第四章    量子理论

物质的可分性是和希腊人一样古老的一个假设，而且绝不同我们的精神习惯相抵触。物质是由电子和质子构成的这一理论，因其有效的简洁性而显得优美，但又不难想象或相信。伴随着这种可分性，它以别的方式被引入了量子理论。这可能不会让毕达哥拉斯吃惊；但极其肯定的是，它会让后来的每一位科学家吃惊，就像它让我们现今时代的科学家吃惊一样。在尝试着得到一种关于物的哲学以前，有必要理解这个理论的一般原理；但不幸的是，仍有一些与其相联系的尚未解决的物理学问题，这些问题使得一种关于这个主题的令人满意的哲学不可能马上构建起来。不过，我们必须做我们所能做的。

众所周知，量子是由普朗克于1900年在研究黑体辐射时首次引入的。普朗克表明，当我们考虑构成一个物体上的热的振动时，这些振动并不是根据通常的支配随机分布的频率定律而沿着所有可能的值分布的，相反地，它们维系于某一定律。假如ϵ是一次振动的能量，并且ν是其频率，那么就存在某个常数h，^注7即公认的普朗克常数，并且ϵ/ν是h，2h，3h，或h的某个其它的小的整倍数。伴有其它数量的能量的振动并不出现。人们不知道它们不出现的理由；迄今为止，这仍是一个棘手的事实。起初，这个事实是孤立的。但现在，人们发现普朗克常数包含在各种各样的其它现象中；事实上，对于任何一种观察，只要它是足够细致的，我们就有可能发现其中是否包含这样的常数。

人们发现，量子理论的另一个领域是在光电效应中。这种效应由金斯描述如下^注8：

“这种现象的一般特征已被充分认识。一段时间以来，人们知道，高频光入射到一种带负电的金属的表面时容易导致放电，尽管赫兹表明，光入射到一种不带电的导体上时会使其获得一种正电荷。这些现象完全决定性地被表明是依赖于金属表面的电子的发射的，那些电子因光的入射而以某种方式获得了自由。

“在任何具体的实验中，单个电子离开金属的速度具有从零到某一最大速度v之间的全部的值；此最大速度依赖于具体实验的条件。人们没有发现哪个电子离开金属的速度会大于这个最大值v。似乎可能的是，在任何一次实验中，所有电子在开始时都是以相同的速度v被发射出去的，但来自表面以下一小段距离内的那些电子在出离表面时部分地丧失了其速度。

“如果不考虑金属体表面上诸如杂质薄片这类令人不安的影响，那么最大速度v只依赖于金属的性质及入射光的频率似乎就是一条一般法则。它不依赖于光的强度，而且在使实验能得以进行的温度范围内，它也不依赖于金属的温度。……对于特定的金属，这个最大速度随着光的频率的提高而有规则地增加，但也存在着某一频率，在此频率以下光的发射根本不会发生。”

1905年，爱因斯坦^注9最先依据量子对这一现象进行了解释。当频率为ν的光落到导体上时，我们就可看到，光从其原子中分离出来的一个电子所吸收的总能量是hν的大约六分之五，这里的ν是普朗克常数。可以假定，另外的六分之一被原子吸收了，因此原子和电子恰好共同吸收了一个量h。当光处于低频以至于hν不足以释放一个电子时，光电效应就不会产生。已有人尝试过做出不包含量子的解释，但似乎没有一种解释能够说明这些实验材料。

另一个被发现有必要用量子假说来解释的领域，是低温状态下的固体比热。根据先前的理论，用比热（在恒定的体积中）乘以原子量，应该得到一个恒定的值5.95。事实上，人们发现，这在高温情况下是极近于正确的，但在低温情况下，该数值随着温度的降低而变得更小。由德拜所提出的对这一事实的解释，极其类似于普朗克对黑体辐射事实的解释；而且正像在那种情况下一样，在不求助于量子的情况下获得一种令人满意的理论，似乎是明显不可能的。^注10

量子理论最有趣的应用，是玻尔对元素的线状光谱的解释。人们从经验上发现，以前所知道的氢光谱的谱线拥有某些根据下述公式从两个“谱项”之差而获得的频率：

这里，ν是频率，R是“里德伯常数”，n和k是小的整数， 和 是所谓的“谱项”。发现这个公式以后，与其相符的新谱线又被找到了。先前被归于氢并与上述公式不相符的某些谱线，被玻尔归于离子化了的氦；它们通过如下公式被给出：

