2.1.2　变分贝叶斯非负矩阵分解

1．GPR数据的PNMF处理

使用拉格朗日乘子法进行非负矩阵求解时通常具有简单快速的特点，这种非概率的方法容易导致过拟合，不具有稳定性。而贝叶斯方法通过定义满足非负约束的先验分布，再结合实际观察的数据进行后验推理，能大大减少过拟合的现象，提高非负矩阵分解算法的性能。在概率模型下的NMF中，将待分解的潜在基矩阵和系数矩阵看作两个随机变量，数据中的值来自于和的乘积，以及一些高斯白噪声，表示如下：

式中，为基矩阵，为系数矩阵，是GPR图像中的高斯白噪声，假设服从数学期望为0、方差为的高斯分布。

设的似然函数服从高斯分布：

利用贝叶斯定理可通过观测数据F推理出相关参数的后验分布：

式中，待求解的参数为，是数据F在参数下的条件概率，服从式（2-8）的高斯分布，为参数的先验分布，在进行变分贝叶斯推理之前，对变量的先验分布进行假设，由于PNMF的非负性约束，设和的先验服从指数分布：

式中，，，为单位阶跃函数。

噪声方差的先验设为逆伽马分布：

在PNMF中，参数的后验分布使用变分贝叶斯进行推理，通过求解一个近似的后验分布去逼近真实的概率分布。在复杂的多变量参数情况下，变分贝叶斯将其分解为一组相互独立的变量，表示如下：

式中，对应于参数的分布。根据文献[8]，得到后验分布：

式（2-13）中，为伽马分布，为截断高斯分布：

式中，是服从分布的累积分布函数。

当获得W和H以及相关参数的后验分布后，将前项作为高频杂波对应的分量并进行如下分量表示：

式中，值代表矩阵的秩，通过该值可以得到杂波对应的低秩矩阵。对于高频杂波，前项成分分量对杂波的贡献最大。值的选择将在接下来的小节进行具体讨论。

2．杂波成分的去除

原始数据矩阵分解得到个基本特征，越大，则分解得到的基本特征越多。通过对基本特征进行线性组合，从而所能表示的图像就越丰富，也越能体现出样本之间的差异性，通过对模拟数据进行实验获得值。

现实应用中，地面结构中往往存在湿度差异，然而湿度在很大程度上影响了土壤的有效介电常数和电磁波的衰减，所以数据模拟过程中，将铝制管线作为埋藏物，然后分别放置于三种不同特性的土壤环境（干性土壤、潮湿土壤、湿润土壤）下进行模拟。埋藏物和三种土壤的介质参数来自文献[10]，其介电常数和导电率详见表2-1。

gprMax是应用在探地雷达的正演模拟工具，原理是对时域有限差分方法（Finite Difference Time Domain method，FDTD）对探地雷达数据进行数值模拟[9]，其仿真速度快且操作便捷，得到了越来越广泛的应用。FDTD是将麦克斯韦方程组中的时空域离散化得到的逼近解，所以对空间轴的、和时间轴的离散化取值非常必要。为使结果更加逼近真实，需要选取尽量小的取样间隔。探地雷达的正演模拟能够简洁高效地模拟电磁波在地底的传播过程，随后生成直观的数学模型。

当使用gprMax工具进行模拟数据时，首先将通道参数和介质的介电常数配置出来，接着依据探地雷达的原理调制与环境匹配的工作参数，再编写程序将文件保存为.in格式，随后进行仿真，最后获取到仿真结果。把铝制管线作为埋藏物的模拟环境见图2-2（a），铝制管线在干性土壤、潮湿土壤、湿润土壤三种环境下的反射剖面图分别如图2-2（b～d）所示。

在GPR图像杂波处理中，杂波成分一般存在于矩阵分解后的前个主分量中，由此分别选取=1,2,3,4,5进行处理后PSNR（峰值信噪比）的比较，结果如表2-2所示。数据结果显示，干土壤中铝制管线反射的GPR图像在取2的时候去杂波后的PSNR值较高，而在潮湿和湿润的土壤环境反射下，取1时NMF的峰值信噪比较高。结合子空间技术中GPR图像杂波去除的经验，选取第一主分量作为杂波成分，即=1。

式中，为杂波去除后的分量，进行重构后为杂波抑制的结果图像。