第1章 河马上的婆娘：毕达哥拉斯定理

它告诉我们什么？

直角三角形的三个边之间有什么关系。

为什么重要？

它提供了几何和代数之间的重要联系，使我们能够根据坐标计算距离。它也催生出了三角学。

它带来了什么？

测绘、导航，以及较近代出现的狭义和广义相对论——现有最好的关于空间、时间和重力的理论。

随便找个学生，让他举出一位著名的数学家——如果他能想到的话，他往往会选择毕达哥拉斯。如果不是，也许他想到的是阿基米德。哪怕是杰出的艾萨克·牛顿，在两位古代世界的巨星面前也只能叨陪末座了。阿基米德是一位思想巨人，毕达哥拉斯或许算不上，但人们往往低估了他的贡献，他值得更多赞誉——不在于他做出了什么，而在于他推动了什么。

在公元前570年左右，毕达哥拉斯出生在爱琴海东部的希腊萨摩斯岛。他是一位哲学家和几何学家。我们对他的生活所知甚少，而且信息都来自很久之后的记述，其历史准确性存疑，但关键事件很可能是对的。公元前530年左右，他搬到古希腊殖民地克罗顿（今意大利）。他在那里创立了一个哲学宗教团体——“毕达哥拉斯学派”，他们相信宇宙是基于数字的。时至今日，其创始人的名声就来自以他的名字命名的定理。这个定理已被教授了两千多年，还进入了流行文化。丹尼·凯（Danny Kaye）1958年主演的电影《戏班小丑》（Merry Andrew）有一首插曲，歌词开头是这么写的：

直角三角形
斜边的平方
等于
相邻两条边的
平方和

这首歌接下来唱到关于一句话里不要出现虚悬分词的双关语，还把爱因斯坦、牛顿和莱特兄弟与这个著名的定理联系在一起。前两个人惊呼：“尤里卡！”——不，那是阿基米德说的。你可能会由此认定歌词的历史准确性不高，但好莱坞就是这么回事。不过，我们将在第13章中看到，词作者（约翰尼·默塞尔）对爱因斯坦的看法非常到位，也许他自己都没有意识到。

关于毕达哥拉斯定理有一个非常流行的笑话，是一个关于“河马上的婆娘”（squaw on the hippopotamus）的糟糕的“谐音梗”。这个笑话在网上随处可见，但是真正的源头就不太可考了。1还有关于毕达哥拉斯的漫画、T恤和希腊邮票，如图1.1所示。

图1.1　展现了毕达哥拉斯定理的希腊邮票

尽管说了这么多，我们并不知道毕达哥拉斯是否真的证明了他的定理。事实上，我们根本不知道这是否是他的定理。它完全有可能是毕达哥拉斯的一个仆从，或某个古巴比伦或苏美尔的抄写员发现的。但人们把它归功于毕达哥拉斯，他的名字就流传下来了。无论其起源如何，这个定理和它的结果对人类历史产生了巨大的影响。它们的的确确拓展了我们的世界。

古希腊人并没有将毕达哥拉斯定理表达为现代符号意义上的等式。那是随着代数的发展才出现的。在古代，该定理以口头和几何的方式表达。亚历山大里亚的欧几里得的著作记载了它最优雅的形式，这也是它的第一个文献证据。公元前250年左右，欧几里得写下了著名的《几何原本》——有史以来最具影响力的数学教科书，成为第一位现代数学家。欧几里得把几何学变成了逻辑：他明确地列出了自己的基本假设，并援引这些假设，为他的所有定理提供系统的证明。他建造了一座概念之塔，其基础是点、线和圆，而塔尖则恰好存在五种正多面体。

欧几里得几何“王冠上的明珠”就是我们现在所说的毕达哥拉斯定理：《几何原本》第一卷中的命题47。在托马斯·希思爵士（Sir Thomas Heath）的著名译本中，这个命题是这样写的：“在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角的边上的两个正方形。”（In right-angle triangles the square on the side subtending the right angle is equal to the squares on the sides containing the right angle.）

好吧，没有河马。没有斜边。甚至都没有明确说“和”或“加”。只有一个滑稽的词“subtend”，它的意思基本上就是“对着”。然而，毕达哥拉斯定理清楚地表达了一个等式，因为它包含了一个重要的词：等于。