方程（1）的形式使玻尔想到，一条氢光谱线不会被视作处于周期性振动状态中的原子所发射的某种东西，而应是从与一个整数相联系的状态向与另一个整数相联系的状态的变化之产物。假如电子的轨道并不是某种因牛顿原理才成其为可能的寻常轨道，而只是与一个完整的“量子数”即h的一个倍数联系在一起的轨道，那么这就会得到解释。

在这些方针的基础上，玻尔成就了自己的理论；他所采用的方式如下所述。他假定，电子只能在某些环线上绕原子核转动，而且这些环线具有这样的特点，即假如p是任一轨道的动量矩，我们将拥有：

2πp=nh……………………（2）；

现在，假如m是电子的质量，a是其轨道的半径，并且ω是其角速度，那么我们有：

p=ma²ω。

因此，2πma²ω=nh……………………（3）。

maω²=e²/a²

即ma³ω²=e^{2……………………………}（4）。

从方程（3）和（4），我们得到：

在上述计算a的公式中，通过令n=1，2，3，4，…，就得到了电子的各种可能的轨道。因而，最小的可能的轨道是：

并且，其它可能的轨道是4a₁，9a₁，16a₁，等等。

对于一个半径为n²a₁的轨道上的能量，因为势能是动能负值的两倍，^注11所以根据方程（5），我们有：

这种能量被假定是以光波形式辐射出去的，且光波的能量是一个能量子hν，这里的ν是其频率。因此，我们通过下面的方程得到了被发射的光的频率：

威尔逊^注12和索末菲推广了玻尔的理论，使其也适应于椭圆形轨道：这些轨道有两个量子数，一个——就像以前一样——对应于角动量或动量矩（根据开普勒第二定律，这是一个常数），另一个依赖于离心率。只有某些离心率是可能的；事实上，较小的和较大的轴之间的比率始终是有理数，并且以对应于动量矩的量子数作为其分母。为了解释塞曼效应（出现于磁场中的），我们使用了第三个量子数，该量子数对应于磁场平面与电子轨道平面之间的角度。然而，在任何情况下都存在一个一般原理；我们现在就必须解释这个原理。这也将表明，为什么在玻尔的理论中，量子方程（2）会以它所采取的形式出现。^注13

有待观察的第一件事情是，量子原理确实与作用量原子而非能量原子有关：作用量等于能量乘以时间。现在假定我们拥有一个依赖于几个坐标的系统，并且每一个坐标都是周期性的。没有必要假定每一个坐标都有同一种周期：只需假设这个系统是“有条件地周期性的”——也就是说，每个坐标都独自地具有周期性。我们必须进一步假定，所选定的坐标允许“变数分离”（关于“变数分离”，参见索末菲，前文所引之书，第559—560页）。那么，我们把与坐标q_k相联系的“动量”（在一种推广了的意义上）定义为关于的动能的偏微分——也就是说，如果把推广了的动量称为p_k，那么我们令：

上述原则是极其复杂的，甚至比其在我们的概述中所表现出来的更复杂——我们在概述中省略了各式各样的困难。其复杂性可能源于这样的事实，即量子力学不得不奋力冲过经典体系以自己的方式所设置的那些障碍；也可能，量子现象最终被证明是可以从经典原理中演绎出来的。但在追寻这样的思想路线之前，说一说索末菲及其他人对玻尔理论的发展也许是合适的。

玻尔的理论最初假定轨道是圆的，它解释了与氢及离子化了的氦的线状光谱有关的主要事实。但是，许多细微的事实要求人们假定轨道是椭圆的：有了这样的假定，再加上相对论本身所具有的一些精妙之处，人们就在理论与观察之间获得了最严密的一致。但是，这种巨大的成功或许会使人们认为，将被证实的东西比实际已被证实的东西更多。因承认轨道是椭圆的而带来的巨大好处在于，这些轨道将提供另一个量子数。原子在发射光时，我们所拥有的东西本质上如下所述：原子能够拥有各种各样的状态，这些状态是通过一些整数（量子数）而得到刻画的。依系统的自由度，可以存在或多或少的量子数。当原子从一组量子数的值所刻画的状态过渡到另一组量子数的值所刻画的状态时，能量的丧失或获得是已知的。当能量丧失（而电子或原子核的任何部分都未丧失）时，它是以光波形式离开的；而光波的能量就是原子所失去的能量，并且它乘以一次振动的时间就等于h。能量是守恒的，而作用量是量子化了的。

