11.2 四元数的物理角色

四元数为我们提供了一种非常优美的代数结构，并使我们有可能将一种神奇的计算极其自然地用于处理物理问题和三维物理空间里的几何问题。为此，哈密顿将自己生命的最后22年全都投入到发展这么一种四元数计算的工作中。但依我们目前的眼光看，回眸19世纪和20世纪，我们必须承认，这种英勇无畏的努力虽值得称道，但终归于失败。这不是说四元数在数学上（甚至物理上）不重要，它们在寻求代数的各种推广的舞台上的确扮演过非常重要的角色，在某种间接意义上，这种影响还相当深远，但具有原创意义的“纯四元数”最终没能成为人们所期待的那种具有非凡前途的数学大纛。

为什么它们没能成功？在为物理世界寻找“正确的”数学所作的努力方面我们应记取什么样的教训？首先，很明显，如果我们将四元数类比为高维上的复数，那么这种类比在维数上不是从二维到三维，而是从二维到四维，因为上述q表示里的“t”分量，应当相当于四维之一的“实轴”。我们真希望用t来表示时间，[3]这样，四元数就可以用来描述四维时空而不只是空间。从20世纪的观点看，如果能够做到这一点那真是太好了，要知道四维时空可是我们将要在第17章里展开的现代相对论理论的核心内容！但事实证明，四元数并不适合用来描述时空，这主要是因为四元数的平方形式=t2+u2+v2+w2不符合相对论的要求（这个问题我们会在以后详加讨论，见§13.8和§18.1）。哈密顿当然不知道相对论，因为他早生了一个世纪。不管怎么说，这都是一个错综复杂的问题，我不想在此多做纠缠，以后我们再来慢慢解决（见§13.8，§§18.1－4，§22.11节末，§28.9，§31.13，§32.2）。

哈密顿失利的另一个原因，也可能是更主要的原因，是四元数实际上并不像人们第一眼看到的那样在数学上已臻“完美”，它们是相当蹩脚的“魔术师”。确切地说，在数学完备性方面它们还无法和复数相比，我们找不到一种全纯函数意义上的令人满意的四元数。[4]其原因十分简单，由前一章可知，复变量z的全纯函数特征是它有全纯“独立的”复共轭，而对于四元数，我们发现，如果根据q定义来寻求代数意义上q的四元数共轭的话，这种只能表达为

这里i，j和k均为常量。*〔11.4〕如果“四元全纯”意味着“通过加和、乘积和取极限从四元数来构建”的话，那么必须是一种q的四元全纯函数，这就把整个概念搞乱了。

我们是否有可能找到某种调整了的四元数，以便更直接地应用到物理世界？研究表明，这是可能的，但必须牺牲掉四元数用作除数（如果不为零的话）这一重要特性。如何推广到高维呢？不久我们就会看到克利福德是如何做到这一点的，以及这种推广对物理学具有的重要意义。而所有这些变化导致了对可除代数性质的放弃。

那么是否还存在保留了可除性的推广四元数呢？事实上这是存在的，但首先要明了的是，已有定理证明，除非我们将代数规则放宽到允许放弃乘法交换律，否则一切无从谈起。1843年，在接到哈密顿来信宣称发现了四元数之后大约两个月，格雷夫斯（John Graves，1806—1870）发现存在一种“双”四元数——我们现在称之为八元数。1845年，这种性质的数又为凯莱（Arthur Cayley，1821—1895）重新发现。八元数不遵从乘法结合律a（bc）=（ab）c（尽管在限定性恒等式a（ab）=a2b和（ab）b=ab2中还残留了这种运算律的痕迹）。其结构之美在于它仍是一种可除代数，尽管是一种非结合代数。（对于每个非零a，存在a－1使得a－1（ab）=b=（ba）a－1。）八元数构成一种八维非结合可除代数，它有7个像四元代数里i，j和k这样的量，这些量加上1共同张起八元代数的八维空间。这些基元各自的乘积律（ij=k=－ji，等等）稍有些复杂，我们最好把它放到§16.2节里去介绍，在那里我们将给出一种优美的描述，如图16.3所示。令人沮丧的是，如果我们仍要保留可除代数性质的话，就无法找到一种让人满意的途径将八元数推广到更高维情形。从胡尔维茨（A．Hurwitz，1859～1919）的代数结果（1898）可知，四元（和八元）恒等式“=平方和”对1，2，4，8以外的维数无效。事实上，除了这些维根本就不存在可除代数（零除外）。从后面§15.4将给出的著名的拓扑定理[5]可知，可除代数的确只有实数、复数、四元数和八元数。

如果我们打算放弃可除性，那么就可以将四元数概念推广到更高维上去。这种推广对现代物理发展的确起着强有力的启迪作用，这就是克利福德代数概念，它是由杰出但短命的英国数学家克利福德（William Kingdon Clifford，1845～1879）于1878年引入的。[6]克利福德代数实际上有两个来源，二者都为理解高于复数描述的二维空间提供了知识准备。一个来源是我们这里讨论的哈密顿的四元数代数，另一个来源则更早，这就是由鲜为人知的德国中学教师格罗斯曼（Hermann Grassman，1809～1877）于1844年首次提出，并于1862年重新修订的格拉斯曼代数。[7]这种代数对当今理论物理亦有着直接影响。（具体地说，§31.3里的超对称概念就从根本上依赖于这种代数。在现代物理学标准模型框架之外的任何试图发展物理学基础的尝试中，差不多都存在这种超对称概念。）因此，熟悉格拉斯曼代数和克利福德代数是极为重要的，我们将于§11.6节和§11.5节分别对这两种代数展开讨论。

克利福德（和格拉斯曼）代数涉及一种来自所考虑的高维空间的新因素。在能够充分领略这一点之前，我们有必要从几何角度再来审视四元数，这也是从另一个角度来理解现代物理所必需的。