任务一 货币时间价值

财务估值是指对一项资产价值的评估。其中，“资产”的范围可以是金融资产、实物资产甚至是一个企业或一个集团；“价值”是指资产的内在价值，即用适当的折现率计算的资产预期未来现金流量的现值，即经济价值或公平价值。它不同于资产在某一特定时点上的账面价值、市场价值和清算价值，它更多是立足于决策的时点考虑资产在一段特定期间的价值表现。所以，财务估值几乎涉及包括投资活动与筹资活动在内的每一项财务决策，是财务管理的核心问题。

如项目一所述，财务管理的理论基础主要有现金流量理论、价值评估理论、风险评估理论、投资组合理论和资本结构理论。其中，现金流量理论和价值评估理论常常结合应用于长期投资和长期筹资等财务管理活动中进行财务估值。财务估值的主流方法是现金流量折现法。该方法涉及的利率、货币时间价值和风险价值等内容，都将在本项目中进行详细阐述。

其中，货币时间价值的影响贯穿于整个财务管理理论体系，包括终值现值的计算、证券与企业的价值评估、筹资资本成本的比较等投资和筹资决策，这要求财务管理活动必须考虑时间因素而形成的价值差额，否则难以解释资本市场上资金价值的变动实质。如果在长期的时间限定下不考虑货币的时间价值和风险价值，是根本无法进行客观的财务估值的。那么，财务决策的质量也就难以保证，财务管理的成效更无从谈起。

现金流量折现法涉及的现金流量，对其准确估计将对财务决策产生重大影响。但是，不同资产的特点导致相应的现金流量存在差异性，所以，关于现金流量的估计内容将在后面的项目中以专项的形式结合具体估值对象进行更加深入的讨论。

一、货币时间价值的概念

（一）货币时间价值的概念

货币时间价值，是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值。

在商品经济中，有这样一种现象，即现在的1元钱和1年后的1元钱其经济价值不相等。现在的1元钱比1年后的1元钱的经济价值要大一些，即使不存在通货膨胀也是如此。例如，将现在的1元钱存入银行，1年后可得到1.10元（假设不考虑通货膨胀和风险下的存款利率为10%）。其中，通过投资增加的0.10元就是货币的时间价值。

货币投入生产经营过程后，其金额随时间持续不断地增长。这是一种客观的经济现象。企业资金循环的起点是投入货币资金，企业用它来购买所需的资源，然后生产出新的产品，产品出售时得到的货币量大于最初投入的货币量。资金的循环以及因此实现的货币增值，需要或多或少的时间，每完成一次循环，货币就增加一定金额，周转的次数越多，增值额就越大。因此，随着时间的延续，货币总量在资金循环中按几何级数增长，形成了货币的时间价值。

（二）货币时间价值的表现形式

由于货币时间价值的客观存在，现在的1元钱与将来的1元多钱甚至是几元钱在经济上是等效的。换言之，在其他条件不变的情况下，现在的1元钱和将来的1元钱，它们的经济价值不相等。那么，考虑到不同时间单位货币的价值不相等的客观事实，不同时间的货币价值是不宜直接统计与比较的。只有把各个时期的现金流量折算到同一个时点上，才能进行价值计算并比较。由于价值的表现形式可以是绝对数，也可以是相对数，所以货币的时间价值也有两种表现形式，具体如下：

货币的时间价值表现形式之一是货币的时间价值额，即货币在生产经营过程中带来的真实增值额，它等于一定数额的投入货币与货币的时间价值率的乘积，常以绝对数表示。例如，1元乘以10%的存款利率后得到的0.1元。

货币的时间价值的另外一种表现形式是货币的时间价值率，即用货币的时间价值额占投入货币的百分数表示。例如，前例中0.1元占1元的10%，即货币的时间价值率为10%。

由上述可知，货币的时间价值的两种表现形式的关系是“货币的时间价值额＝投入货币数额×货币的时间价值率”或“货币的时间价值率＝货币的时间价值额/投入货币”。如果两个等式中无论是“货币的时间价值额”还是“货币的时间价值率”都是未知的，那么根据“投入货币”一个已知变量而想得出货币的时间价值是不可能的事。所以，货币的时间价值的两种表现形式中必须有一个是已知变量，才有可能计算出另一个。在没有给出确定的投资回报的情况下，即在“货币的时间价值额”未知的情况下，“货币的时间价值率”是先要通过一定方法或途径确定下来的已知变量。

理论上，货币的时间价值率是没有风险和没有通货膨胀下的社会平均利润率，即纯粹利率。但是，在实务中，财务活动受到财务管理环境的影响，相应地，用于价值评估的货币的时间价值率也会受到各种因素的综合影响，即可用考虑风险溢价后的利率或报酬率替代。