就高等数学而言，古希腊人使用的是直线和面积，而不是数字。所以毕达哥拉斯和他的古希腊后人将这个定理解释为面积相等：“用直角三角形中最长边构造的正方形面积，是由另外两边构造的正方形面积的和。”最长的一条边就是著名的“斜边”（hypotenuse），意思是“在下面拉伸”。如果你以恰当的方向画图，确实如此，如图1.2（左）所示。

图1.2　左：欧几里得证明毕达哥拉斯定理的构造线。中和右：定理的另一证明。外部正方形的面积相等，阴影三角形的面积也相等。因此，倾斜的白色正方形面积等于其他两个白色正方形面积之和

仅用了区区2000年，毕达哥拉斯定理就被重写为代数方程

其中是斜边的长度，和是另外两边的长度，上角标“2”代表“平方”。在代数上，一个数字的平方就是这个数字乘以其自身，并且我们都知道，任何正方形的面积都是其边长的平方。所以毕达哥拉斯方程（这是我给它起的名字）说的是和欧几里得的书中相同的事情——当然还有关于古人如何思考数字和面积等基本数学概念的各种心理学观点，我在这里就不细说了。

毕达哥拉斯方程有许多用途和意义。最直接的是，给定另外两边，它可以让你计算斜边的长度。例如，假设，，那么。因此，这就是著名的––三角形，在中小学数学中无处不在，是毕达哥拉斯三元组1——满足毕达哥拉斯方程的一组三个整数中最简单的例子。除了对边长等比例缩放，如––之外，接下来最简单的是––三角形。这样的三元组有无穷多个，古希腊人知道如何构建它们。数论对这个问题迄今仍然保持着一定的兴趣，甚至在过去十年中还发现了新的特征。

1 也称“勾股数”。——译者注

除了利用和求之外，你还可以间接计算，如果知道和就可以解方程求出。我们很快就会看到，你还能够回答更绕一点儿的问题。

这个定理为什么成立？欧几里得的证明相当复杂，它要在图上加上五条辅助线，如图1.2（左）所示，还援引了几个先前证明的定理。维多利亚时代的男生（当时很少有女生学习几何学）不敬地称之为“毕达哥拉斯的裤子”。一个直接而直观的证明（虽然不是最优雅的）用了四个三角形来把同样一副数学拼图的两个解联系起来，如图1.2（右）所示。这张图确实很有说服力，但要把逻辑细节补充完整就得想一想了。比如：我们怎么知道图1.2（中）中的倾斜白色区域是正方形？

有一些吸引人的证据表明，早在毕达哥拉斯之前，毕达哥拉斯定理就已为人所知。大英博物馆中的一块古巴比伦泥板2以楔形文字形式记录了一个数学问题和答案，用我们的话来说：

长度为4，对角线为5。宽度是多少？
4乘以4是16。
5乘以5是25。
25减掉16得到9。
我怎么样才能得到9？
3乘以3是9。
因此宽度是3。

所以古巴比伦人肯定知道––三角形，比毕达哥拉斯早了一千年。

来自耶鲁大学巴比伦收藏的另一块泥板YBC 7289如图1.3（左）所示。它显示了一个边长为30的正方形图，其对角线上标有两串数字：1、24、51、10和42、25、35。古巴比伦人使用六十进制来表示数字，因此第一串数字实际上是指，用小数表示约为。而的平方根约为。第二串数字是这个数的30倍。所以古巴比伦人知道正方形的对角线长是它的边长乘以2的平方根。由于，因此这也是毕达哥拉斯定理的一个例子。

图1.3　左：YBC 7289。右：普林顿 322

更引人注目也更为神秘的，是美国哥伦比亚大学的乔治·亚瑟·普林顿（George Arthur Plimpton）藏品中的泥板普林顿322，如图1.3（右）所示。它是一张数字表，有4列15行。最后一列只列出了行号，从1到15。1945年，科学历史学家奥托·诺伊格鲍尔（Otto Neugebauer）和亚伯拉罕·萨克斯（Abraham Sachs）3注意到，在每一行中，第三列中数字（比如叫）的平方减去第二列中数字（比如叫）的平方，本身就是一个数（比如叫）的平方。它符合，因此这张表貌似记录的就是毕达哥拉斯三元组。至少，如果纠正了其中四个明显的错误，它就是这样的。然而，我们并不完全确定普林顿322是不是和毕达哥拉斯三元组有什么关系，而且就算有关系，它也可能只是一个面积易于计算的三角形速查表。这些三角形可以拼起来，得到其他三角形和其他形状的良好近似，或许用于土地测量。

