第四节 材料力学
一、材料力学的研究范畴
材料力学（material mechanics）是固体力学的一个分支，与理论力学、结构力学并称三大力学。材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限。在材料力学中，研究对象被看作均匀、连续且具有各向同性的线性弹性物体。在近似分析中，人或者动物组织的压缩、拉伸、断裂的强度理论及其状态参数都可应用材料力学的标准公式。但在实际研究中，特别是涉及软组织力学的分析，可能会有不符合这些条件的材料，所以必须要应用各种理论与实际方法对材料进行实验比较。材料力学的研究内容包括两大部分：一部分是对材料的力学性能（或称机械性能）的研究，材料的力学性能参量可用于材料力学的计算。另一部分是对杠杆进行力学分析。按受力和变形可将其分为拉、压、受弯曲（有时还应考虑剪切）等几大类（图4-4-1）。杆中的内力有轴力、剪力、弯矩和扭矩。
图4-4-1 材料根据受力的不同可致伸长（b）、缩短（c）、剪切（d）形变
根据材料性质和变形情况的不同，可将材料力学问题大致分为三类。
1．弹性问题 在很小形变条件下，材料服从胡克定律，对结构列出的所有方程都是线性方程，相应的问题就称为线性问题。对这类问题可使用叠加原理，即为求结构在多种外力共同作用下的形变（或内力），可先分别求出各外力单独作用下的形变（或内力），然后将这些形变（或内力）叠加，从而得到最终结果。
2．几何非线性问题 在较大形变条件下，就不能在原有几何形状的基础上分析力的平衡，而应在形变后的几何形状的基础上进行分析。这样，力和形变之间就会出现非线性关系，这类问题称为几何非线性问题。
3．物理非线性问题 在物理非线性问题中，材料内的形变和内力之间（如应变和应力之间）不满足线性关系，即材料不服从胡克定律。在几何非线性问题和物理非线性问题中，叠加原理失效。
二、形变体力学的基本概念
1．受力和形变 凡物体受到外力而发生形状变化称之为“形变”。形变的种类可分为如下几种：
（1）纵向形变：杆的两端受到压力或拉力时，长度发生改变。
（2）体积形变：物体体积大小改变。
（3）剪切形变：物体两相对的表面受到在表面内的（切向）力偶作用时，两表面发生相对位移，称为切变。
（4）扭转形变：一圆柱状物体，两端各受方向相反的力矩作用而扭转，称扭转形变。
（5）弯曲形变：两端固定的钢筋，因负荷而弯曲，称弯曲形变。
（6）微小形变：指肉眼无法看到的形变，如果一个力没有改变物体的运动状态，以及没有发生以上形变，一般认为是物体发生了微小形变。
还包括弹性材料的应变，塑性材料的永久形变和液体的流动。无论产生什么形变，都可归结为长变与切变。
2．法向（正）应力和剪应力 应力是受力杠杆某一截面上的某一点处的内力集度。应力用内力与截面积的比值表示，单位为Pa。正应力为垂直于横截面的应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称为剪应力，用τ表示（图4-4-2）。
正应力表示结构内部相邻两截面间拉伸和压缩的作用，剪应力表示相互错动的作用特性。正应力和剪应力的向量和称为总应力。
图4-4-2 法向（正）应力和剪应力示意图
3．剪切应变 剪切应变是剪切时物体所产生的相对形变量，即指在简单剪切的情况下，材料受到的力F是与截面AO相平行的大小相等、方向相反的两个力，在此剪切力作用下，材料将发生偏斜。偏斜角θ的正切定义为剪切应变γ，即：
γ=tanθ
当剪切应变足够小时，γ=θ，相应地剪切应力为：
τ=F/A
三、应力和应变
1．应力-应变关系曲线 应力-应变关系曲线的形状反应材料在外力作用下发生的线性（P）、弹性极限（E）、屈服（Y）、断裂（U）等各种形变过程（图4-4-3）。
图4-4-3 应力-应变关系曲线图
