1.1　阿基米德和球的体积

1906 年, 约翰·路德维希·海伯格 (Johan Ludwig Heiberg) 在一本 13 世纪的祈祷书中发现了一部遗失的阿基米德著作——《力学定理的方法》(The Method of Mechanical Theorems). 书中阿基米德的文字是从一本约 10 世纪的手稿中抄来的, 字已经被擦拭掉, 以便重复使用羊皮纸. 幸好, 很多原先的字迹依稀可辨. 其中可读的部分在接下来的十年间被发表出来. 1998 年, 一位匿名收藏家以 200 万美元的价格收购了这份文本, 并将它保存在美国巴尔的摩的沃尔特斯艺术博物馆. 博物馆改善了文本的保存条件, 并使用现代科学工具对其进行解读.

现在人们已经知道,《力学定理的方法》是阿基米德写给同时代的数学家埃拉托斯特尼 (Eratosthenes) 的书, 里面阐述了计算面积、体积和力矩的方法. 书中展示了积分学的核心思想, 包括对无穷小量的运用, 只不过阿基米德在书写形式证明的时候隐藏了这些想法. 对于该手稿, 2003 年的一档 NOVA 节目声称

这是一部原本可以改变世界历史的书……如果人们能够早点儿发现它的秘密, 今天的世界就会变得非常不同.……没准儿我们早已登陆火星, 而且已经提前完成现在的人们在一百年之后才能做到的所有事情.(NOVA, 2003)

言外之意, 若世界没有在那几个世纪里遗失阿基米德的《力学定理的方法》, 微积分早就被发展出来了. 然而这是无稽之谈. 正如我们将看到的, 阿基米德的其他工作完全足以引领微积分的发展. 微积分的滞后发展不是因为人们对阿基米德的方法缺乏理解, 而是因为还需要发展出其他数学工具. 特别是, 学者们在我们现在所知的微积分方面取得实质性进展之前, 还需要发展出现代的代数符号语言及其在曲线问题中的应用. 直到 17 世纪早期, 这种语言及其在解析几何中的应用才得以发展完成. 即便如此, 将“穷竭法”转化为用于计算面积和体积的代数技术仍然耗费了数十年. 对于微积分的发展来说, 欧多克索斯、欧几里得和阿基米德的工作是很重要的, 但并非全都不可或缺, 而且仅凭这些工作远远不够.

阿基米德 (Archimedes of Syracuse, 约公元前 287—公元前 212) 是解决面积问题和体积问题的大师. 尽管他的准确出生年份已不可考, 但人们对他的卒年却再清楚不过了. 西西里和迦太基曾在第二次布匿战争 (公元前 218 公元前 201) 期间结盟, 在这场战争中, 汉尼拔 (Hannibal) 率领着他的象群翻越阿尔卑斯山进攻罗马. 罗马将军马塞勒斯 (Marcellus) 对当时的西西里首都叙拉古进行了长达两年的围攻. 身为大工程师, 阿基米德用他发明的各种武器帮助保卫这座城市，如爪钩、弹射器,甚至可能还发明了汇聚阳光以烧毁罗马战舰的反光镜. 罗马人最终突破了防线, 阿基米德在城池沦陷期间死去. 有一个也许是杜撰的故事, 说马塞勒斯将军曾试图将阿基米德带到安全的地方, 但是阿基米德太专注于数学计算, 因而并未跟随他离开.

在阿基米德的众多成就中, 他最引以为豪的就是发现了球的体积公式, 即一个球的体积是容纳该球的最小圆柱体积的三分之二 (图 1.1).

图 1.1　容纳球的最小圆柱

阿基米德非常珍视这个发现, 以至于他要求在自己的墓碑上刻一个球内切于圆柱的图案, 并标注出比例 . 百年之后, 当西塞罗 (Cicero) 游历叙拉古之时, 依然能看到这个墓碑.1为弄清它为什么告诉了我们关于球体积的通常公式, 设 为球的半径. 容纳该球的最小圆柱的底面半径为 , 高为 , 所以

1Dijksterhuis, 1956, p.32.