另一个标志性的古代文明是古埃及文明。有一些证据表明，毕达哥拉斯年轻时去过古埃及，有些人猜测他就是在那里学到了这个定理。流传下来的古埃及数学记载不怎么能支持这一观点，但这些记载很少，且非常专业。人们常说（一般是提到金字塔的时候），古埃及人使用––三角形来得到直角，用的是一根打着12个等间距绳结的绳子，还有人说考古学家已经找到了那种绳子。但是，这两种说法都不大说得通。这种技术没办法做到非常可靠，因为绳子可以拉伸，而且绳结的间隔还必须非常精确。吉萨金字塔的建造精度比能用这种绳子做成的任何东西的精度都要高。人们已经发现了类似于木工角尺的更为实用的工具。专门研究古埃及数学的埃及学家并不知道任何用绳子得到––三角形的记录，也没有这种绳子的例子。所以，这个故事虽然引人入胜，但几乎可以肯定是子虚乌有的。

如果毕达哥拉斯能够穿越到今天的世界，他会注意到许多不同。在他那个时代，医学知识很不完善，照明使用蜡烛和燃烧的火把，最快的交流形式是马背上的使者或山顶上的灯塔。已知的世界包括欧洲、亚洲和非洲的大部分地区，但不包括美洲、澳大利亚、北极或南极。许多文化认为世界是扁平的：圆形圆盘，甚至是与四个方位对齐的正方形。尽管有古希腊的发现，这种思想仍然在中世纪时期广泛流传，表现为当时的世界（orbis terrae）地图，如图1.4所示。

图.　摩洛哥制图师伊德里西为西西里国王罗杰在1100年左右制作的世界地图

是谁最先意识到世界是圆的？根据3世纪古希腊传记作家第欧根尼·拉尔修（Diogenes Laertius）的说法，是毕达哥拉斯。第欧根尼的著作《名哲言行录》是一部言论和传记集，也是我们了解古希腊哲学家私人生活的主要史料之一。书中写道：“毕达哥拉斯是提出地圆说的第一人，虽然泰奥弗拉斯托斯认为是巴门尼德提出的，而芝诺则认为是赫西俄德提出的。”古希腊人经常宣称自己那些出名的祖先有重大的发现而罔顾史实，所以我们对这些说法不能全信，但无可争议的是，从公元前5世纪开始，所有著名的古希腊哲学家和数学家都认为地球是圆的。这个想法似乎确实起源于毕达哥拉斯的时代，而且可能来自他的一个追随者。或者它可能是个被广为接受的观点——证据包括月食期间月亮上的圆形地球阴影，或是类比月亮（显然月亮是圆形的）。

然而，即使对于古希腊人来说，地球也是宇宙的中心，其他一切都围绕着它运行。导航利用的是航位推算法：观察星星并沿着海岸线行进。毕达哥拉斯方程改变了这一切。它使人类走上了今天理解地球地理及其在太阳系中的位置的道路。这是迈向地图制作、导航和测绘所需的几何技术的关键第一步。它还为几何与代数之间至关重要的联系提供了钥匙。这条发展脉络从古代一直贯穿到广义相对论和现代宇宙论（参见第13章）。不管是从比喻义还是从字面意思来看，毕达哥拉斯方程都为人类的探索开辟了全新的方向。它揭示了我们世界的形状及其在宇宙中的位置。

我们在现实生活中遇到的许多三角形都不是直角三角形，因此方程的直接应用似乎有限。但是，任何三角形都可以分割成两个直角三角形，如图1.6所示，而任何多边形都可以分割成若干三角形。因此，直角三角形是关键：它们证明了三角形的形状与其边的长度之间存在有用的关系。从这一见解中发展出来的学科是三角学­——“三角形的测量”。

直角三角形是三角学的基础，特别是它决定了基本的三角函数：正弦、余弦和正切。这些名称源于阿拉伯语，而这些函数及其许多前辈的发展史，展示了今天这个版本经历了什么样的复杂路径。我这里就长话短说，解释一下最终的结果。直角三角形里当然有一个直角，但另外两个角是任意的，只要加起来是90°就行了。任何角都有三个相关的函数——函数就是用于计算相关数字的规则。对于图1.5中的角，按常规用、、代表三个边的边长，我们定义正弦（）、余弦（）和正切（）如下：