（三）利率与报酬率

1．利率

（1）利率的概念

利率是指一定时期内利息与本金的比率，通常用百分比表示。利率又称利息率，通常缩写符号为i。其中，利息是资金使用成本或放弃资金使用权所得的补偿。利率的一般公式是：利率＝利息/本金× 100%。利率根据计量的期限不同，表示的方法有年利率、月利率和日利率。利率作为资本的价格，与货币时间价值率一样会受到很多很复杂的因素的影响。

（2）利率的确定方法

在市场经济条件下，由各种因素的综合影响所决定的利率，通常称为“市场利率”，缩写符号为r。例如，市场利率会受到国内外经济发展的状况、物价水平、货币的供给与需求状况、产业的平均利润水平、利率管制、货币政策等因素的影响。综合考虑以上影响因素，市场利率的确定方法表达如下：

市场利率r＝r*+RP＝r*+IP+DRP+LRP+MRP＝rRF+DRP+LRP+MRP

其中：r*——纯粹利率；

RP——风险溢价；

IP——通货膨胀溢价；

DRP——违约风险溢价；

LRP——流动性风险溢价；

MRP——期限风险溢价；

rRF——名义无风险利率。

具体说明如下：

纯粹利率，也称真实无风险利率，是指在没有通货膨胀、无风险情况下资金市场的平均利率，即理论上的货币时间价值率。没有通货膨胀时，短期政府债券的利率可以视作纯粹利率。

通货膨胀溢价是指证券存续期间预期的平均通货膨胀率。投资者在借出资金时通常考虑预期通货膨胀带来的资金购买力下降。因此，在纯粹利率基础上加入预期的平均通货膨胀率，以消除通货膨胀对投资报酬率的影响。

纯粹利率与通货膨胀溢价之和，称为“名义无风险利率”，简称“无风险利率”。假设纯粹利率为4%，预期通货膨胀率为3%，则（名义）无风险利率为7%。政府债券的信誉很高，通常假设不存在违约风险，其利率被视为（名义）无风险利率。

违约风险溢价是指债券发行者在到期时不能按约定足额支付本金或利息的风险。该风险越大，债权人要求的贷款利息越高。对政府债券而言，通常认为没有违约风险，违约风险溢价为零；对公司债券来说，公司评级越高，违约风险越小，违约风险溢价就越低。

流动性风险溢价是指债券因存在不能在短期内以合理价格变现的风险而给予债权人的补偿。国债的流动性好，流动性溢价较低；小公司发行的债券流动性较差，流动性溢价相对较高。流动性溢价很难准确计量。观察违约风险、期限风险均相同的债券，它们之间会有2%～4%的利率差，可以大体反映流动性风险溢价的一般水平。

期限风险溢价是指债券因面临持续期内市场利率上升导致价格下跌的风险而给予债权人的补偿，因此也被称为“市场利率风险溢价”。

2．报酬率

（1）报酬率的概念

报酬率是指一定时期内报酬与资本的比率，通常用百分比表示。其中，报酬可以是债权性的投资回报，如利息，也可以是股权性的投资回报，如利润、股利等，甚至可以是其他可以以货币计量的利益。报酬可以从直接投资获取，也可以从间接投资中获取。相应地，资本可以是用于直接投资的各种资产，如货币资金、固定资产等，也可以是获得债权或股权的资金成本，即本金或投资额。

将报酬率的概念中“报酬”与“资本”分别用“利息”与“本金”替换，此时被缩小范围的报酬率的概念就等同于利率的概念。而货币时间价值是在财务活动中广泛存在的，债券只是其中之一。所以，当研究范围超越债券时，用报酬率比用利率更合适。

（2）报酬率的相关概念

报酬率因报酬与资本所包含的内容不同，即投资的主体、计算的目的和作用不同，还可以衍生出许多相关的概念，主要包括两大类：一类是以财务分析与评价为主的指标；一类是以财务预测与决策为主的指标。

①以财务分析与评价为主的报酬率指标，是指这类指标根据历史数据计算得出，并据此进行分析与评价，是本教材财务报表分析项目中比率分析的主要内容之一。其最常见的报酬率的概念有：

投资报酬率（ROI）：又称为投资的获利能力，是指投资中心通过直接投资而获得的利润占投资资本或现有资产的比重。它是全面评价投资中心各项经营活动、考评投资中心业绩的综合性质量指标。它既能揭示投资中心的销售利润水平，又能反映资产的使用效果。其中，若以企业为投资主体，其概念等同于总资产报酬率；若以股东或企业所有者为投资主体，其概念等同于权益净利率。