圆柱的体积 半径 高

该数值的三分之二是 , 恰好是球的体积.

阿基米德向埃拉托斯特尼解释 (我进行了一些加工), 他将球面看作由圆绕其直径旋转一周所得, 而且设想球体由垂直于该直径的薄片堆积而成. 首先构造以 为直径的圆 (图 1.2). 记 为直径上任意一点, 过 作直径的垂线交圆于点 . 如果我们将圆及其内部绕着直径 旋转一周, 则过点 且垂直于直径的薄片是一个面积为 、厚度为无穷小量 的圆盘. 所有圆盘的体积之和可以表示为

球的体积

图 1.2　以 为直径的圆

然后阿基米德借助了一点儿简单的几何知识. 由勾股定理, . 且因为 是直角, 所以三角形 和三角形 相似, 故

或

综上所述,

取同一直径 , 并在直径上的每一点 处作直径 的垂直延伸线到点 , 使得 , 可得一个等腰直角三角形 (图 1.3). 将三角形绕轴 旋转一周, 可得一个高为 、底面半径为 的圆锥. 和式 表示这个圆锥的体积. 而圆锥的体积等于 , 或者按照阿基米德那时候的理解, 圆锥的体积等于容纳球体的最小圆柱体积的 倍, 其中最小圆柱的高为 , 底面半径为 . 由此, 他建立了关系式

球的体积 容纳球的最小圆柱的体积

图 1.3　圆和等腰直角三角形

等号右边的和式本身比较难算. 阿基米德利用力矩干净利落地完成了推导.2 力矩的一个用途是确定平衡, 它是物体的质量与其到支点距离的乘积. 若杠杆上两个质量不同的物体产生的力矩相等, 也即, 若它们的质量之比与它们到支点的距离之比成反比 (图 1.4), 杠杆就可以保持平衡. 阿基米德要算的是体积, 而不是质量, 但若物体的密度相同, 则体积之比就等于质量之比. 我们将等号左边的两个体积都乘上 , 并将对应的物体妥善地安置在支点左边且与支点距离为 的位置 (图 1.5).

2可以避免使用力矩, 用现代方法计算和式 . 过程如下:



以 为一直角边的等腰直角三角形的面积 .

但是问题在于, 阿基米德是想不到这种方法的. 因为在他那个年代, 圆周率并未用符号 来表示,“提取出 ”的操作自然无从谈起. 对于阿基米德来说,“ 乘以某个量的平方”表示一个圆的面积, 这种表达式是不能被拆开的.

图 1.4　若 , 或等价地说, , 则与支点距离为 的重物 能与支点距离为 的重物 保持平衡

图 1.5　球和圆锥与厚圆柱保持平衡

将等式右边也乘以 , 得到

是一个半径为 、厚度为 的圆盘的体积. 将它乘以 表示把该圆盘放置在距离支点 的位置所产生的力矩. 所有圆盘产生的力矩之和等于一个厚圆柱产生的力矩, 该厚圆柱的底面半径为 , 其一个底面紧贴支点, 另一个底面在支点右边, 与支点的距离为 (图 1.5). 因为厚圆柱的粗细是均匀的, 所以所有小圆盘产生的总力矩等于将厚圆柱的质量集中在距离支点 的位置所产生的力矩. 厚圆柱的底面半径为 , 是容纳球体的最小圆柱底面半径的两倍, 故厚圆柱的体积是容纳球体的最小圆柱体积的四倍.

现在我们使用体积之比等于质量之比, 且质量之比为物体到支点距离之比的反比的事实, 得到

由上式可得欲证结论

球的体积 圆柱的体积.

这样的论证足以说服同时代的数学家, 但其严格性尚达不到可发表的程度. 阿基米德会接着在他的《论球与圆柱》(On the Sphere and Cylinder) 中提供一个严格证明, 但是我不会介绍那个错综复杂的论证, 而是通过介绍阿基米德所处理的一个简单得多的例子, 来说明相同的实质. 这个例子就是圆的面积公式.