五、数理逻辑与数理哲学
罗素宣称：“我曾对现代分析经验论建立了一个不同于洛克、贝克莱和休谟的纲领，因它是与数学以及强大逻辑技术的发展相联系的。”[161]不过，1956年，罗素在《记忆中的画像》一书中，对哥德尔（Gdel）的不可判定性定理（Theorems of Undecidability）作了以下说明：
罗素从小就对数学有着特殊的爱好，自始至终都陶醉于研究数学基础问题。
当今的剑桥在各个学科都有长足的发展，但数学直到19世纪早期一直是它的最强项。当时数学为全体学生的必修课，而在所有学科中它的毕业考试是最难的，因此造就了英国科学史上几个最响亮的名字，如凯尔文爵士、乔治·斯托克斯和詹姆斯·克拉克·麦克斯韦。由于学生并非喜欢数学而是为了混学分才学习它，故像哈代那样不少剑桥的著名学者反对这项制度。与那些学生不同，罗素却是真正热爱数学才来到剑桥的。罗素获得数学毕业考试（Tripos）甲等（Wrangler）第七名后，三一学院院长巴特勒在1893年6月13日给他的信中写道：“我无法表达这次大胜利使我们感到多么兴奋。正好33年前，我在哈罗公学（Harrow）把拉丁文作文第五级奖放于令尊手中；眼下，我向他的公子与他的母亲祝贺数学上的突出成绩，而它在学院将得到高度评价。我们知悉你的数学才能，但我们也清楚你并未全心投入数学，而是将大部分努力用在另外一些可能更重大的学科上。倘若这会严重降低你的数学水平，我当然对此感到遗憾。然而我理解到这会有充分的补偿。现在我们只有愉快的祝贺，你将平顺地对待道德科学考试与研究员资格，而不必顾虑你所留下的数学废品。我十分荣幸给罗素夫人和斯坦利夫人写上几行，这对她们两位将是愉快的一天。”
在来剑桥大学之前，罗素对哲学已经感兴趣。他最热望为数学为真的假设找出理由。穆勒的《逻辑》在这方面的论证有着某些缺陷，但他的数学教师从未显示任何理由去假设微积分并非一套谬误，因此他受到两个问题的困扰：一是哲学问题，另一是数学问题。数学问题在欧洲大陆大体上已经得到解决，尽管英国对那里的工作几乎毫无所知。只有离开剑桥，开始在国外生活之后，罗素才发现那些作为本科生本应在三年大学期间就应传授的知识。然而，哲学又当别论。在英国，罗素结识过一个远房亲戚，即在莫顿学院教哲学并作为布拉德雷朋友的哈罗德·乔基姆，后者的妹妹是罗素的叔叔罗洛的太太。罗素在网球集会一类的场合时不时遇到他。在罗素的请求下，乔基姆为他列了哲学必读的很长的书目。一有余暇，罗素就充满热情地攻读哲学。到了大学四年级，他已读过多数大哲的著作以及大量数理哲学的书。罗素经常得到沃德提供的有关新书，但每次还书时，他蔑称那些都是坏书，他还记得沃德那种失望的表情，并感到后者为了满足他所做的不断努力。直到罗素成为研究员后，从沃德那里得到其本人都未读过也不认为有什么价值的两本小册子：一是康托尔的《集合论》，另一是弗雷格的《概念演算》。“这两本书最终给了我所需的要旨，但对弗雷格的书，我只是在许多年后才弄清它的意义。的确，直到我自己独立发现它所包含的大部分内容后，才真正理解它。”[163]
早在1897年，罗素就完成了他的第一部数学专著《论几何学基础》。1906年是罗素学术思想的一个转折点。他在巴黎国际哲学会议上，受到了匹阿诺（Peano）符号逻辑的启发，认为它有可能以数学特有的精确性来解决哲学的难题。罗素创立了用符号来表示关系的方法，并与怀特海合作建立了级数、基数、序数的定义，试图把算术还原为逻辑。
1901年，罗素发现了以他的名字命名的悖论，引起了所谓第三次数学危机，促使人们对数学基础问题进行深入一步研究，从而推动了人类认识的发展。不久，罗素提出了逻辑类型论，为解决悖论做出了卓有成效的尝试。1903年，罗素独自发表了一卷本《数学原理》，建立了逻辑主义学派。接着，他又和怀特海合作，经过10年的艰苦劳动，写成了三卷巨著《数学原理》，这在数学史上是一个重要的里程碑。正像罗素自己所说的，他的黄金年华都倾注在这部巨著上了。
罗素总结了前人在数理逻辑上的成就，创立了一个十分丰富的逻辑公理系统，为数学的严格化作了有益的工作，扩大了逻辑的研究范围，使得推理的功用超过了三段论。他陈述了逻辑演算的内容，进一步研究了事物的类、关系、基数、序数、级数，较之亚里士多德的逻辑，在某些方面要严密、系统、精确得多，甚至可以根据它来分析某些旧形式逻辑所无法解决的复杂问题。