为了举例说明，让我们回到玻尔理论中的圆形轨道上来；在新近的理论中，圆形轨道仍然是可能的，尽管不是普遍的。假如我们把E_min称作当电子处于最小的可能的轨道上时的动能，那么第n轨道上的动能就是。（总能量的大小等于动能的负值。）我们不知道是什么东西决定电子从一个轨道跃迁到另一轨道上的；在这一点上，我们的知识只是统计性的。当然，我们知道，当原子不能吸收能量时，电子只能从较大的轨道跃迁到较小的轨道上，而当原子从入射光中吸收能量时，相反的跃迁就会发生。从光谱的不同谱线的相对强度中，我们也知道不同的可能的跃迁所具有的相对频率；并且在这个问题上，存在一种理论。但我们丝毫不知道，在大量的其电子并未处于最小轨道的原子中，为什么其中一些在一个时间跃迁，而另一些则在另一个时间跃迁；这正像我们不知道为什么放射性物质中一些原子会衰变，而另一些原子却不会衰变那样。自然界似乎充满了一些具有突破性的现象；对于这些现象，我们能够说，假如它们发生了，它们将会是几种可能的类型中的一种；但我们不能说，它们终究会发生，或者假如它们会发生，它们将在何时发生。就量子理论目前所能说的而言，我们满可以认为原子拥有自由意志；然而，此种自由只限于它们在几种可能当中选择一种。^注14

无论如何，我们所知道的显然是当原子发射光时在能量上所出现的变化；而且我们知道，就氢或离子化了的氦来说，这些变化是用来测定的。我们几乎不可避免地会推断，原子的前一种状态是由整数k刻画的，而后一种状态是由整数n刻画的。但是，对轨道之类的东西的假定，尽管作为对想象的一种帮助是适当的，却几乎不可能通过类比于大尺度的过程而被证明为完全正当的，因为量子原理自身表明了对这种类比的依赖所带来的危险。在大尺度的现象中，没有任何东西会让人想到量子，而且这类现象的另外一些常见特征或许只来自于统计学上的平均化行为。

简要地考虑一下可能存在的椭圆形轨道也许是值得的。^注15这也将阐明量子原理是如何应用到拥有不止一个坐标的系统中的。

以极坐标为例，动能是：

根据开普勒第二定律， 是不变的；我们称其为p。因此：

2πp=nh。

再稍加计算就可以得出：拥有量子数n、n'的轨道上的能量是：

然而，通过引入来自狭义相对论的思考，我们能够区分人们分别从圆形轨道与椭圆形轨道中期待得到的两种结果，并表明来自椭圆形轨道的结果必须出现，以便解释观察到的事实。关键之处在于，质量是随着速度而变化的：一个物体运动得越快，其质量就越大。因此，在椭圆形轨道中，电子在近核点比在远核点拥有更大的质量。我们发现，由此可以断定椭圆形轨道将不是严格意义上的椭圆，而近核点将随着每一次的旋转而缓慢地前移^注16；也就是说，如果以极坐标γ和θ为例，坐标θ会在γ的一个最小值及下一个值之间以略大于2π的幅度增大。因而，这个系统是“有条件地周期性的”，即每一个单独的坐标都是周期性地变化的，但两者的周期并不重合。其结果^注17是，方程n由代替；在这里，，c是光的速率，而p，则和以前一样，是角动量。我们将会发现，γ是非常接近于1的，因为是c巨大的。

与量子数n及n'联系在一起的能量公式现在变得非常复杂了，其巨大优点在于它解释了氢的线状光谱的完美结构。人们一定会感觉到，理论与观察之间所存在的这种严密的一致是非常显著的。但依然唯有经验证据才涉及与不同量子数相联系的能量差异，而且依据牛顿原理，关于在稳定运动期间的实际轨道及进程的理论一定不可避免地还是一个假设；就像我们将会看到的那样，在量子理论的最新形式中，这个假设已经不再出现了。

