不同的观察方法决定了望远镜不同的穿透能力，也就是说使用不同的观察方法，所探测到的极限星等是不相同的。遵循鲍姆（Baum，1962）、布朗（Brown，1964）、迪斯尼（Disney，1972，1978）的讨论方法，我们在表1.3中定义了讨论所使用的参数，同时假定星光的能量分布是一个明锐的正方形面积，省略π/4的因子。讨论共分为三个方面：（1）光电测光，（2）CCD探测，和（3）分光测光。

表1.3　极限星等讨论中的符号定义

1.2.2.1　光电测光

望远镜在光电测光时，时间t内所探测到的星光光子总数为

由于天文探测量的随机（泊松）分布性质，星光测量所引起的误差或测量噪声为

同时探测到的天空背景光的光子数为

天空背景光的噪声为

如果B为天文观察中可以允许的相对误差值，则

考虑以下两种情况：第一，如果星光亮度远远大于天空背景光的亮度（np≫β2S），则望远镜所能够探测到的极限星等（即星的亮度）为

第二，如果天空背景光的亮度远远大于星光亮度，则有

式1.25和1.26表明，应用光电测光的方法，望远镜所能获得的极限星等在天空背景暗的条件下与望远镜口径的平方成比例，但对于暗星的探测，即天空背景光的亮度远远大于星光亮度时则仅仅与口径的一次方成比例。这就是说对于暗星的探测，望远镜穿透能力的增长小于望远镜聚光本领的增长。

在光电测光观测中由于大气宁静度的影响，光阑直径一般取为10角秒左右。因此对恒星进行光度观测时，穿透能力从D2变为D时所对应的星等一般约为16.5等，对于更暗的恒星光电测光工作，望远镜的穿透能力与口径的一次方成比例。

1.2.2.2　CCD成像

CCD成像和照相类似，是一种光子成像过程。实际上它的探测原理和光电测光并无实质的差异。上面公式1.25或1.26对于照相和CCD探测也同样是适用的，这时只是目标的立体角相应地要比光电测光时小得多。当望远镜的分辨率以大气宁静度为极限时，β则相当于1角秒。因此穿透能力从D2变为D时所对应的星等也大大上升，一般在20等左右。当然这是假定大气宁静度的像尺寸正好与CCD的像元尺寸相匹配，并且穿透能力的变化是在相同积分时间的条件下进行比较的。在实际上由于动态范围的限制，CCD并不可能将曝光时间无限制延长，因此总存在一个最佳曝光时间，如果天空背景的曝光强度超过某一最优值时，CCD的效率就会迅速下降，同样如果达不到这一最优值时，对于暗天体的对比度也会下降。假设m是使CCD达到最优曝光时单位面积底片所记录的光子数，则

式中t0是CCD的最优曝光时间，

将t0代入1.26式内，可以得到在最优曝光情况下的极限星等1/np为

式1.29表明在最优曝光条件下，CCD的极限星等与望远镜的口径无关，仅仅是望远镜焦距的线性函数，不过由于t0∝D－2，因此过小口径的望远镜将需要不实际的过长的曝光时间。

对于较小的焦距，如果以像元大小作为分辨极限，则相应的星光面直径为β=p/f，将此关系式代入式1.29中，有

同样在这种情况下，极限星等也与望远镜口径无关，仅仅是望远镜焦距平方的线性函数。根据式1.29和1.30，假设β=1.25角秒，p=0.18毫米，可以得出望远镜的照相星等和焦距的关系，如图1.13所示。图中折线的斜率变化大约发生在f=3米的地方，前半段的斜率等于5，后半段的斜率为2.5。

当望远镜的观察是在空间进行或者是在地面应用了自适应光学技术以后，因为艾里斑直径与望远镜口径成反比，所以对于点光源来说，望远镜的穿透能力无论是在背景极限或者是高亮度对比的条件下都与望远镜口径的四次方成正比；而对于面光源来说，则仍然与望远镜口径的二次方成正比。从这一点上看，发射空间望远镜以及应用自适应光学技术对于天文学研究有着十分重要的作用。

1.2.2.3　分光测光

图1.14是一台分光仪的基本布局。其中准直镜与照相机都是由透镜构成的，色散元件采用光栅。对于角直径为β的天体，其在探测器上的单色光的线尺度为DFcβ。为了保证分光测光的角分辨率，则应保证