总资产报酬率（ROA）：又称为资产所得率，是指企业一定时期内获得的息税前利润与资产平均总额的比率。它表示企业包括净资产和负债在内的全部资产的总体获利能力，用以评价企业运用全部资产的总体获利能力，是评价企业资产运营效益的重要指标。

权益净利率（ROE）：又称为净资产收益率，是企业净利润与平均净资产的比率。其中，净利润是股东或所有者的投资所得，平均净资产是股东或所有者的资本投入，该指标反映所有者权益所获报酬的水平，具有很强的综合性，可用以评价企业的全部经营业绩和财务业绩。

②以财务预测与决策为主的报酬率指标。这类指标是指以现时为研究基点，在考虑风险等影响因素的基础上估计的未来现金流量，并据此计算得出的，常被应用于财务管理中的投资决策。其最常见的报酬率的概念有：

必要报酬率（Required Return）：指人们愿意进行投资（购买资产）所必须赚得的最低报酬率或最低收益率。它是投资人对于等风险投资所要求的收益率，是准确反映未来现金流量风险的报酬。在发行债券时，票面利率是根据等风险投资的必要报酬率确定的；在完全有效的市场中，证券的期望收益率就是它的必要报酬率。在本项目的“任务一”——货币时间价值的计算中有广泛的应用。

期望报酬率（Expected Rate of Return）：指各种可能的报酬率按概率加权计算的平均报酬率，又称为预期值或均值。它表示在一定的风险条件下，期望得到的平均报酬率。在本项目的“任务二”——风险与报酬中与必要报酬率一并有详尽的论述。

内含报酬率（Internal Rate of Return）：又称内部收益率，是指能够使未来现金流入现值等于未来现金流出现值的折现率，即净现值等于零时的折现率。它是一项投资渴望达到的报酬率。该指标越大越好。一般情况下，内部收益率大于或等于基准收益率时，该项目是可行的。在本教材投资决策的项目中将做重点阐述。

综上所述，货币时间价值的计算中的重要参数货币时间价值率i常用证券的利率或各种资产的报酬率替代，这使得货币时间价值不仅可以应用于债券、股票等证券的投资中，也可以应用于资产、项目、企业的投资中。而证券的利率或各种资产的报酬率如何得出，将在本项目的“任务二”中详细阐述。本项目的“任务一”旨在解决货币时间价值的计算问题。

二、单利的计算方法

单利和复利是计算利息的两种不同方法。单利是指只对本金计算利息，而不将以前计息期产生的利息累加到本金中去计算利息的一种计息方法，即利息不再生息。

（一）单利利息

单利利息是指现在的特定资金按单利计算将来一定时间所增加的价值。

计算公式为：I＝P·i·n

式中：I为利息；P为本金，或称为现值；i为利率；n为持有时间。其中，利率i与持有时间n相匹配。

【例2-1】某企业存入银行周转资金1000000元，年利率为5%,3年后的利息是多少？

I＝P·i·n＝1000000×5%×3＝150000（元）

若存入银行仅半年，则利息为：

I＝P·i·n＝100×（5%/12）×6＝1000000×5%×（6/12）＝25000（元）

从上述计算可以看出，利率要与持有时间相配，计算结果才正确。

（二）单利终值

单利终值是指现在的特定资金按单利计算的将来一定时间的价值，或者说是现在的一定本金在将来一定时间按单利计算的本金与利息之和。终值又称本利和，常用F表示。

计算公式为：F＝P+I＝P+P·i·n＝ P·（1+i·n）

【例2-2】承上例，某企业存入银行周转资金1000000元，年利率为5%，按单利计息，3年后的本利和是多少？

F ＝P+I＝P+P·i·n＝ P·（1+i·n）＝1000000+150000＝1000000+1000000×5%×3＝1000000×（1+5%×3）＝1150000（元）

【例2-3】某企业购入国债2500手，每手面值1000元，买入价格1008元，该国债期限为5年，年利率为6.5%（单利），则到期企业可获得本利和多少元？

F＝P·（1+i·n）＝2500×1000×（1+6.5%×5）＝3312500（元）

【例2-4】某人打算在每年年初存入银行10000元以备第三年年末使用。假定存款年利率是6%，单利计息，第三年末将获得本利和多少？

第一年年初存入10000元到期本息和＝10000×（1+6%×3）＝11800（元）

第二年年初存入10000元到期本息和＝10000×（1+6%×2）＝11200（元）

第三年年初存入10000元到期本息和＝10000×（1+6%×1）＝10600（元）

第三年年末本利和＝11800+11200+10600＝33600（元）

（三）单利现值

单利现值是单利终值的对称概念，指未来一定时间的特定资金按单利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定本利和现在所需的本金。常用P表示。