这些量仅取决于角，因为给定角的所有直角三角形除了缩放大小不同之外，都是一回事。

图1.5　三角学基于直角三角形得出

因此，我们可以为一系列角度绘制、和值的表格，然后用它们来计算直角三角形的特征。一个可以追溯到远古时代的典型应用，是仅使用在地面上进行的测量来计算高柱的高度。假设从100米开外测量，到柱顶的角度是。令图1.5中的角，那么(a)就是柱的高度。然后，正切函数的定义告诉我们

所以

由于是（保留小数点后三位），我们就可以得出米。

一旦有了三角函数，就可以直接将毕达哥拉斯方程扩展到非直角三角形。图1.6展示了一个有角度且边长分别为、、的三角形。将三角形分成两个直角三角形。然后应用两次毕达哥拉斯方程和一些代数4，就可证明

图1.6　将三角形分成两个直角三角形

这和毕达哥拉斯方程很相似，除了多出来一项。这个“余弦定理”与毕达哥拉斯方程的作用是一样的，建立了与和之间的联系，但现在必须给出关于角的信息。

余弦定理是三角学的主要支柱之一。如果我们知道三角形的两边和它们之间的夹角，就可以计算出第三边。然后再用类似的方程解出剩下的角度。所有这些方程最终都可以追溯到直角三角形。

三角方程在手，再加上合适的测量仪器，我们就可以进行勘测并绘制精确的地图。这个方法并不新奇。它出现在莱因德纸草书（Rhind Papyrus）中，这是一本古埃及数学技术集，可追溯到公元前1650年。在公元前600年，古希腊哲学家泰勒斯使用三角形的几何来估算吉萨金字塔的高度。亚历山大里亚的希罗在公元50年描述了相同的技术。公元前240年左右，古希腊数学家埃拉托斯特尼通过在两个不同的地方——古埃及的亚历山大里亚和色耶尼（今阿斯旺）测量太阳正午高度来计算地球的大小。一系列阿拉伯学者继承并发展了这些方法，特别是将其应用于天文测量，例如测量地球的大小。

测绘学的腾飞是在1533年，当时的荷兰地图制作师赫马·弗里修斯（Gemma Frisius）在《地点描述法小册》（Libellus de Locorum Describendorum Ratione）中解释了如何使用三角学来获得准确的地图。关于这种方法的消息传遍了整个欧洲，也传进了丹麦贵族和天文学家第谷·布拉赫（Tycho Brahe）的耳朵里。1579年，第谷用它绘制了其天文台所在的文岛的精确地图。到1615年，荷兰数学家维勒布罗德·斯内利厄斯（Willebrord Snellius，本名维勒布罗德·斯奈尔·范罗恩）将这种方法发展成了现代形式：三角测量法。这种方法用三角形网络测绘区域。通过非常仔细地测量一个初始长度和许多角度，可以计算出三角形顶点的位置，并由此计算出三角形中所有有趣的特征。斯内利厄斯使用一个由33个三角形构成的网络，计算出了两个荷兰城镇阿尔克马尔和贝亨奥普佐姆之间的距离。他之所以选择这两个城镇，是因为它们位于同一条经线上，并且恰好相隔一度。知道了它们之间的距离，他就可以计算出地球的大小。他于1617年把这个结果写在了他的《荷兰埃拉托斯特尼》（Eratosthenes Batavus）一书中。他的结果精确到了4%以内。他还修改了三角学方程，以反映地球表面的球形特性，这是迈向有效导航的重要一步。

三角测量是一种使用角度计算距离的间接方法。在测绘土地时，无论是建筑工地还是国家，主要的实际考虑因素是测量角度比测量距离要容易得多。三角测量让我们可以测量几个距离和许多角度，然后其他的一切都来自三角方程。这种方法首先在两个点之间画一条直线，称为基线，并非常精确地直接测量其长度。然后我们从环境中选择一个显眼的点，从基线两端都可见，并在两端分别测量基线与该点之间的夹角。这样就得到了一个三角形，我们知道它的一条边和两个角度，它的形状和大小就确定下来了。然后就可以使用三角公式来计算另外两条边。