当fcΔθ＜DFcβ时光谱像就会发生重叠（图1.15）。这时就必须使狭缝投影宽度W=fcΔθ，从而切去像斑的两侧，使分光仪效率降低。为了使公式1.31的条件满足，则往往需要大的光栅尺寸和准直镜口径，实际上这是不容易满足的。从而就产生了下列两种情况：（a）非光栅极限的分光观察和（b）光栅极限的分光观察。在光栅极限情况下，狭缝宽度减小，从而引起分光仪效率降低，新的效率是原有效率的e倍 ，即

式中W和Og是光栅指标，从这里开始Δλ是光谱分辨率。在以上两种分光观测的条件下，所能探测的极限星等与在光电测光情况下的公式基本一致，只是在光栅极限情况下，公式1.20应该写作

在上面公式中，Δλ是光谱分辨率，而不再是光谱频段。同样公式1.22应写作

在星光亮度大于天空背景亮度的情况下，观察的极限星等为

当星光亮度小于天空背景亮度的情况下，观察的极限星等为

当然如果在光栅极限情况下应用星光分束器或者应用光纤，将会使因狭缝宽度减小而损失的星光导入缝隙中，则观测的极限星等会有所提高。从上面的分析可以知道光栅指标WOg对于分光测光效率有很大的影响，因此改善光栅指标是提高分光测光效率和极限星等的重要手段。要改善WOg，重要的是增大光栅尺寸W。由于W～d，因此也必须相应增大准直镜的口径，这在实际上是有一定困难的。图1.16是取光栅指标WOg=100时，不同口径望远镜进行分光测光时β和Δλ的关系。大气宁静度极限和光栅极限分别分割了β-Δλ平面，给出了高效率分光测光的特定区域（图中的阴影区）。这个区域从望远镜口径3米起一直到大约5米处止。但是为了获得很高的光谱分辨率，望远镜的最佳口径则应该在2米到3米之间。所有这些都决定了分光测光中的效率、极限星等和光谱分辨率的增长均远远小于聚光能力的增加。

上面三种情况的分析并不包括在衍射极限情况下以及接收器噪声为主要噪声来源的天文观察情况。表1.4共列出了九种天文观察情况下，望远镜的穿透能力、口径和积分时间的关系。很明显在衍射极限情况下，由于星像面积随着望远镜的口径增长而减小，所以穿透能力是口径面积高次方的函数。但是除了空间望远镜，这种情况只适用于特小口径（小于10厘米）望远镜，应用斑点遮挡干涉或自适应光学的情况。同样在光学波段接收器噪声常常不是主要问题。这样就剩下了四种最基本的情况。即

（1）星光极限情况（∝D2t）；（2）天空背景极限情况（∝Dt1/2）；（3）光栅极限情况（∝Dt）；（4）光栅与天空背景的共同极限情况（∝D1/2t1/2）。

在上述四种观测状态中，状态（1）包括星等亮于16.5等时的光电测光、星等亮于20等时的CCD观测、星等亮于20等时的低色散分光和亮的星系核的光谱扫描。状态（2）包括低于20星等的照相及CCD观测、暗星的低色散光谱工作、低于16.5等的光电测光和暗星系的低色散光谱扫描。状态（3）包括亮于20星等的中色散和高色散分光以及暗星系的明亮发射线的低色散分光。状态（4）包括所有低亮度天体的光谱工作。通过对表1.4的分析可以看出：地面望远镜探测能力的增加并不是与望远镜的聚光本领成正比的。这种探测能力的增长对于大口径仪器比小口径仪器要慢得多。对于给定聚光能力的望远镜，并没有一个明确的极限星等，通过增长曝光时间总可以探测到更暗的天体。另外对于光谱工作、照相工作，中等口径望远镜常常可以发挥很大的集光效率，而大口径望远镜则受到种种其他条件的限制。

1.2.3　视场和综合效率

天文望远镜作为辐射能收集器主要追求大的聚光本领，然而现代天文光学望远镜同时也是一种成像装置。对于成像装置，视场是衡量其信息传递能力的一个重要指标。大视场可以在同样时间内获取更多的天体信息，从而提高望远镜的效率。

