思索的三部曲（猜数游戏）

同学们遇到了一个难题，往往会想到头昏脑胀，结果还是一无所获。等到在“题解”一类的书中或同学的练习簿里看到了它的解法，好像跑得满头大汗时吃了一杯冷饮，感觉着又痛快又惊异，不知不觉地会发出这样的疑问：“他怎样想出来的？”这疑问的答案，不要说从演式中找不出来，就是那些聪明的懂得它的解法的人也不会告诉你。他们并不是故意在卖关子，实在是无从说起的缘故。本来，思索一个问题的方法，不是可以抽象地、概括地用言语表达出来的；必须要经过不断地学习和实际的练习，然后才能逐渐的得到。因此我们不能认为学会了一个问题的做法；便算尽了学习的能事，最要紧的还是要学会思索问题的方法，养成良好的思索习惯。

教了二十多年数学，“题目要怎样去想？”这个问题，常常被人问到，每次都苦于无从说起，就是说也不会十分彻底。

在这当儿，我只好举出实例来作答复。下面的一个小小的猜数游戏，就是一个很好的实例。读者看了之后，对于思索数学问题应有怎样的过程，也许会知道一个大概。

记得在很多年以前，看见同学们玩着一种猜数的游戏。方法是你随便写下一个多位的整数，把这数中各位的数字加起来，从原数中减去这加得的和，然后在所得的差中留下任何一位数字，把其余各位数字随便颠倒地报告出来，他就能立刻猜到你留下的是哪一位数字。但遇到0是例外，不要留下，也不必报告出来。要说得明白一些，当然必须举一个例子。假定你写下的是65271，各位数字加起来，得21，相减得65250，留下2，报告出来的三位数字是6，5，5，他立刻会猜出你留下的数字是2。

我最初看到了，觉得很奇妙，于是开始样想：“根本不知道原数，单靠着报告的6，5，5三位数字，怎样会立刻猜出这留下的是2呢？要解决这一个问题，开头好像无从着手，但是一注意到报告的数字可以随便颠倒，就知道猜的方法同实际的数无关，只同各位数字有关—十位的5，实际的数是50，数字是5—；这是第一个关键，再注意到0可以不必报告，可见从报告的数字要猜出留下的数字来，只能用加或减的基本算法，绝对不会用到乘或除；因为用0做加数或减数是不发生影响的，所以尽可不必报告，但是乘除就完全两样了，这是第二个关键。于是任意假定各数，来作实地试验。先用前例的65271，再用55437，9889，365028，47965等分别做原数，如法炮制，各减去数字的和，都留下任意的一位，把其余各位——算是报告的——先用加法算出和数，连同留下的一位数字，列下一张表。

那报告出来的各位数字的和，同留下的数字有什么关系呢？很容易发现16+2=18，13+5=18，19+8=27，12+6=18，18+9=27，…它们的和18，27，…都是9的倍数。因此知道猜法的秘诀原来是这样：“把报告的各位数字加得一个和数，在9的倍数中选出一个比那和数略大的，相减就得；但和数刚正是9的倍数时，那么留下的数字就是9。”

上述游戏的谜是给打破了，不过这是从事实上观察得来的，只能说是应该要如此，究竟为什么要如此，这里还须作一个明确的回答。

就最初的例子考察，65271=60000+5000+200+70+1，根据倍数的原则：9的倍数的任何倍仍是9的倍数；9的倍数同9的倍数的和仍是9的倍数，可得

移项得65271-21=9的倍数，即65250=9的倍数。根据算术中的质因数检验法，知道65250既是9的倍数，那么各位数字的和也是9的倍数，即6+5+2+5=9的倍数。于是前举猜法的原理就不难彻底明白了。

这个数学游戏的思索过程是怎样的呢？第一步是要认清问题的关键，第二步是要由“知其然”而进到“知其所以然”，把它列举出来，好像是一套三部曲：

（一）想：这是怎么一回事？

（二）想：这是怎样做法的？

（三）想：为什么这样做就成功这么一回事？