1.6 逻辑函数的卡诺图化简法

1.6.1 逻辑函数的卡诺图表示法

设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的与项，每个变量以原变量或者反变量的形式在与项中仅出现一次，则称这个与项为最小项。n个变量共有2n个最小项。

例如，A、B、C这3个逻辑变量可以组成23=8个最小项，如表1.6.1所示。

表1.6.1中m0,m1,…,m7为最小项的编号。

任意一个最小项只有一组变量取值使它的值为1，而变量的其他取值组合都使它为0。表1.6.1中列出了每个最小项取值为1时各变量的取值组合。

任何逻辑函数都可表示成唯一的一组最小项之和，称之为逻辑函数的标准与-或表达式，亦称最小项表达式。任意一个逻辑函数经过变换，都能变成唯一的最小项表达式。

【例1.6.1】 将逻辑函数表示为最小项表达式。

解：这是一个包含A、B、C 3个变量的逻辑函数。首先，与项AB中缺少变量C，则用与AB;中缺少变量A，用与。然后，利用分配律展开，就得到最小项表达式。

在逻辑函数的真值表中，输入变量的每一种组合都和一个最小项相对应，这种真值表也称最小项真值表。卡诺图也称最小项方格图，是将最小项按一定规则排列而成的方格阵列。3变量和4变量的卡诺图如图1.6.1和图1.6.2所示。

由图1.6.1和图1.6.2可以看出，卡诺图具有如下特点。

（1）n变量的卡诺图有2n个方格，对应表示2n个最小项。每当变量数增加一个，卡诺图的方格数就扩大一倍。

（2）卡诺图中任何几何位置相邻的两个最小项，在逻辑上都是相邻的。由于变量取值的顺序按格雷码排列，保证了各相邻行（列）之间只有一个变量取值不同，因此保证了画出来的卡诺图具有这一重要特点。

所谓几何相邻，一是相接，即紧挨着；二是相对，即任意一行或一列的两头；三是相重，即对折起来位置重合。

所谓逻辑相邻，是指除了一个变量不同外其余变量都相同的两个与项。

由于卡诺图中的方格同某一最小项或真值表中某一行是一一对应的，所以根据逻辑函数最小项表达式画卡诺图时，式中有哪些最小项，就在相应的方格中填1，而其余的方格则填0。如果根据真值表画卡诺图，对于使Y =1的逻辑变量二进制取值组合，在相应的方格中填1；而对于使Y =0的逻辑变量二进制取值组合，则在相应的方格中填0。

【例1.6.2】 用卡诺图表示逻辑函数。

解：先确定使每个与项为1的输入变量取值，然后在该输入变量取值所对应的方格内填1，如图1.6.3所示。

若逻辑函数不是与-或表达式，应先将逻辑函数转换成与-或表达式（不必转换成最小项表达式），然后在含有各个与项的最小项对应的方格内填1，即得该逻辑函数的卡诺图。