望远镜的视场是由哪些因素决定的呢？像斑大小是影响视场大小的主要因素，另外望远镜的观察方法、接收器的尺寸、像场的渐晕（指视场中不同视场角对应于不同集光面积的现象）以及大气的较差折射（指大气折射率随高度角不同而变化的现象）等也对望远镜的视场尺寸有较大的影响。对于给定的望远镜光学系统，色差和像差是决定像斑尺寸的主要原因。比如在单抛物面反射系统中，彗差是影响视场大小的主要因素，彗差的大小等于3Φ/（16F2）。这里Φ为半视场角，F为望远镜焦比，彗差大小的单位和视场角单位相同。图1.17给出了这种系统在不同焦比情况下角彗差与半视场角之间的关系，如果所允许的像斑尺寸为1角秒，这种系统的有效视场仅仅为几个角分。卡塞格林系统与单反射抛物面系统具有同样的角彗差公式，因此视场大小也受到了限制。而R-C系统（参见1.3.1节）将有较大的视场，可以达到30角分左右。为了增大望远镜的视场，一种有效的办法是引入像场改正镜，采用透镜系统来扩大视场，这样有效视场可以达到1～3度。在扩大视场的努力中施密特望远镜和三镜面大视场望远镜的出现是两个重要的事件。施密特望远镜的有效视场可以达到6度×6度，三镜面系统的视场可以达到3.5度×3.5度。

由于观察方法的不同，望远镜的具体使用视场也有极大的区别，光电测光仅仅使用了极为有限的视场角范围。CCD观测则取决于CCD芯片的尺寸。在分光测光中除了物端棱镜观测外，可达到的视场均小于望远镜的视场。在物端棱镜观测中，使用一个角度很小的棱镜放置在主镜的前方，可以获得视场中所有星的低色散光谱。在其他分光工作中，由于色散元件尺寸限制，视场大小有很大限制。当色散元件为光栅时，光栅尺寸为d时的最大可用视场角Φ可表示为

式中d0=L/F，为零视场时所需的色散元件的尺寸，L为色散元件和焦面的距离，F和D分别为望远镜的焦比和口径，对于多目标光纤光谱仪，入射缝高同样要受到d/D的限制，所能拍摄的天体数仍然有限，不过引入多个色散元件则可以充分利用望远镜的全部有效视场。

像场渐晕对大视场仪器有较大的影响。当半视场角为θ时，望远镜的投影面积A（θ）与望远镜垂直照射时的投影面积A（0）之比就是渐晕值的量度，由于渐晕引起的星等降低可以用下式表示

由于像场渐晕的存在，光度校正对于大视场望远镜来说十分重要。图1.18所示为英国1.2米施密特望远镜的视场角与星等下降的关系。施密特望远镜中主镜直径远大于望远镜口径，但仍然存在渐晕的影响。大气较差折射对望远镜的视场也有影响。这是因为在跟踪天体时成像面上会产生比例尺的变化，因此可利用的视场大小受到了限制。

望远镜的综合效率是一个十分复杂的指标，不同的方法、不同的目的有不同的评价方法。但是最主要的是望远镜的信息传递能力，即集光率（etendue）。集光率是描述一个光学仪器信息传递能力的物理量。它的数值等于口径面积和视场大小的乘积，即E～D2Φ2。

望远镜的综合效率应该包括它的穿透能力（其表达式为Et～DαΦβ，α、β根据不同的观察方法和条件而决定，参见极限星等的公式），望远镜的空间分辨率，望远镜的频谱范围和视场的大小。所有这些都和望远镜的成本造价相关。由于望远镜的很多指标都受到大气宁静度的影响，因此台址的选择也是影响望远镜综合效率的重要因素，当然望远镜最后成果的取得最重要的还取决于使用者的智慧和水平，对于中小型望远镜尤其如此。

1.2.4　大气窗口和台址选择

天体辐射覆盖了整个电磁波谱。在地球表面，由于大气层的吸收、反射和散射，在整个电磁波谱内只有两个比较透明的窗口，这就是光学窗口和射电窗口（见图1.19）。光学窗口从波长300纳米开始至700纳米为止。在这一频段范围内大气散射不太明显，透射效率高。当波长小于300纳米时，天体辐射分别受到氧原子、氧分子和大气臭氧层的强烈吸收，波长较长的也只能透射到地表以上100千米至50千米处，而不能到达地球表面。当电磁波波长大于700纳米时，大气中的水汽分子成为红外辐射的主要吸收体。由于水汽、二氧化碳和臭氧的作用，大气中形成一连串的强烈吸收带，不过也留下一些狭窄的红外窗口。这些透明的窗口主要在8～13微米、17～22微米和24.5～42微米等区间。当海拔高度增至3500千米时，由于大气中水汽含量减少，出现了远红外区的一些窗口。这些窗口与邻近的亚毫米波段窗口相连接。关于红外和射电窗口的情况将在后面射电和红外章节进行讨论。

