第1章
电磁场有限元计算的基本理论

经过一个半世纪多的理论及工程检验，以麦克斯韦方程组为核心的电磁场理论被证明正确揭示了空间分布的电磁场之间的耦合关系及时空演变规律。随着电磁结构的日益复杂，在低频装备及高频器件的工程设计中，涉及大量的电磁场问题求解需求，本质上就是对给定计算区域、材料参数、激励条件、边界条件及初值条件的麦克斯韦方程组定解问题的求解计算。在实际应用过程中，根据激励频率的高低，通常可以归结为对麦克斯韦方程组导出的三种偏微分方程的求解，主要包括调和方程（又称椭圆方程，主要包括静电场、静磁场问题）、波动方程（属于双曲方程，主要包括电磁波传播及辐射问题）和扩散方程（属于抛物方程，主要包括拟静态电磁场计算问题）。以上偏微分方程定解问题的常见求解方法包括解析法与数值法。其中，解析法适用于规则区域、均匀材料及线性问题的模型求解。对于复杂的电气工程问题计算，一般需要借助于数值计算方法。特别是近几十年来，随着先进计算方法及高性能电子计算机的飞速发展，电磁场数值分析方法已广泛应用于各个工业领域的生产设计环节。有限元法是最为常用的数值计算方法之一，至今已有80多年的历史。基于该方法已经开发实现了一些成熟的商业软件，再结合强大的CAD几何造型、自动网格剖分及后处理显示能力，商业电磁场有限元软件及多物理场耦合分析软件已经成为装备设计的必备工具。

然而，国外商业软件的广泛应用一定程度上限制了电气工程领域对底层算法研究探索创新的热情并造成潜在的核心软件技术风险。另外很多软件应用人员并不能深入理解有限元软件中的一些关键概念和功能的使用方法，以及所使用的软件功能设置究竟代表何种数学含义。为了尝试缓解这一困境，本书将讲解如何采用开源有限元软件FreeFEM进行二维及三维电磁场数值计算。FreeFEM是一款自1987年开始至今被开发了36年之久的开源有限元分析软件，在世界范围多领域有限元数值研究中得到了广大科研工作者的青睐[1-5]。基于成熟的电磁场和有限元理论及开源有限元编程工具，打开电磁分析软件的黑盒子，或许能发现除了单击鼠标操作商业软件之外，动手深入进行有限元编程并没有那么神秘和复杂。同时作者也期待读者能发挥创造力与灵感，开发自主FreeFEM程序，解决各领域涉及的电气工程数值计算问题。

本章将对电磁场的基本理论，电磁场问题有限元方法的求解原理与典型问题的有限元分析过程进行简单介绍。至于详细完整的工程电磁场[6]及有限元数值分析理论[7]，读者可自行参阅相关专业书籍。如读者已较为熟悉数值电磁及有限元数值分析理论，则可以略过本章内容。