计算公式为：

【例2-5】某企业计划2年后获得存入银行周转资金1100000元，若年利率为5%，按单利计息，该企业现在应存入银行多少钱？

【例2-6】某债券还有3年到期，到期的本利和为153.76元，该债券的年利率为8% （单利），则目前的价格为多少元？

【例2-7】某人打算在每年年初在银行存入一笔相等的资金以备第四年年末获取45000元本息和使用。假定存款年利率是5%，单利计息，则每年年初应存入银行多少钱？

假定每年年初存入的资金额为X元，则

第一年年初存入的资金到期本息和＝X·（1+5%×4）

第二年年初存入的资金到期本息和＝X·（1+5%×3）

第三年年初存入的资金到期本息和＝X·（1+5%×2）

第四年年初存入的资金到期本息和＝X·（1+5%×1）

已知第四年年末本利和为45000元，则

X·（1+5%×4）+ X·（1+5%×3）+ X·（1+5%×2）+ X·（1+5%×1）＝45000

X·［4+5%×（4+3+2+1）］＝45000

X＝10000（元）

相关链接

中国人民银行关于人民币存贷款计结息问题的通知

银发 〔2005〕129号

一、金融机构存款的计、结息规定

（一）个人活期存款按季结息，按结息日挂牌活期利率计息，每季末月的20日为结息日。未到结息日清户时，按清户日挂牌公告的活期利率计息到清户前一日止。

单位活期存款按日计息，按季结息，计息期间遇利率调整分段计息，每季度末月的20日为结息日。

（二）以现行居民储蓄整存整取定期存款的期限档次和利率水平为标准，统一个人存款、单位存款的定期存款期限档次。

（三）除活期存款和定期整存整取存款外，通知存款、协定存款，定活两便、存本取息、零存整取和整存零取等其他存款种类的计、结息规则，由开办业务的金融机构法人（农村信用社以县联社为单位），以不超过人民银行同期限档次存款利率上限为原则，自行制定并提前告知客户。

二、存贷款利率换算和计息公式

（一）人民币业务的利率换算公式为：日利率（‱）＝年利率（%）÷360；月利率（‰）＝年利率（%）÷12。

（二）银行可采用积数计息法和逐笔计息法计算利息。

（三）积数计息法按实际天数每日累计账户余额，以累计积数乘以日利率计算利息。

计息公式为：利息＝累计计息积数×日利率，其中累计计息积数＝每日余额合计数。

（四）逐笔计息法按预先确定的计息公式逐笔计算利息。

计息期为整年（月）的，计息公式为：利息＝本金×年（月）数×年（月）利率

计息期有整年（月）又有零头天数的，计息公式为：利息＝本金×年（月）数×年（月）利率+本金×零头天数×日利率

同时，银行可选择将计息期全部化为实际天数计算利息，即每年为365天（闰年366天），每月为当月公历实际天数，计息公式为：利息＝本金×实际天数×日利率

附件：

存款利息计算方法举例

（一）积数计息法

例：某客户活期储蓄存款账户支取情况如下表，假定适用的活期储蓄存款利率为0.72%，计息期间利率没有调整，银行计算该储户活期存款账户利息时，按实际天数累计计息积数。

应付利息＝（320000+126000+144000+130000）×（0.72%÷360）＝14.4（元）

（二）逐笔计息法

1．计息期为整年（月）的

例：某客户2006年2月28日存款10000元，定期整存整取6个月，假定利率为1.89%，到期日2006年为8月28日。

利息计算选择公式“利息＝本金×年（月）数×年（月）利率”：应付利息＝10000 × 6 × （1.89%÷12）＝94.5（元）

利息计算选择公式“利息＝本金×实际天数×日利率”：应付利息＝10000 × 181 × （1.89%÷360）＝95.03（元）

2．计息期有整年（月）又有零头天数的

例1：某客户2006年7月31日存入10000元定活两便存款，假设客户2007年3月10日全额支取。支取日，银行确定的半年期整存整取利率为1.89%。

假设银行制定的定活两便存款计息规则如下：定活两便存款存期半年以上（含半年），不满一年的，整个存期按支取日定期整存整取半年存款利率打六折计息。

利息计算选择公式“利息＝本金×年（月）数×年（月）利率+本金×零头天数×日利率”：

应付利息＝10000×7×（1.89%×60%÷12）+10000×10×（1.89%×60%÷360）＝69.3（元）

利息计算选择公式“利息＝本金×实际天数×日利率”：应付利息＝10000 × 222 × （1.89%×60%÷360）＝69.93（元）

例2：某客户2006年2月28日定期整存整取6个月10000元，假定利率为1.89%，到期日为2006年8月28日，支取日为2006年11月1日。假定2006年11月1日，活期储蓄存款利率为0.72%。