地球大气层的光学窗口为光学天文望远镜的观察提供了极为重要的条件。长期以来，由于地球大气扰动和人类生活的影响，地球上不同地点的天文观察条件是完全不同的。从二十世纪五十年代起，各国天文学家就十分注意选择天文台的优秀台址，以充分发挥天文光学望远镜的最大效率。衡量天文台台址好坏的指标有很多，但是主要有下列几个方面：第一是关于台址大气特点的，这些指标包括无云或少云的天数；大气中水汽含量；大气中雨、雪等沉降物的情况；大气宁静度；大气闪烁；风力；大气消光等。第二是台址的一些地理环境指标，这些包括台址的高度；地形情况；温度情况；沙尘暴情况；地震活动情况等。第三是人类活动的情况，如天光背景和大气污染的情况。第四是台址的其他条件，包括台址经纬度，台址的水、电供应，台址的交通和生活设施等。总的来说，大口径光学望远镜台址的确定需要经过长时间的台址资料的积累和分析，特别是要对台址的大气宁静度进行充分的调查。通常口径和宁静度之比是望远镜效率的一个重要指标。罗得（Roddier，1979）也指出对于高分辨率的干涉测量，信噪比的变化与口径和宁静度之比成正相关。因此选择宁静度好的台址对于光学望远镜的天文观察具有十分重要的意义。

大气宁静度的起因在前节中已经讨论过，它的定量描述一般倾向于采用弗里德（Fried）的表达式。当星光透过折射率变化的大气层后，其最大的不受大气扰动影响的望远镜的尺寸，或大气折射率变化的相关长度r0可以表达为

式中λ为波长，γ为天顶距，h为高度，L为所通过的光程，CN为折射率的结构参数，其值与折射率结构函数DN满足以下关系

式中为折射率的分布，为两个相邻点的方向矢量。在光学波段中CN与温度结构常数CT密切相关，其关系为

式中p为大气压，单位是毫巴，T为绝对温度。同样的CT与温度结构函数DT也有相应的关系

通过实地测量CT或CN的数值就可以确定大气宁静度的数值。目前可以应用温度传感器来直接进行CT的测量，也可以应用回声测量方法（echo sounder）、雷达方法和光学传感器的方法来确定的分布。加拿大-法国-夏威夷天文台分别测量出当地不同高度的CN=2×10－15（h=0米）和CN≤1×10－17（h=100～150米），因此有r0=0.4角秒。同时该台测出（h=10米）和CT=0.02℃－1/3（h=100～150米），因此得到r0=0.3角秒。从这两个数字可以估算出在大气底层10米至150米的区域，大气宁静度的贡献为0.3～0.4角秒。夏威夷高层大气宁静度的估算值为0.35～0.45角秒，加上圆顶室宁静度为0.25角秒，总的望远镜宁静度为0.7角秒左右。图1.20给出了实际观察时的大气宁静度的统计分布，其期望值为0.75角秒，与上述估计十分相符。最近的研究还表明大气折射率结构常数与大气层高空2.0×104帕气压处的风速分布相关，因此这种风速也与大气宁静度有直接联系。图1.21表示了这种联系的统计规律。通过这种关系，亦可能找到应用气象方法进行台址选择的新途径。

从已选定的优良台址分布看，它们主要集中在受从西向东的冷洋流控制下的沿海高山地带以及大洋中的孤岛上。这些地方气流平稳，大气宁静度好。同时因为台址高于大气中的气流层，所以晴夜多，水汽含量少，因此也减小了大气对光辐射的吸收和消光作用。优良的台址还必须远离人类活动的地点，以防止人工照明而引起的背景光污染。现在世界上主要的光学台址有夏威夷、智利和西班牙的加纳利岛。因为环境保护的原因，夏威夷的山区已经很难增加新的天文台，所以智利干旱的北部现在成了光学、红外和毫米波望远镜的重要台址。最新的研究证实我国西藏阿里地区也存在良好的天文台址。在地球上，南极高原是水汽含量最低、风力最小的优良台址。不过在南极地区地面边界层内大气宁静度较差，气候寒冷严酷，交通不便，这给天文应用带来一定的困难。