2.2 系统模型描述

为控制输出概率密度函数的形状，对输出概率密度函数用B样条逼近。由于有理平方根B样条模型综合了平方根B样条模型和有理B样条模型的优点，因此这里用有理平方根B样条[10]来逼近输出概率密度函数。

记η（t）∈[a，b]为一致有界随机过程并假定其为随机系统在t时刻的输出，并记u（t）为具有合适维数的控制η（t）分布的输入向量。在任意时刻，η（t）的分布可以用它的条件PDFγ（y，u（t））来表述，其定义式如下。

其中，P（a≤η（t）＜ξ|u（t））表示系统在u（t）作用下输出y（t）落在区间[a，ξ）内的概率，即η（t）的PDFγ（y，u（t））的形状可由u（t）控制。假设区间[a，b]已知，输出PDFγ（y，u（t））连续且有界，由B样条函数逼近原理可知[11]，可用以下有理平方根B样条模型来逼近PDFγ（y，u（t））。

其中，Bi（y）≥0是预先指定的基函数；ωi是仅和控制输入u（t）相关的逼近权值；n是基函数的个数；C（y）=[B1（y），B2（y），…，Bn（y）]，，V=[ω1，ω2，…，ωn]T且V≠0。

从式（2.1）可以看出，如果等式的右边没有分母，这个模型就是平方根B样条模型；同时可以看出，式（2.1）在表达形式上十分类似于有理B样条模型，故称为有理平方根B样条模型。需要指出的是：这里的n个权值ωi（i=1，2，…，n）是相互独立的。因此，在这个表达式中不需要进一步的约束条件。

式（2.1）中的权值ωi（i=1，2，…，n）的意义与有理B样条模型的权值相同，在这两种情形中，当逼近PDF或PDF的平方根时，它们只是一个中间变量，且权值不唯一。这不同于线性和平方根B样条模型的权值，线性和平方根B样条模型的权值是真正的权值。对有理B样条和有理平方根B样条模型来说，它们真正的权值分别为和。然而，由B样条神经网络逼近原理[11]不难得出，真正的权值必须唯一，式中的ωi（i=1，2，…，n）为伪权值。伪权值是否唯一并不重要，重要的是目标函数能用这样的B样条函数来逼近，且在给定精度下逼近的真正的权值唯一。有理平方根B样条模型综合了平方根B样条模型和有理B样条模型的优点，其权值的可行域几乎是整个区域。

假设由B样条权值描述的系统动态部分能够表示为线性连续定常系统，则这里所考虑的动态系统可表示为

其中，u（t）为已知有合适维数的参数矩阵；F是一附加项，代表系统的故障。对该模型来说，第一个方程是关于V（t）、A、B、G、u（t）和F的一般线性动态关系式；第二个方程代表系统输出概率密度函数的B样条表达式。