量子存在的事实非常令人不可思议；这一点人们无法否认，除非最终表明它可以从经典原理中演绎出来。事实似乎是，量子原理管控着物质及其周围介质间的所有能量交换。在调和量子理论与光的波动说方面，存在严重的困难；但是，我们直到后面才会考虑这些问题。更值得期待的是，以某种不像威尔逊及索末菲那样奇怪而又特别的方式来阐述量子原理。实际上，它是某种类似如下事实的东西：频率ν的一个周期性过程拥有数值为hν的一个倍数的能量，而且相反地，假如一个给定数值的能量被用于启动一个周期性过程，那么它将启动一个频率为ν的过程，而且该能量的数值将是hν的一个倍数。当一个过程拥有一种频率ν及一种能量hν时，在一个周期内的“作用量”的数量就是h。但我们不能说：在任何周期过程中，一个周期的作用量的数量是h或是h的一个倍数。不过，某种与此类似的表述或许迟早会被证明是可能的。就像相对论所表现出来的那样，在物理学理论中，“作用量”比能量更为根本；因此，人们发现作用量起到重要的作用这一点或许就不会令人吃惊了。但在目前，关于物质及周围介质的交互作用的整个理论，都依赖于能量的守恒。一种更突出作用量的理论或许是可能的，而且它可能有助于产生一种关于量子原理的更简单的表述。

在玻尔的理论及其发展中，存在着空白，也存在着困难。这种空白已经被提及：我们丝毫不知道一个电子为什么会选择在一个时刻而非在另一个时刻从较大的轨道跃迁到较小的轨道上。困难在于，这种跃迁通常被看作是突然的和不连续的：人们认为，假如它真的是连续的，那么相关区域内的实验事实就无法得到解释。这个困难有可能被克服，并且我们也许会发现，从一个轨道向另一个轨道的跃迁能够是连续的。但是，我们也完全有理由想到另一种可能，即跃迁实际上是不连续的。我已强调，我们对于原子内部所发生的事情实际上是相当无知的，因为我希望为某种与通常所设想之物完全不同的事物保留可能性。我们有正当的理由相信时-空是连续的吗？我们知道一个轨道与下一个轨道之间的其它轨道是几何学上可能的吗？爱因斯坦使我们认为，物质的邻域使空间成为非欧几里得的；邻域不也可以使其成为不连续的吗？做出下述假定确实是轻率的：世界的微观结构类似于被人们发现与大尺度现象相一致的结构——这种相似可以只是统计学上的平均数。上述这些考虑可以作为最新的量子力学理论的一个引言，而我们现在必须把注意力转移到这一理论上。^注18

在海森堡开创的这种新的理论中，我们不再拥有卢瑟福玻尔原子的那种简单性；在这种原子中，电子像分立的行星一样绕着一个原子核旋转。海森堡指出，在这种理论中，存在很多甚至从理论上讲也观察不到的量；这些量代表着一些被设想当原子处于稳定状态时就会出现的过程。在新的理论中，正如狄拉克所说：“玻尔理论中与一种静止状态相联系的那些可变量，即轨道运动的幅度与频率，没有任何物理的意义，而且也没有任何物理上的重要性”（4，第652页）。在首次介绍自己的理论时，海森堡指出，通常的量子理论使用了不可观察的量，比如电子旋转的位置与时间（1，第879页），而且电子应该通过诸如其辐射的频率这类可测定的量来说明（1，第880页）。现在，可观察的频率始终是两“项”之差，且每一项都是用一个整数来代表的。因而，我们能通过一个无穷行列的数值即一个矩阵来描述一个原子的状态。假如T_n和T_m是两个“项”，那么一个可观察的频率（理论上）是ν_nm；在这里，