罗素的数学观是与哲学紧密联系在一起的。年轻时，他就发现康德与经验主义者都不能令人满意，他既不喜欢先验的综合，也不认为算术来自经验归纳。罗素把数学基础和数理逻辑看作是自己哲学的最重要的科学前提，他试图把数学和数理逻辑当作严格的科学方法，用来研究哲学，甚至他的分析方法也直接来自纯粹数学和数理逻辑的某些内容。在他看来，数学能使哲学中的许多令人困惑之处被耐心和明晰的思维所澄清。
当然，罗素也有他所面临的困境，这就是他一方面把整个数学都归于逻辑，另一方面又认为这种方法的严格就在于它含有真实度很高的“先天的知识”，或者说是一种先验的演绎系统。所以，人们在探讨世界时，也要定出与公理、公设、基本概念和命题相当的东西，由此再一步步推导和构造整个世界。1934年，由于数学上的成就，他获得了英国皇家学会的西尔威斯特奖和皇家数学会的德摩根奖。
著名科学哲学家图尔敏（Stephen Toulmin）[164]指出，科学理论结构中的每一种传统，都因满足某种需求而产生。一旦这种传统发生某种阻碍作用，便会遭到摒弃。因此，当科学哲学家们按照传统构造了公理演算一类的科学理论，并依据对应规则对这种理论的术语和陈述进行观察性解释时，就必须设想这种公理模型是否完全符合这个基本原则。于是，人们就会问：（1）这个传统是什么时候和怎样产生的？（2）近来对公理模型的不满是否表明了它对科学哲学只起阻碍作用而不能起促进作用？在图尔敏看来，要回答这两个问题，必须首先理清科学哲学运用公理途径的来龙去脉，然后才能考虑改变当前公理模式会出现何种结果，也就是是否会与科学理论发生矛盾。这里所讲的“传统”其实是一种非常新的传统，即19世纪后半叶开始的公理化系统或公理模型化运动。虽然这个传统一直在科学哲学中占据中心位置，但也决不意味着哲学家对它的意义看法一致。图尔敏认为：“第一次世界大战后，马赫（E.Mach）的逻辑历史批判和经验主义认识论、罗素（B.Russell）的符号逻辑以及爱因斯坦的相对论物理学等在维也纳的汇合，是传统科学哲学发展的一个关键时期。这种哲学思潮的盟友们从一开始就对加盟有不同动机和不同做法。”[165]例如，所有支持公理模型的人都一直把赫兹（H.R.Hertz）的《力学原理》当作一个范例，因为它始终是模型应用方面的最彻底和最有启发性的理论之一。在哲学上，正如他的老师赫尔姆霍茨（H.L.F.Helmholtz）和他的继承人维特根斯坦（L.Wittgenstein）与卡西勒（E.Cassirer）一样，赫兹与其说是一位休谟式的经验主义者，不如说是一位康德主义者。他把力学理论归结为公理演算并对此加以物理解释，其用意是相当有启发性的。因而为区分理论力学所涉及的直接经验与其一般形式或连接模式，即“模型”或“描述”特征提供了一种比较有效的方法。对此，赫兹声称，只有用这种方法，才有可能清除阻碍19世纪物理学关于力的性质的种种臆测。与维特根斯坦在《逻辑哲学论》中的看法如出一辙，赫兹并不关心对模型所持的认识论立场，并反对把力学的理论术语或陈述归结为从逻辑和认识论上由感官观察或记录判断的派生之物。
为此，图尔敏进一步揭示：作为马赫的直接继承者，维也纳学派哲学家们和英国的罗素都希望科学中的公理模型能将马赫的新休谟主义冠以“科学认识论”的美名。有关“传统”科学哲学的一些主要论题都回复到了这种马赫认识论纲领，例如夏佩尔（D.Shapere）所竭力攻击的“理论”与“观察”之间的区别。对于崇奉这种科学哲学“传统”纲领的逻辑实证（经验）主义者来说，观察材料总是“坚实可靠的”、特殊的，从认识论的角度来说又都是最基本的。在他们看来，对比之下，理论知识始终是派生的、一般的和“软弱无力的”。不过，对于像赫兹那样的康德主义者而言，“理论”与“观察”之间的区别完全可以通过其他途径得出结论。在他看来，运动的经验问题可以用力学形式来陈述，但必须在先于模型或描述的范围之内，用被定义的理论术语陈述出来。物理学的经验材料本身就已经是普遍的和有联系的，而并非能够从特殊感觉材料或观察陈述之中“构造”理论的普遍术语和陈述。图尔敏将传统的科学哲学分为两部分，即罗素一类的数理逻辑符号主义与统一科学运动的方法论纲领。它们在原则上为其全部实证科学知识奠定了认识论的基础，并希望通过进一步增添基本术语、假设和对应规则，使一切真正的科学分支结合成一个单一的公理系统。由于在符号逻辑的形式化中，尤其是低阶函数演算中，这个系统的核心得到了最佳描述，因此整个系统也可以用同样的方式进行处理。公理化模型不只是有助于发现的价值或认识论的价值，而且已经成为必须采用的形式来阐述统一的科学理论或世界观。[166]