1.1.4 平面机构自由度

机构中各构件相对于机架所能有的独立运动的数目称为机构自由度。若机构中没有独立运动的数目，则该机构无法运动。因此讨论机构的自由度个数与机构能否产生相对运动有着必然的联系。

1.机构自由度计算

如前所述，每个活动构件在平面内都有三个自由度，当两个构件组成机构时必然要增加运动副，它们的相对运动就会受到约束，自由度相应地减少，不同种类的运动副引入的约束数不同。在平面机构中每引入一个低副，就限制了两个自由度；每引入一个高副，就限制了一个自由度。因此，如果一个平面机构中有n个活动构件，这些活动构件的自由度总数为3n；在机构中如果存在PL个低副，低副引入的约束数为2PL，机构自由度的个数就相应地减少2PL；在机构中如果还存在PH个高副，而高副引入的约束数为PH，则机构自由度的个数就又相应地减少PH。如果机构的自由度个数用F表示，则机构自由度个数为

上式就是计算平面机构自由度的公式。

例1-4 计算如图1-10所示颚式破碎机的主体机构的自由度。

解：由图可知，该机构共有3个活动构件，4个转动副，没有高副，即n=3、PL=4、PH=0。由式（1-1）可得

F=3n-2PL-PH=3×3-2×4-0=1

例1-5 计算如图1-12所示活塞泵及其机构的自由度。

解：由图可知，该机构共有4个活动构件，4个转动副和1个移动副（共5个低副），1个高副，即n=4、PL=5、PH=1。由式（1-1）可得

F=3n-2PL-PH=3×4-2×5-1=1

2.计算机构的自由度时应注意的问题

在计算平面机构自由度时，还有一些特殊的问题需要注意，否则会导致自由度计算错误，因此将注意事项做个说明。

（1）复合铰链 由三个或三个以上构件在同一条轴线上形成的转动副称为复合铰链。如图1-13a所示为组合机构运动简图，C处是由构件2、构件3与构件4通过同一根轴线形成的复合铰链，其具体结构如图1-13b所示，同理，由N个构件组成的复合铰链包含的转动副数目应为（N-1）个。因此，该机构在C点为含有两个转动副的复合铰链，而在A、B、D、E、F点各有一个转动副。所以该机构共有5个活动构件，7个转动副，没有高副，即n=5，PL=7，PH=0。由式（1-1）可得

F=3×5-2×7-0=1

（2）局部自由度 局部自由度是指机构中某些构件所具有的自由度仅与其自身的局部运动有关，不影响其他构件运动，即对整个机构运动无关的自由度。在计算机构自由度时应将局部自由度排除。

如图1-14a所示的凸轮机构，为了减小接触面间的摩擦和磨损，在从动件端部安装了滚子。可以看出，凸轮1绕着O点回转时，从动件2上下移动，滚子绕着B点转动，滚子转动的速度与从动件2的运行速度无关，所以滚子绕其中心的转动是一个局部自由度。

如果直接用式（1-1）对如图1-14a所示机构计算自由度，可知n=3、PL=3、PH=1，故机构自由度为F=3×3-2×3-1=2。但机构的实际自由度为1，计算结果中包含了一个滚子的局部自由度。为了在计算机构自由度时排除这个局部自由度，可设想将滚子与从动件焊成一体（转动副B也随之消失），转化成如图1-14b所示形式。用式（1-1）对其进行自由度计算，此时该机构的n=2、PL=2、PH=1，故F=3×2-2×2-1=1，与机构的实际自由度相等。

（3）虚约束 在机械应用中，常常为了增加机构的刚度或保证机械运动的顺利进行，而增加一些重复作用的构件或运动副，但加入的这些构件和运动副对整个机构的运行不会产生任何影响。这种对机构间的相对运动不起独立限制作用的约束称为虚约束。在计算机构自由度时，将具有虚约束运动副的构件连同它所带入的与机构运动无关的运动副一并不计。

平面机构中的虚约束常出现在下列场合。

1）重复的运动轨迹。在机构中，若将两构件在连接点处拆开，两构件上连接点处的运动轨迹重合，则该连接带入虚约束。如图1-15a所示机构中，若将杆3和杆5在E点拆开，因为杆3上E点的轨迹和杆5上E点的轨迹重合，所以杆5对杆3的约束为虚约束。在计算该机构自由度时，应当先去除杆5，即转化成如图1-15b所示的机构运动简图，则该机构自由度为F=3×3-2×4-0=1。若不去除虚约束，直接按如图1-15a所示机构简图计算自由度，则得到F=3×4-2×6-0=0，这显然是错误的。

2）重复的移动副。当两构件之间组成多个导路平行的移动副时，只有一个移动副起作用，其余都是虚约束。如图1-16所示机构中，顶杆1与气缸体2之间组成两个导路平行的移动副，其中之一为虚约束。

3）重复的转动副。当两构件之间组成多个轴线重合的转动副时，只有一个转动副起作用，其余都是虚约束。如图1-17所示机构中，为了增加轴的刚度，该轴与机架组成了三个转动副，这时只有一个转动副起作用，其余均为虚约束。

4）重复的高副。如图1-18所示轮系，为了改善受力情况，中心轮1通过两个对称布置的小齿轮2和2′驱动内齿轮3。其中有一个小齿轮对传递运动不起独立作用，该小齿轮的加入，使机构增加了一个虚约束（加入一个构件增加三个自由度，但组成一个转动副和两个高副，将会引入四个约束）。

例1-6 计算如图1-19a所示筛料机构的自由度。

解：由图可知，机构中的滚子有一个局部自由度；顶杆与机架在E点和E′点组成两个导路平行的移动副，其中之一为虚约束；C点处是复合铰链。现将滚子与顶杆焊成一体，去掉移动副E′，算清楚C点转动副数为2。由图1-19b可得n=7、PL=9、PH=1，故F=3×7-2×9-1=2。机构自由度等于2，需具有两个原动件。

例1-7 计算如图1-20所示机构的自由度。

解：由图可知，凸轮和大齿轮焊接在一起，为一个活动构件，机构中的滚子有一个局部自由度D；I点和J点组成两个导路重合的移动副，其中之一为虚约束；F点处是复合铰链。现将滚子与顶杆焊成一体，去掉局部自由度D和滚子，算清楚F点转动副数为2。

由上述可知该机构中共有9个转动副，1个移动副，1个复合铰链，2个高副，所以n=9、PL=12、PH=2，故F=3×9-2×12-2=1。机构自由度等于1。

3.平面机构具有确定相对运动的条件

由前述可知，机构的自由度是机构中各活动构件相对机架所具有的独立运动个数，机构要想运动，其自由度必须大于零。由于每一个原动件只可从外界接受一个独立的运动规律，因此，当机构的自由度为1时，只需有一个原动件；当机构的自由度为2时，则需有两个原动件。故机构间具有确定相对运动的条件是机构的自由度数目等于原动件数目且自由度大于零。

若自由度数目大于原动件数目，则机构运动不确定；若自由度数目小于原动件数目，则机构将在最薄弱的环节断开。