四、机械能守恒定律

(一)功能原理

质点系内各质点相互作用的内力可分为保守内力和非保守内力，内力作功之和可写成

A内=A保+A非保

式1-27动能定理可写成

A外+A保+A非保=Ek-Ek0

因此

A外+A非保=(Ek+Ep)-(Ek0+Ep0)

在力学中，动能和势能之和称为机械能(mechanical energy)，即

E=Ek+Ep

则又可写成

(1-31)

上式表明，质点系的机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的总和，这个结论称为质点系的功能原理(principle of work and energy)。

几点说明：

(1)势能的改变已经反映了保守内力作的功，在计算功时，要将保守内力作的功除外。

(2)功能原理是从牛顿运动定律得出的，只适用于惯性系。

(3)功是过程量，动能和势能是状态量。

例1-6　某人骑车由静止从高度为h的斜坡沿斜面向下行驶，到达底部时速率为，已知人和车的质量分别为m1和m2。求人到达坡底的过程中摩擦力作的功Af。

解：以人与车为一系统作为研究对象，系统末状态为势能零点，其受力如图1-14所示。

由功能原理有

所以，摩擦力作功为

读者也可用动能定理求解，试比较两种方法的思路和联系。

(二)机械能守恒定律

在质点系中，如果外力的功和非保守内力的功都为零，或可忽略不计，只有保守内力作功，质点系的机械能保持不变。即

(1-32)

其物理意义是：外力的功和非保守内力的功都为零，只有保守内力作功时，质点系的机械能守恒。这一结论称为机械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy)。

例1-7　利用机械能守恒定律再解例1-5中线摆下落θ角时小球的速度。

解：如图1-15所示，取小球和地球作为研究的系统。设线的悬点O所在高度为重力势能零点，选择地面为参照系。小球在运动过程中，线拉小球的外力始终垂直于小球的速度，所以不作功，只有保守内力重力作功，系统机械能守恒。

系统初始状态的机械能为

线摆下落θ角时系统的机械能为

因为

hb=lsinθ，Ea=Eb

由此可得

与以前得出的结果相同，但计算大为简化。

知识链接1

艾萨克·牛顿(Issac Newton，1643—1727年)，杰出的英国物理学家，经典物理学的奠基人。他的不朽巨著《自然哲学的数学原理》总结了前人和自己关于力学以及微分学方面的研究成果，其中包含牛顿的三条运动定律和万有引力定律，以及质量、动量、力和加速度等概念。在光学方面，他还说明了色散的起因，发现了色差及牛顿环，并提出了光的微粒说。