原定存期选择公式“利息＝本金×年（月）数×年（月）利率”；逾期部分按活期储蓄存款计息。利息计算如下：

应付利息＝10000×6×（1.89%÷12）+650000×（0.72%÷360）＝107.5（元）

原定存期选择公式“利息＝本金×实际天数×日利率”；逾期部分按活期储蓄存款计息。利息计算如下：

应付利息＝10000×181×（1.89%÷360）+650000×（0.72%÷360）＝108.03（元）

三、复利的计算方法

复利是指每经过一个计息期，都要将所生利息加入本金再计利息，逐期滚算，俗称“利滚利”。这里所说的计息期，是指相邻两次计息的时间间隔，如年、月、日等。除非特别指明，计息期为1年。

如前所述，货币时间价值是货币总量随着时间的延续在资金循环中按几何级数形成的增值，即每次资金循环所发生的增值都会投入到新一轮的资金循环中获取更多的增值。显然，复利的计算方法是更符合货币时间价值的概念。

（一）复利终值和现值

1．复利终值

复利终值是指现在的特定资金按复利计算的将来一定时间的价值，或者说是现在的一定本金在将来一定时间按复利计算的本利和，常用F表示。其中，利息也要计算利息，因此，在其他条件均相同的情况下，按复利计息方式计算的终值要大于按单利计算的终值。

计算公式为：F＝P·（1+i）n＝ P·（F/P, i, n）

式中：F为终值；P为本金，或称为现值；i为报酬率或利率；n为计息期。

上式是计算复利终值的一般公式，其中的（1+i）n被称为复利终值系数或1元的复利终值，用符号（F/P, i, n）表示。例如，（F/P,6%,3）表示利率为6%的3期复利终值的系数。为了便于计算，可查“复利终值系数表”（见本教材附录一）：该表的第一行是利率i，第一列是计息期n，相应的（1+i）n值在其纵横相交处。通过该表可查出（F/P, 6%,3）＝1.191。在时间价值为6%的情况下，现在的1元和3年后的1.191元在经济上是等效的，根据这个系数可以把现值换算成终值。

该表的作用不仅在于已知i和n时查找1元的复利终值，而且可在已知1元复利终值和n时查找i，或已知1元复利终值和i时查找n。

【例2-8】某人将10000元投资于一项事业，年报酬率为6%，经过2年时间，其期末金额为多少？

F ＝［P·（1+i）］·（1+i）＝P·（1+i）2＝10000×（1+6%）2＝10000×1.1236＝11236（元）

【例2-9】企业投资某基金项目，投入金额为1000000元，该基金项目的投资年收益率为12%，投资的年限为8年，如果企业一次性在最后一年收回投资额及收益，则企业最终可收回多少资金？

F ＝P·（1+i）n＝P·（F/P, i, n）＝P·（1+12%）8＝P·（F/P,12%,8）＝1000000×2.476＝2476000（元）

2．复利现值

复利现值是复利终值的对称概念，指未来一定时间的特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定本利和现在所需的本金，常用P表示。

计算公式为：P＝F·（1+i）-n

上式中的（1+i）-n是把终值折算为现值的系数，称为复利现值系数，或称作1元复利现值，用符号（P/F, i, n）来表示。例如，（P/F,10%,5）表示利率为10%时5期的复利现值系数。为了便于计算，可查询“复利现值系数表”（见本教材附录二），方法同上。特别地，由复利终值和现值的公式可以看出，复利终值系数与复利现值系数互为倒数。那么，在求复利现值系数时只有“复利终值系数表”可查询时，可以先查出复利终值系数在计算其倒数即可；同理，复利终值系数可通过查询“复利现值系数表”后求倒数的方法求得。

【例2-10】某酒店期望3年后获得200000元用于店面升级改造，年报酬率为20%，该酒店现在应投入多少资金？

P＝F·（1+i）-n＝200000×（1+20%）-3＝200000×0.5787＝115740（元）

（二）报价利率和有效年利率

复利的计息期间不一定是一年，有可能是季度、月份或日。在复利计算中，如按年复利计息，一年就是一个计息期；如按季复利计息，一季就是一个计息期，一年就有四个计息期。计息期越短，一年中按复利计息的次数就越多，每年的利息额就会越大。这就需要明确三个概念：报价利率、计息期利率和有效年利率。

1．报价利率

银行等金融机构在为利息报价时，通常会提供一个年利率，并且同时提供每年的复利次数。此时金融机构提供的年利率称为报价利率，有时也称为名义利率。在提供报价利率时，必须同时提供每年的复利次数（或计息期的天数），否则意义是不完整的。

