第十一章 超复数

11.1 四元数代数

我们如何把前面章节的内容推广到高维上去呢？我将在下一章里描述研究n维流形的标准（现代）步骤，但出于其他一些考虑，如果我先向读者介绍一些针对高维研究而提出的早期数学思想，那么这将更富于启发性。这些早期数学思想已被证明与当今理论物理学的某些研究有着重要的直接联系。

正如前面提到的二维拉普拉斯方程（一种物理上相当重要的方程）的解可以非常简单地用全纯函数来表示一样，复分析的美和力量曾引领着19世纪的数学家们去寻找可以很自然地运用于三维空间的“广义复数”。著名的爱尔兰数学家哈密顿（William Rowan Hamilton，1805－1865）就是这样一位长期深入研究这种问题的人。1843年10月16日这天，当他与妻子沿着都柏林的皇家运河散步时，他终于找到了问题的答案。这让他兴奋不已，当即在布鲁厄姆（Brougham）桥的石墩上刻下了这个基本方程

i2=j2=k2=ijk=－1

这里三个量i，j和k中的每一个都是独立的“－1的平方根”（如同复数符号i一样），其一般组合

q=t+ui+vj+wk，

称为一般四元数，其中t，u，v和w均为实数。这些量满足代数里除了一条之外的所有其他运算关系。这个例外——这正是这种哈密顿数的真正创新之处[1]——就是乘法交换律的破坏。因为哈密顿发现**〔11.1〕

ij=－ji，jk=－kj，ki=－ik，

这是对标准的乘法交换律ab=ba的严重背离。

四元数仍然满足加法的交换律和结合律、乘法结合律、以及加法上的乘法分配律*〔11.2〕，即

a+b=b+a，

a+（b+c）=（a+b）+c

a（bc）=（ab）c，

a（b+c）=ab+ac，

（a+b）c=ac+bc，

同样，也存在对加和性“单位元”0和乘积性“单位元”1的运算，如

a+0=a，1a=a1=a。

如果撇开最后一个式子，上面这些关系式定义了代数学中所称的环。（在我看来，“环”这个概念完全没有直观性可言——如同抽象代数里许多其他术语一样——我也不知道它的起源。）如果把最后一个式子也包括进来，我们得到的是所谓幺环。

四元数还提供了所谓实数域上的矢量空间的例证。在矢量空间里，我们能够将两个元素（矢量[2]）ξ和η加起来构成二者的和ξ+η，这个和服从交换律和结合律：

ξ+η=η+ξ，

（ξ+η）+ζ=ξ+（η+ζ），

我们可以用“标量”（这里仅取实数f和g）乘以矢量，这样，下述分配律和结合律等均成立：

（f+g）ξ=fξ+gξ，

f（ξ+η）=fξ+fη，

f（gξ）=（fg）ξ，

1ξ=ξ。

四元数组成实数域上四维矢量空间，这是因为正好有四个独立“基”量1，i，j和k，它们张起四元数的整个空间，也就是说，任何一个四元数都能唯一地表示为这些基元的实数倍的和。以后我们还将看到这种矢量空间的许多其他例子。

依照上述乘法结合律，四元数还提供了一种称之为实数域上代数的例证。但哈密顿四元数的特点在于，除了乘法运算外，我们还可以有除法运算，即对于任一非零四元数q，存在一个（乘积性的）逆q－1，它满足

q－1q=qq－1=1，

由此给出一种称之为四元数除环的结构。对这个逆运算，显然有

其中q的（四元数型）共轭定义为

加上前面定义的q=t+ui+vj+wk，我们有

因此，除非q=0（即t=u=v=w=0），否则实数不为零。这样，一旦q－1有定义（只要q≠ 0），（）－1必存在。*〔11.3〕