实际上，现在我们还有了另外两条基线：三角形中新计算出来的边。从这些基线出发，我们可以测量到更远的点的角度。如此反复，就可以得到覆盖被测区域的三角形网络。在每个三角形中，观察基线与所有明显特征（如教堂塔楼、十字路口等）之间的夹角。同样的三角学技巧确定了它们的精确位置。最后，可以通过直接测量某条最后得到的边来检查整个测绘的准确性。

到了18世纪末，三角测量法已广泛用于测绘。英国地形测量始于1783年，耗时70年完成了任务。印度的大三角测量始于1801年，其中包括绘制喜马拉雅山脉地图并确定珠穆朗玛峰的高度。在21世纪，大多数大规模测量是使用卫星照片和全球定位系统（GPS）完成的。人们不再直接使用三角测量了。但它仍然在幕后起作用，根据卫星数据推断位置的方法中依然有它。

毕达哥拉斯定理对坐标几何的发明也至关重要。这是一种用数字表示几何图形的方法，其中使用一组标了数字的线（称为坐标轴）。大家最熟悉的版本是平面直角坐标系（笛卡儿坐标系），纪念的是法国数学家和哲学家勒内·笛卡儿（René Descartes），他是这一领域的伟大先驱之一——尽管不是第一人。画出两条直线：标为的水平线和标为的垂直线。这两条线都称为轴，其交叉点称为原点。沿这两个轴，根据到原点的距离标上点，就像尺子上的刻度一样：向上、向右标正数，向左、向下标负数。现在我们就可以用和确定平面上任意点的坐标，只要将点连接到两个轴上，如图1.7所示。这对数字完全确定了点的位置。

图1.7　两个轴和一个点的坐标

17世纪欧洲伟大的数学家们意识到，这样一来，平面中的直线或曲线就对应某些关于和的方程的解集。例如，确定了一条从左下向右上倾斜的 的直线，因为当且仅当时，才落在这条线上。一般而言，对于常数、、，形如的线性方程对应于直线，反之亦然。

什么样的方程对应圆呢？这就是毕达哥拉斯方程的用武之地。这意味着从原点到点的距离满足

我们可以解出，得到

由于与原点的距离为处的所有点的集合是以原点为圆心、半径为的圆，因此这个方程就定义了一个圆。更一般地说，以为圆心、半径为的圆对应方程

这个方程也确定了点和点之间的距离。所以毕达哥拉斯定理告诉我们两件至关重要的事情：哪些方程会得到圆，以及如何通过坐标计算距离。

所以说，毕达哥拉斯定理本身很重要，但它的推广能发挥更大的影响力。这里我就只谈谈这些后期进展中的一项，来揭示与相对论之间的联系，我们将在第13章中进一步介绍。

欧几里得《几何原本》中的毕达哥拉斯定理的证明，把这个定理牢牢地限定在欧氏几何的范围内。“欧氏几何”这个词一度可以直接换成“几何”，因为我们通常认为欧氏几何就是物理空间的真实几何。这很显然嘛。但像大多数“显然”的东西一样，我们到头来发现不是这么回事。

欧几里得从不多的几个基本假设中得出了他的所有定理，他将其归类为定义、公理和一般概念。他的体系优雅、直观、简洁，只有一个明显的例外，就是他的第五个公理：“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线若无限延长，必定在这一边相交。”这念起来有点儿绕口，图1.8可能会帮助你理解。

图1.8　欧几里得的平行公理

一千多年来，数学家们试图修复他们眼中的缺陷。他们不只是在寻找更简单、更直观的东西来达到同样的目的（虽然有几个人找到了这样的东西），他们想证明这条尴尬的公理来彻底摆脱它。经过了几个世纪，数学家终于意识到存在另一种“非欧氏”几何，这也就意味着证明根本不存在。这些新的几何与欧氏几何一样逻辑自洽，遵循了除了平行公理之外的所有公理。它们可以被解释为曲面上的测地线（最短路径）的形状，如图1.9所示。这引起了人们对曲率意义的关注。

图1.9　表面的曲率。左：零曲率。中：正曲率。右：负曲率

欧氏平面是平的，曲率为零。球面在任何地方的曲率都相同，并且是正的：它在任何点附近都看起来像一个圆顶。（一些技术细节：大圆会在两点上相交，而不是像欧氏公理要求的一点，因此球面上的几何对此做了修正——找到对径点，并认为它们是同一点。这样一来球面就变成了所谓的射影平面，这种几何称为椭圆几何。）还存在恒定负曲率的表面：在任何点附近看起来都像马鞍。这种曲面称为双曲平面，它可以用几种很乏味的方式来表示。最简单的方法也许是将其视为圆盘的内部，并将“直线”定义为与圆盘的边缘垂直相交的圆弧（图1.10）。