2．计息期利率

计息期利率是指借款人对每1元本金每期支付的利息。它可以是年利率，也可以是半年利率、季度利率、每月或每日利率等。

计息期利率＝报价利率/每年复利次数

【例2-11】本金1000元，投资5年，年利率8%，按季度付息，则：

每季度利率＝8%÷4＝2%

复利次数＝5×4＝20

F＝1000×（1+2%）20＝1000×1.4859＝1485.9（元）

3．有效年利率

在按照给定的计息期利率和每年复利次数计算利息时，能够产生相同结果的每年复利一次的年利率称为有效年利率，或者称为等价年利率。

假设每年复利次数为m：

显而易见，当m＞1时，有效年利率＞报价利率；当m＝1时，有效年利率＝报价利率；当m＜1时，有效年利率＜报价利率。

由以上结论可以轻松推断，上例中的m＝4，其有效年利率高于报价利率8%。

而有效年利率的具体数值则需要通过内插法和公式法两种计算方法求得。其中，公式法即运用上述计算公式；内插法主要用于估计利率i与计息期n，实际上就是比例法。当内插法应用于利率（折现率）的估计时，其计算公式为：。其中：

i对应的复利（或年金）现值（或终值）系数为B；

在复利（或年金）现值（或终值）系数表中，在计息期n相同的情况下，B2、B1为以B为中位数紧密相邻的系数；

i2、i1为B2、B1对应的利率（折现率）。

现用两种计算方法进行有效年利率的计算。

方法一：

代入公式：F＝P·（1+i）n，即：1485.9＝1000×（1+i）5，则：

（1+i）5＝1.4859，即：（F/P, i,5）＝1.4859

按计息期为5，查“复利终值系数表”中最接近1.4859的复利终值系数，得：

（F/P,8%,5）＝1.4693; （F/P,9%,5）＝1.5386

用内插法求利率（折现率），则有效年利率：，有效年利率i＝8.24%

方法二：

代入公式：

有效年利率＝（F/P,2%,4）-1＝1.0824-1＝8.24%

显然，在有效年利率的计算中，公式法比内插法的计算更加简便。但是，有效年利率公式法并不能完全取代内插法，因为内插法不仅可以用以估计有效年利率，还可以估计其他形式的利率i；不仅可以结合复利现值（或终值）系数表，还可以结合年金现值（或终值）系数表；亦可用于估计计息期n，其应用范围较有效年利率公式法更加广泛。

当内插法应用于计息期n的估计时，其计算公式为：。其中：

n对应的复利（或年金）现值（或终值）系数为B；

在复利（或年金）现值（或终值）系数表中，在利率i相同的情况下，B2、B1为以B为中位数紧密相邻的系数；

n2、n1为B2、B1对应的计息期（期限）。

【例2-12】某人将50000元存入银行，按复利计算，利率为5%，若要获得本利60000元，需要几年的时间？

F＝P·（F/P, i, n），即：60000＝50000×（F/P,5%, n），则：B＝（F/P,5%, n）＝1.2；

n1＝3; B1＝（F/P,5%,3）＝1.1576; n2＝4; B2＝（F/P,5%,4）＝1.2155。

根据，则;n＝3.73

（三）年金终值和现值

年金是指在一定时期内，等额的系列收支。在实务中，年金的现象十分普遍，例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款等，都属于年金收付形式。按照收付时点和方式的不同可以将年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金等四种。

1．普通年金终值和现值

普通年金又称后付年金或期末年金，是指各期期末收付的年金。普通年金的收付形式如图2-1所示：

图2-1中，横线代表时间的延续，用数字标出各期的顺序号；竖线的位置表示收付的时刻，箭头指向的A代表收付的相等金额，即年金。

（1）普通年金终值与偿债基金

①普通年金终值

普通年金终值是指普通年金最后一次收付时的本利和，它是每次收付的复利终值之和。n期的普通年金终值的计算如图2-2所示：

设每期期末的收付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的普通年金终值F为：F＝A+A·（1+i）+A·（1+i）2+A·（1+i）3+…+ A·（1+i）n-1

