3.3 故障检测

故障检测的目的就是利用系统输入、可测的状态和系统输出PDF的信息，检测出系统发生的故障。为此构造检测观测器如下。

其中，xm（t）是检测观测器的状态；Vm（t）是权值向量的估计；γm（y，u（t））是PDF的估计；Kd是观测器的增益矩阵。εd（t）可表示为

其中，。

因此，进一步得到

其中，ed=xm（t）-x（t）为状态估计误差。

引理3.1[6] 对于（），存在一个λ（T1≤|λ|≤T2）使式（3.9）成立。

其中，T1=λmin（E）/λmax（E），T2=λmax（E）/λmin（E），根据式（3.1）、式（3.2）和式（3.6），可以得到误差系统

其中，，在无故障的情况下，结合引理3.1，由式（3.10）可进一步得到

其中，（A，Σ）是可观测的，选取L使A+LΣD为Hurwitz矩阵。

定理3.1 在假设3.1的条件下，对于式（3.1）、式（3.2）和式（3.6），如果存在正定对称矩阵P、Q满足下列等式。

则状态估计误差ed是有界的。

证明 对于如式（3.11）所示的非线性误差系统，可取二次型Lyapunov函数如下。

基于式（3.11），可以得到Lyapunov函数式（3.13）的一阶导数为

其中，为非线性部分估计误差。

根据假设3.1和式（3.12），式（3.14）进一步得到

其中，λQ是正定对称矩阵Q的最小特征值。

若满足下列条件

当系统无故障时，，则。这表明在系统无故障时由式（3.6）、式（3.11）和式（3.12）组成的观测器系统是趋于稳定的。因此，当‖εd‖＞τ时，系统发生了故障，其中τ是事先给定的阈值。