图1.10　双曲平面的圆盘模型。通过点的三条线都不和线相交

也许你会觉得，虽然平面几何可能是非欧的，但对于空间几何来说肯定行不通。你可以把平面弯折变成三维的，但是你没办法弯折空间，因为再没有额外的维度了。然而，这种想法相当幼稚。比如，我们可以使用球体的内部来模拟三维双曲空间。直线可以用与边界垂直相交的圆弧来表达，而平面就可以用与边界垂直相交的球面的一部分来表达。这种几何是三维的，满足欧氏几何除第五公理外的所有公理，并且从确定意义上定义了一个弯曲的三维空间。但它并不是围绕着任何东西弯曲的，也没有弯向任何新的方向。

它就是弯曲的。

有了这些新的几何，一种新观点开始占据舞台中心——然而它是物理的，不是数学的。既然空间不一定是欧氏的，那它到底是什么形状的呢？科学家意识到他们实际上并不知道。1813年，高斯已经知道了在一个弯曲的空间中，三角形内角和不是。他测量了三座山（布罗肯山、霍赫哈根山和英塞尔伯格山）形成的三角形的角度。他得到的内角和比大了15弧秒。如果他是对的，那就说明空间（至少在该区域中）是正曲率的。但你需要大得多的三角形，测量精度也要高得多，才能消除观测误差。因此，高斯的观察结果没有得出确切的结论。空间可能是欧氏的，当然也可能不是。

我说三维双曲空间“就是弯曲的”，是基于一个关于曲率的新观点，它也可以追溯到高斯。球面有常数正曲率，双曲平面有常数负曲率。但是一个曲面的曲率不一定是恒定的。它可能在某些地方弯折得厉害，在其他地方则不那么厉害。实际上，它的曲率可能在一个地方是正的，在另一个地方是负的。曲率可以在不同地方之间连续变化。如果一个曲面看起来像是狗啃的骨头，那么两头凸起的地方是正曲率的，但是连接部分则是负曲率的。

高斯想要找到一个公式来表达任何点的曲面曲率。当他最终找到它，并于1828年将其发表在《关于曲面的一般研究》（Disquisitiones Generales Circa Superficies Curva）一书中时，他将其命名为“绝妙定理”。绝妙在哪里呢？高斯从朴素的曲率观点着手：将曲面嵌入三维空间并计算它的弯曲程度。但答案告诉他，周围的空间并不重要。它没有出现在公式中。他写道：“公式……引出了一个非凡的定理：如果在任何其他曲面上形成一个曲面，则每个点的曲率度量保持不变。”他所说的“形成”意思是“包裹”。

拿一张平整的纸，其曲率为零。现在将它包在一个瓶子上。如果瓶子是圆柱形的，则纸张完全贴合，不发生折叠、拉伸或撕裂。就外观而言，它是弯曲的，但这是一种微不足道的弯曲，因为它没有以任何方式改变纸张上的几何形状。它只是改变了纸张与周围空间的关系。在平面的纸上画一个直角三角形，测量它的边，用毕达哥拉斯定理检验。现在将这张图包裹在瓶子上。沿纸张测量的边长不会改变。毕达哥拉斯定理仍然成立。

然而，球体的表面具有非零曲率。因此，无法用一张纸包裹并紧贴球体，而不发生折叠、拉伸或撕裂。球面几何与平面几何有本质的区别。例如，地球的赤道，以及和的经线确定了一个三角形，它有三个直角和三条等长的边（假设地球是一个球体）。所以毕达哥拉斯方程就不成立了。

今天我们把本质意义上的曲率称为“高斯曲率”。高斯用了一个迄今仍不过时的生动类比来解释它为什么重要。想象一下，一只蚂蚁被限制在一个表面上。它如何知道表面是不是弯曲的呢？它无法走出表面来看看它看起来弯不弯。但它可以使用高斯公式，通过纯粹在表面内进行适当的测量来确定。当试图找出所在空间的真实几何时，我们也处在和蚂蚁相同的处境——无法走出空间。然而，在通过测量来模拟蚂蚁之前，我们需要一个三维空间的曲率公式。高斯并没有给出一个这样的公式，但他的一个学生，在鲁莽冲动的驱使下，声称自己做到了。