2．弹性形变和胡克定律 物体在外力作用下将发生形变，如果外力撤去后，相应的形变消失，这种形变称为弹性形变。一般认为人体组织在微小形变条件下发生的形变是弹性形变。在弹性形变范围内，材料中的应力与应变之间满足线性关系，称之为胡克定律。这是力学弹性理论中的一条基本定律，满足胡克定律的材料称为线弹性材料。
3．塑性形变 如果作用于物体的外力较大，当外力撤去后，所引起的形变并不完全消失，而有剩余形变，称为塑性形变。
4．颈缩（necking） 随着塑性形变的增大，应力也持续增加，材料均匀变长。颈缩是指在拉伸应力下，当应力达到一定程度时，材料可能发生的局部截面缩减的现象（图4-4-4）。
图4-4-4 材料在拉伸应力作用下发生的局部截面颈缩
5．应变能（strain energy） 物体受到外力作用时，力对物体做功而发生应力和应变并储存于形变体内的能量。这种以应变和应力的形式储存在物体中的势能，称为应变能。计算应变能的方法是计算在应力应变平面内，应力应变曲线与应变轴和应变量的垂线所围成的面积（图4-4-5）。如果弹性形变是可逆的，那么弹性应变能增量也是可逆的。当外力逐渐减小，形变逐渐减小，固体会释放出部分能量而做功。但是塑性形变就不同，由于形变的不可逆性，塑性形变所耗散的应变能也是不可逆的。
图4-4-5 应变能的计算方法示意图（阴影部分面积）
四、材料的力学特性
1．杨氏模量 杨氏模量是指材料在弹性形变阶段，其应力和应变成正比例关系，其比例系数称为弹性模量。杨氏模量是弹性材料的一种最重要、最具特征的力学性质，用E表示。弹性模量（E）可视为衡量材料产生弹性形变难易程度的指标，其值越大，使材料发生一定弹性形变的应力也越大，即材料刚度越大，亦即在一定应力作用下，发生弹性形变越小。
根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，其是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。因此，弹性模量是材料的抗弹性形变的一个量，即反映材料刚度的一个指标。
根据不同的受力情况，分别有相应的拉伸弹性模量（杨氏模量）、剪切弹性模量（刚性模量）、体积弹性模量等。弹性模量是一个材料常数，表征材料抵抗弹性形变的能力，其数值大小反映该材料弹性形变的难易程度。
2．弹性极限 弹性极限的定义为材料受外力（拉力）到某一限度时，若除去外力，材料本身不发生任何永久形变的条件下，材料所能承受的最大应力值。例如，在体外对肌腱做拉伸试验时，当应力达到某一值，肌腱将不会自行恢复原状，此应力值称为弹性极限。若肌腱所承受的应力小于弹性极限，则可以自行恢复原状。
3．屈服强度 材料由弹性形变变为塑性形变的应力，称屈服强度。因此，屈服强度反映的是材料开始发生明显塑性形变时的最低应力值。屈服强度反映了发生屈服现象时的屈服极限，亦即抵抗微量塑性形变的应力。对于无明显屈服的材料，规定以产生0.2%残余形变的应力值为其屈服极限，称为条件屈服极限或屈服强度。
4．泊松比（Poisson ratio） 泊松比是指材料在单向受拉或受压时，横向正应变与轴向正应变的绝对值的比值，也称为横向形变系数，其是反映材料横向形变的弹性常数。
5．各向同性与各向异性材料 如果材料沿每个方向的力学性质均相同，或者说材料关于任意平面对称，这种弹性体称为各向同性材料；反之，即为各向异性材料。例如骨，无论在微观结构还是在力学性质上都是各向异性的。
五、疲劳强度
疲劳强度是指材料在无限次交变载荷作用下而不会产生破坏的最大应力，称为疲劳强度或疲劳极限。实际上，所有的材料并不可能通过无限次交变载荷试验。例如，疲劳性骨折是一种典型的疲劳断裂，其是由低于骨所能承受极限强度的应力长期反复作用于某一位点，使其骨小梁不断发生断裂，通过积累性折裂而出现的。
（陈文明）