一  基本知识

什么是几何计算题

1950年华东区大学统一招生的数学入学试题里面曾经有过这样的一个问题：

“正五角星形的五个顶角各是多少度？”

所谓正五角星形就是我们中华人民共和国的国旗上的标帜，同学们对它都是非常热爱的。关于正五角星形的性质，在《几何作图》一书里已经讲到了一些，读过的同学们一定都很熟悉，上举的问题也就不难解答了。

要解决上举的问题，必须先知道正五角星形是从一个正五角形的5条对角线所围成的，其实是一个“凹十角形”。它有10条相等的边——AF、FB、BG、GC、CH等；5个相等的顶角——∠JAF，∠FBG等；5个相等的“叉角”——∠AFB，∠BGC等。它同正五角形一样，也有一个外接圆，各顶点分这外接圆成五等分。从这些性质以及我们以前学过的许多几何定理，就可以用下举的两种解法，来求正五角星形的顶角的度数。

解法一  因⌒CD是全圆周的1/5，所以

⌒CD=(1/5)×360°=72°

又因∠JAF是⌒CD所对的圆周角，从圆周角的定理，知道这一个角可以拿½⌒CD来度它，所以

∠JAF=½×72°=36°

同理，其他的各顶角也都是36°。

解法二  从三角形的外角定理，知道

∠AJF=∠B+∠D（为便利计，∠FBG简称∠B，以下同）

∠AFJ=∠C+∠E。

但又从三角形的内角定理，得

∠A+∠AJF+∠AFJ=180°

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

又因正五角星形的五个顶角都相等，所以

5∠A=180°，∠A=36°。

其余同理。

注  从上举的解法，我们知道要求圆中其他各角的度数，都很容易。像∠BAF、∠ABF等都是36°，∠AFJ、∠AJF等都是72°，∠AFB、∠BGC等都是108°。图中所有角，除掉大于180°的优角外，不出这三种度数，这三种度数——36°、72°、108°——恰巧顺次成为一串“等差级数”。

讲过了这一个问题的解法，我们为了要对这可爱的正五角星形做更进一步的认识，这里再提出如下的一个新问题：

“已知正五角星形中相邻两顶点的距离是2寸，求（1）边长；（2）相邻两叉点的距离——JF、FG等；（3）相对两顶点的距离——BE、AC等。”

要解决这一个问题，必须进一步认识前图中所有的一切三角形都是等腰三角形。在这些等腰三角形中，顶角是36°，底角是72°的有20个，它们都相似，其中的△AFJ等的5个全等，△ACD等的5个全等，△ABG等10个全等；顶角是108°，底角是36°的有15个，也都相似，其中的△ABF等5个全等，△ABE、△HBE等十个全等。

从“相似三角形的对应边成比例”的定理，注目△BAJ和△AJF，得BA:AJ= AJ:JF

因BA=BJ，AJ=BF，代入上式，得

BJ:BF=BF:JF（Ⅰ）

又注目△ABE和△FAB，得BE:AB=AB:FA

因AB=BJ，FA=JE，代入上式得

BE:BJ=BJ:JE（Ⅱ）

上举公式（Ⅰ）所表示的是线段BJ被F点所分，其中的长线分BF是短线分JF和全线BJ的比例中项，我们称做线段BJ被F分成“外中比”。同理，公式（Ⅱ）所表示的是线段BE被J分成外中比。

注  前图中所有的一切线段，不出四种长度，最长的像BE，AC等五条，可简称做“对顶距”，用α表示；较短的像AB，BC等，可简称做“邻顶距”，连同相等的BJ，AG等共计十五条，都用b表示；更短的像BF，JE等十条是边，用c表示：最短的像JF，FG等五条，可简称做“邻叉距”，用d表示，因从（Ⅰ）和（Ⅱ）知道

α:b=b:c=c:d

所以这4种长度顺次恰成一串“等比级数”。

根据这些性质，可用下法解前举的新问题：

解  设边长BF=x寸，因已知BJ=AB=2寸，所以JF=(2-x)寸，根据公式（Ⅰ），得比例式2:x=x:(2-x)

化为等积式，移项，得二次方程式x²+2x-4=0 。

解得

因负值不适用，故得边长是-1+√5≈①（①≈是“近似”的记号。）-1+2.236=1.236寸。邻叉距是2-1.236=0.764寸。

又设对顶距2-1.236=0.764寸，因已知BJ=AB=2寸，故寸。根据JE=(y-2)公式（Ⅱ），得比例式y:2=:(y-2)

化为等积式，再移项，得y²-2y-4=0

解得

同前，得对顶距是1+√5≈1+2.236=3.236寸。

在上面所述的两个问题中，所有的角、弧和线段，都是有大小可以度量的，叫做几何量。我们要度量一个几何量，必须先取一适当的同类量做单位——像“度”“寸”等，用这单位来量欲测的几何量，看它含这单位量的多少倍。这倍数就是欲测的量对于单位量的比值，叫做“该量的测度”。例如线段的单位用寸，假使一线段的大小是1寸的2倍，就是这线段对于1寸的线段的比值是2，那么这线段的测度就是2。

有些几何图形，可以根据已知的性质或几何定理，求出其中的某些几何量的测度，像前举的第一问题就是。又有些几何图形，必须有一部分几何量的测度为已知，才能根据已知的性质或几何定理，求出另一部分的测度，像前举的第二问题就是。这样的两种问题，都是几何学中的计算题。

同学们都知道，几何定理就是关于各种几何图形的性质的叙述。古代的劳动人民，为了在生产实践中必须计算各种几何量，像定方向，测高深，求地积等，于是发现了许多几何定理，可见几何学是在生产条件下发生和发展的，它最初是从积累起来的丰富的实际经验中总结出几何定理，接着再用理论方式加以证明，最后又拿来供给实际的应用，是理论和实际密切结合的，我们学习几何计算题，可以把已经学习的几何定理联系到实际上去，使学用一致的教育目标更具体，更明确起来。