这个学生是格奥尔格·伯恩哈德·黎曼（Georg Bernhard Riemann），他当时在努力取得德国大学所谓的“特许任教资格”（Habilitation），这是博士之后的下一步。在黎曼的时代，这意味着你可以向学生收取讲课费用。无论是当时还是现在，要获得特许任教资格需要在公开讲座中展示你的研究，这也是一项考试。候选人会提供几个主题，由主考选择其中一个。黎曼的主考就是高斯。作为一位才华横溢的数学天才，黎曼列出了他所知道的几个正统题目，但他一时头脑发热，还提出了“关于几何学基础的假设”。高斯长期以来一直对此感兴趣，他自然选择了它来作为黎曼的考试题。

黎曼立刻后悔提出了一件如此困难的事。他对公开演讲深恶痛绝，也没有详细考虑数学的细节。他只是对弯曲空间有一些模糊但有趣的想法——在任意多个维度上。高斯凭借绝妙定理对二维空间所做的那些工作，黎曼希望在任意多个维度上重复。现在他必须做出结果，还得做得快。讲座迫在眉睫。这种压力几乎让他神经衰弱，而他白天的工作（帮助高斯的合作者威廉·韦伯进行电学实验）毫无帮助。好吧，也许有些帮助，因为当黎曼在白天的工作中思考电力和磁力之间的关系时，他意识到力可能与曲率有关。由此倒推，他可以使用力的数学来定义曲率，这正是他的考试所需要的。

1854年，黎曼发表了他的演讲，受到了热烈的欢迎。这也难怪。他定义了一个所谓的“流形”（manifold），意思是“多重折叠”（many-foldedness）。从形式上看，“流形”由一套有许多坐标的坐标系，以及计算附近点之间距离的公式（现在称为黎曼度量）确定。不那么正式地说，流形就是一个非常壮观的多维空间。黎曼演讲的高潮是一个推广了高斯绝妙定理的公式：它仅根据度量来定义流形的曲率。正是在这里，这个故事就像衔尾蛇一样形成了完整的闭环，吞下自己的尾巴：因为在这个度量中可以看到毕达哥拉斯的痕迹。

比方说有一个流形是三维的。设一点的坐标为，为附近一点，其中表示“变化一点点”。如果空间是欧氏空间，曲率为零，则这两个点之间的距离满足方程

这就是毕达哥拉斯定理，仅限于附近的点。如果空间是弯曲的，点到点的曲率可变，则类似的公式（也就是度量）如下所示：

这里的、、、、、可以取决于、、。它可能看起来有点儿绕，但就像毕达哥拉斯方程一样，它讲的是平方和（以及密切相关的两个量的积，如）再加上几个点缀。出现2倍是因为这个公式可以表达为的表（矩阵）：

其中、、各出现一次，但、、出现了两次。这张表是沿对角线对称的；用微分几何的语言来说，它是一个对称张量。黎曼对高斯绝妙定理的推广就是用这个张量来表达的任何一点上的流形曲率公式。在适用毕达哥拉斯定理的特殊情况下，曲率变为零。所以通过检验毕达哥拉斯方程是否成立，就可以检验曲率是否存在。

与高斯公式一样，黎曼的曲率表达式仅取决于流形的度量。被限制在流形上的蚂蚁可以通过测量微小的三角形并计算曲率来观察度量。曲率是流形的固有性质，与周围空间无关。实际上，度量已经确定了几何，而不需要周围空间了。特别是我们这些人类“蚂蚁”可以问问庞大而神秘的宇宙是什么形状，并希望通过一些不需要走出宇宙就能进行的观察来回答这个问题——因为我们也走不出去。

黎曼利用力来定义几何，找到了他的公式。五十年后，爱因斯坦将黎曼的思想翻转过来，用几何来定义他的广义相对论中的引力，并启发了关于宇宙形状的新思想（见第13章）。这一连串发现过程堪称惊人。毕达哥拉斯方程首次出现在3500年前，用于测量农民的土地。它拓展到非直角三角形和球面三角，让我们能够绘制大陆的地图并测量我们的星球。接下来一个杰出的推广让我们得以测量宇宙的形状。重要的思想来自小小的发端。