等式两边同乘（1+i）:（1+i）·F＝A·（1+i）+A·（1+i）2+A·（1+i）3+…+A·（1+i）n

上述两式相减：（1+i）·F-F＝A·（1+i）n-A

通过合并同类项和简单的数学运算，等式左边仅留F，即可得计算公式：

式中的是普通年金为1元、利率为1、经过n期的年金终值系数，记作（F/A,i,n）。可据此查阅“年金终值系数表”（见本教材附录三），方法同上。

【例2-13】某人每年年末投保金额为2400元，投保年限为25年，在投保收益率为8%的条件下，在第25年年末可得到多少现金？

②偿债基金

偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每期末应收付的年金数额。

根据普通年金终值计算公式

可知：

式中的是普通年金终值系数（F/A, i, n）的倒数，称偿债基金系数，记作（A/F, i, n）。它可以把普通年金终值折算为每期期末需要收付的金额。偿债基金系数可以制成表格备查，亦可根据普通年金终值系数计算倒数的方式确定。

【例2-14】拟在5年后还清10000元债务，从现在起每年年末等额存入银行一笔款项。假设银行存款利率为10%，按复利计算，则每年需要存入多少元？＝F/（F/A, i, n）＝10000÷（F/A,10%,5）＝10000÷6.1051

≈1637.98（元）

每年年末在银行等额存入1637.98元，5年后可得10000元，用来还清债务。

（2）普通年金现值与资本回收额

①普通年金现值

普通年金现值是指为在每期期末收付相等金额的款项，现在需要投入或收取的金额。n期的普通年金现值的计算如图2-3所示。

设每期期末的收付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的普通年金现值P为：P＝A/（1+i）+A/（1+i）2+A/（1+i）3+…+ A/（1+i）n

等式两边同乘（1+i）:（1+i）·P＝A+A/（1+i）+A/（1+i）2+A/（1+i）3+…+ A/（1+i）n-1

上述两式相减：（1+i）·P-P＝ A-A/（1+i）n

通过合并同类项和简单的数学运算，等式左边仅留P，即可得计算公式：

式中的是普通年金为1元、利率为i、经过n期的年金现值系数，记作（P/A,i,n）。可据此查阅“年金现值系数表”（见本教材附录四），方法同上。

【例2-15】某企业2008年年初投资并投产于某项目，该项目从2008年至2017年每年年末获得收益200000元，假定报酬率为20%，计算为了获得各年的收益，2008年年初应投资的现值金额。

②资本回收额

资本回收额是指在给定的期限内，每期期末等额收回或清偿初始投入的资本或所欠的债务的年金数额。

根据普通年金现值计算公式

可知：

式中的是普通年金现值系数的倒数，称资本回收系数，记作（A/P, i, n）。它可以把普通年金现值折算为每期期末需要收付的金额。资本回收系数可以制成表格备查，亦可根据普通年金现值系数计算倒数的方式确定。

【例2-16】假设以10%的利率借款20000元，投资于某个寿命为10年的项目，每年至少要收回多少现金才是有利的？

根据普通年金现值的计算公式可知：

因此，每年至少要收回现金3254.90元才能还清贷款本利。

2．预付年金终值和现值

预付年金是指在每期期初收付的年金，又称即付年金或期初年金。预付年金的支付形式如图2-4所示：

（1）预付年金终值

普通年金终值是指预付年金最后一次收付时的本利和，它是每次收付的复利终值之和。n期的普通年金终值的计算如图2-5所示：

如图可知，n期预付年金与n期普通年金的收付款次数相同，只是将普通年金第n期期末收付的年金调整到第一期期初（或第零期期末），其他不变。那么，可以将n期预付年金看作比n+1期普通年金在最后一期期末少收付一次年金，则n期预付年金终值比n期普通年金终值多一期计息期，而少一次年金，其计算公式为：

或者，亦可通过数学推导的方式得出计算公式，即：

设每期期初的收付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的普通年金终值F为：F＝A·（1+i）+A·（1+i）2+A·（1+i）3+…+A·（1+i）n

等式两边同除以（1+i）:F/（1+i）＝A+A·（1+i）+A·（1+i）2+A·（1+i）3+…+A·（1+i）n-1

上述两式相减：F-F/（1+i）＝A·（1+i）n-A

通过合并同类项和简单的数学运算，等式左边仅留F，即可得计算公式：

式中的是预付年金终值系数，或称1元的预付年金终值。它和普通年金终值系数相比，期数加1，而系数减1，可记作［（F/A, i, n+1）-1］，并可利用“年金终值系数表”查得（n+1）期的值，减去1后得出1元预付年金终值。

承前例2-13，某人改于每年年初投保的金额为2400元，其他条件不变，则在第25年年末可得到多少现金？

方法一：

方法二：

F ＝A·［（F/A, i, n+1）-1］＝2400×［（F/A,8%,26）-1］＝2400×（79.954-1）＝189489.6（元）

（2）预付年金现值

预付年金现值是指为在每期期初收付相等金额的款项，现在需要投入或收取的金额。n期的预付年金现值的计算如图2-6所示。

如图可知，n期预付年金与n期普通年金的收付款次数相同，只是将普通年金第n期期末收付的年金调整到第一期期初，其他不变。那么，可以将n期预付年金看作比n-1期普通年金在第一期期初多收付一次年金，则n期预付年金现值比n期普通年金现值少一期计息期，而多一次年金，计算公式为：