ν_nm＝T_n－T_m。

海森堡以如下方式陈述了这种观点（5，第685页）。在经典谐振动理论中，给定一个只有一个自由度的电子，在时间t的延长度x可以通过一个傅里叶级数来描述：

x（n）_τe^{2πiν（n）τt}，

x（nm）e^{2πiν（nm）τt}；

构造一种矩阵代数是可能的；从形式上讲，此种代数只在一个方面不同于通常的代数，即它的乘法不是交换的。

一种新的运算被定义了；当量子数变大时，该运算接近于微分。通过使用这种运算，哈密顿运动方程以一种对周期运动与非周期运动都同样适用的方式得以保存下来，以至于我们不必对某个范围内的量子现象再行区分；一些定律被应用于这类现象，而这些定律不同于应用到经得起经典力学检验的那些现象上的定律：“在这种理论中，‘量子化’与‘非量子化’运动的区分失去了其全部意义，因为在其中不存在从大量可能的运动中挑选出某些运动的量子化条件的问题；量子力学基本方程出现并代替了这个条件……。该方程对所有可能的运动都是有效的，并且为了给运动问题一个确定的意义，该方程也是必要的”（3，第558页）。上文所提及的基本方程如下所述：假设q是一个哈密顿坐标，p是对应的（广义）动量，并且两者都是矩阵。我们记得，矩阵的乘法不是交换的；事实上，我们拥有下式作为所说的基本方程（2，第871页）：

海森堡并未声称这种新的理论解决了所有困难。相反地，他说（5，第705页）：

“必须认为这里所描述的理论依然是不完备的。我们还没有完全弄清这个基本假定（5）^注19在几何学或运动学上的真实意义。尤其是，下述事实存在一种严重的困难：时间明显起到了一种不同于空间坐标的作用，并且在形式上也得到了不同的处理。迄今为止，在这种理论中，关于一个过程之时间经历（course）的问题没有任何直接的意义，而且关于较早及较迟的概念几乎不可能得到精确的定义；这个事实使该理论的数学结构中的时间坐标之形式特征变得尤为明显。不过，我们无需要考虑这些构成了对该理论之反对意见的困难，因为人们预料，从原子系统所拥有的这些时-空关系的性质中恰好会出现此类困难。”

在一种或多或少通俗的解释中（6），海森堡阐述了其理论的某些后果。他说，电子和原子并不拥有“感官对象所拥有的那种程度的直接实在性”，而只拥有人们自然而然地归之于光量子的那类实在性。他认为，量子理论之所以出现麻烦，是因为人们试图制造原子模型，并把它们当作普通空间中的东西来描述。假如我们要保留微粒说，那么我们就不能在每个时间中指出电子或原子所处的确定的空间点。我们代之以一组经过充分定义的物理的量，而这些量代表着电子先前的位置。它们是可观察的辐射量，而且每个量都与两个“项”相联系，以至于我们得到了一个矩阵。对一个原子中内层电子与外层电子的区分变得没有意义了；“而且，从一系列类似的微粒中再次识别出一个特殊的微粒，从原则上讲是不可能的”（第993页）。

到目前为止，电子的矩阵理论由于太新了，以至于经不起某种逻辑分析；而本书这一部分的目的，就在于进行此种逻辑分析。然而，通过用一组代表我们实际所知之物的量，即来自原子被设想处于其中的那个区域的辐射，来代替玻尔原子中纯然假设性的稳定运动，它显然体现了一种科学上的简练；同样显然的是，在构造一种摧毁量子化运动与非量子化运动之区分且通过一组统一的原理来处理一切运动的力学中，有一种巨大的逻辑的进步。而且从逻辑上讲，海森堡原子较之于玻尔原子所具有的这种更高程度的抽象性使该理论变得更为可取，因为物理学理论中的形象化元素是最不容易得到人们信赖的。

德布罗意^注20和薛定谔^注21提出了一种明显不同的量子理论；人们发现，他们的理论在形式上与海森堡的理论是相同的，尽管乍看上去是非常不同的。德布罗意将这种理论描述为“新的物质波动理论”；在这种理论中，“质点被构想为波的奇点”^注22；而且在这里，我们以为是来自原子的辐射，比原子自身拥有更多的物理“实在性”。迄今为止，在调和干涉及色散事实与导致光量子假说的事实方面，存在一些困难；而这个理论的优点之一，就在于它减少了这些困难。

与此同时，仍然存在这样的可能性，即所有量子现象都可以从经典原理中演绎出来，并且表面的不连续性可能只是一个明显的最大值与最小值的问题。据我所知，依据这些思路而提出的最成功的理论，是L.V.金（L.V.King）的理论。^注23他假定，电子以固定的角速度旋转，并且所有的电子都是这样的；他也做了一个类似的关于质子的假定。因而，存在一个引入了某些条件的磁场；当电子和质子没有旋转时，这些条件就是缺失的。将会存在频率为ν的电磁辐射，在这里：