或者，亦可通过数学推导的方式得出计算公式，即：

设每期期末的收付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的普通年金现值P为：P＝A+A/（1+i）+A/（1+i）2+A/（1+i）3+…+ A/（1+i）n-1

等式两边同除以（1+i）:P/（1+i）＝A/（1+i）+A/（1+i）2+A/（1+i）3+…+ A/（1+i）n

上述两式相减：P-P/（1+i）＝ A-A/（1+i）n

通过合并同类项和简单的数学运算，等式左边仅留P，即可得计算公式：

式中的是预付年金现值系数，或称1元的预付年金现值。它和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1，可记作［（P/A, i, n-1）+1］，并可利用“年金现值系数表”查得（n-1）期的值，加上1后得出1元预付年金现值。

【例2-17】6年分期付款购物，每年年初付200元，设银行利率为10%，该项分期付款相当于一次现金支付的购价是多少？

P ＝A·［（P/A, i, n-1）+1］＝200×［（P/A,10%,5）+1］＝200×（3.7908+1）＝958.16（元）

3．递延年金终值和现值

递延年金是指第一次收付发生在第二期及以后的年金。递延年金的收付形式如图2-7所示。从该图中可以看出，前四期没有发生收付。一般用m表示递延期数，本例的m＝4。第一次收付在第五期期末，连续收付3次，即n＝3。

（1）递延年金的终值

递延年金终值计算与递延期m无关，其计算方法和普通年金终值类似。

计算公式：F＝A·（F/A, i, n）

【例2-18】如图2-7, m＝4, n＝3，若i＝10%, A＝100元，则该递延年金终值是多少？

F＝A·（F/A, i, n）＝100×（F/A,10%,3）＝100×3.31＝331（元）

（2）递延年金的现值

递延年金的现值计算方法有两种：

第一种方法，是把递延年金视为n期普通年金，求出其在收付期期初或递延期期末m时点的现值，然后对此现值按复利现值的计算方法求出在递延期期初0时点的现值即可。

计算公式：P＝A·（P/A, i, n）·（P/F, i, m）

第二种计算方法，是假设递延期间也进行收付，先按照年金现值计算方法求出（m+n）期的年金现值，然后扣除按照年金现值计算方法计算的递延期间m未收付的年金现值即可。

计算公式：P＝A·（P/A, i, m+n）-A·（P/A, i, m）

【例2-19】如图2-7, m＝4, n＝3，若i＝10%, A＝100元，则该递延年金现值是多少？

方法一：P ＝A·（P/A, i, n）·（P/F, i, m）＝100·（P/A,10%,3）·（P/F,10%,4）＝100×2.4869×0.683≈169.86（元）

方法二：P ＝A·（P/A, i, m+n）-A·（P/A, i, m）＝100·（P/A,10%,7）-100·（P/A,10%,4）＝100×4.8684-100×3.1699＝169.85（元）

【例2-20】某人想从银行贷款，年利率为10%，规定前5年不用归还本息，但从第6年开始至第15年的每年年末偿还本息10000元，则这笔贷款的现值是多少？

方法一：P ＝A·（P/A, i, n）·（P/F, i, m）＝10000·（P/A,10%,10）·（P/F,10%,5）＝10000×6.1446×0.6209≈38151.82（元）

方法二：P ＝A·（P/A, i, m+n）-A·（P/A, i, m）＝10000·（P/A,10%,15）-10000·（P/A,10%,5）＝10000×7.6061-10000×3.7908＝38153（元）

4．永续年金

无限期定额支付的年金，称为永续年金。永续年金没有终止的时间，也就没有终值。现实中的存本取息，可视为永续年金的例子。

永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式导出：

当n→∞时，（1+i）-n的极限为零，故上式可写成：

【例2-21】如果1股优先股，每年分得股息2元，而利率是每年6%。对于一个准备买这种股票的人来说，他愿意出多少钱来购买此优先股？

若是每季分得股息2元，则：≈133.33（元）

【例2-22】某校拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10000元奖学金。若利率为10%，现在应存入多少钱？

复习与思考：

1．为什么说复利比单利更符合货币时间价值的概念？

2．复利终值系数与复利现值系数互为倒数吗？年金终值系数与年金现值系数互为倒数吗？

3．若m+n期的递延年金，其中n期都是预付年金的形式，请问与n期都是普通年金的终值与现值有何不同？