第1讲　系统与实验
Lecture 1　Systems and Experiments

莱尼和阿特漫步进入希尔伯特之地。

阿特：这是什么鬼地方，《阴阳魔界》(3)里描述的场景吗？还是什么游乐园？我已经晕头转向了。

莱尼：放松！你会适应的。

阿特：哪边是上？

奇异的量子力学

是什么让量子力学如此特别？为什么它会那么难以理解？人们很容易归罪于“它在数学方面太难”，这样说也有一些道理，但远非全部。物理学家之外的很多人也能精通经典力学和场论，所需的数学知识同样也很难。

量子力学研究的是微观粒子的运动规律，对于我们人类来说它们太小了，所以很难通过视觉感知。从尺度上来讲，单个原子大致接近了量子尺度的上限，而电子更是一个经常被研究的对象。我们的感觉器官中，没有任何一部分构造能够察觉出电子的运动，我们所能做的就是把电子和电子的运动理解为一种数学抽象。

“那又怎样？”持怀疑态度的人可能会问，“经典力学中也充满了各种数学抽象啊，比如质点、刚体、惯性系、位置、动量、场、波等，可以一直罗列下去。数学抽象可是一点都不新鲜啊。”实际上这正说到了点子上，确实，经典力学和量子力学在一些重要的地方上是共通的，但两者在两个方面有所不同：

1．不同的抽象方式：量子力学的抽象与经典力学的抽象有着根本上的差异。比如量子力学中对态（state）的理解，与经典力学中所对应的内容是完全不同的。为了表征量子态，要使用不同的数学对象，以及不同的逻辑结构。

2．态与测量：在经典力学世界中，一个系统的态，与对这个系统测量的结果之间的关系是直接明了的，甚至可以说是毫不重要的。描述一种态所用的符号（例如一个粒子的位置和动量），与测量该态所使用的符号是同一个。换一种说法就是，我们可以通过一次实验的测量来得到某个系统的态。但这在量子的世界里是行不通的，态与测量是两回事，两者的关系既微妙，又反直觉。

这些观念尤为关键，我们将会多次进行论述。

自旋与量子比特

粒子物理学中引入了“自旋”（spin）这一概念。除了空间中的位置，粒子还有其他属性，比如，它们可以带电，也可以不带电；可以有质量，也可以没有。一个电子当然不同于一个夸克或者一个中微子。但即便是同类型的粒子，只用位置并不能描述它的全部信息。还是来说说电子吧，电子拥有一个额外的自由度，被称作自旋。从最朴素的角度来说，自旋可以图像化为一个带指向的小箭头，但这个朴素图像过于经典，无法精确地表现真实的情况。电子的自旋大概是最具量子力学味道的物理系统了，对它进行的任何经典力学图像化的尝试都将不得要领。

我们可以抽象出自旋这一思想，然后忘掉它原本是附着在电子上的，量子自旋本身就是一个值得研究的系统。实际上，这个从电子身上剥离下来的量子自旋，正是最简单又最具特色的量子系统。

孤立的量子自旋正好给出了一类简单系统的例子，我们称之为量子比特（qubit），它在量子世界中扮演的角色恰如计算机中用来定义状态的逻辑比特。很多系统，甚至可能是所有系统，都能通过量子比特的组合方式来构造。因此在学习它的时候，我们同时也在学习更多量子比特之外的内容。

实验，以及不断重复

让我们用尽可能简单的例子来具体化这一思想。在《理论最小值：经典力学》的第1讲中，我们的讨论始于一个非常简单的确定性系统：一枚硬币，它只能显示正（H）或反（T）两个面。我们称其为带有H和T两个态的双态系统，或者比特。更加形式化地，我们引入一个“自由度”σ，它可以取两个值：+1和-1。H态可以表示为：

σ=+1

而T态则可以表示为：

σ=-1

在经典力学中，这就是态空间的全部内容。系统要么处于态σ=+1，要么处于态σ=-1，不会处于两者之间。在量子力学里，我们认为这样的系统是一个量子比特。

《理论最小值：经典力学》也讨论了一些简单的演化定律，它告诉我们态如何从一个时刻变化到另一个时刻。最简单的定律就是没有任何变化，如果我们从某个离散的时刻n进行到下一个时刻n+1，演化的规律可以写作：

现在让我们挖出在《理论最小值：经典力学》中未被关注的隐藏假设：一次实验中涉及的东西超出被研究的系统本身，还包括了用于测量的仪器和测量结果的记录。对于双态系统来说，仪器会和（自旋）系统相互作用，并记录σ的值。把仪器想象成一个黑箱(4)，黑箱有一个用来显示测量结果的窗口，外边还有一个向上的箭头。向上的箭头很重要，它表示了仪器自己在空间中的指向，而这个指向将会影响测量结果。我们先让它指向z轴方向（如图1-1所示）。初始时，我们并不知道是σ=+1还是σ=-1，我们的目的就是做一个实验来找到σ的取值。

在仪器和自旋发生相互作用之前，窗口是空白的（在图中标记为问号），当对σ进行了测量之后，窗口显示出+1或者-1。通过读取仪器，我们就能测量出σ的数值。这一整套过程就构成了一个用于测量σ的非常简单的实验。

现在我们已经测量过一次σ了，然后把仪器重置到初态，而不去扰动自旋，再次测量σ的数值。假设演化定律遵从公式1-1，我们应该得到和第一次相同的结果。如果之前为σ=+1，第二次还是σ=+1；反之都是σ=-1。无论重复多少次测量，结果都将是一样的。这是件好事，因为可以用这种方法来确认实验的结果。换句话说就是：与仪器的第一次相互作用把系统制备到了两个态中的一个，后续的实验则确认了这个态。到目前为止，经典物理学和量子力学之间还没有差别。

接下来让我们玩点新东西。在使用仪器测量自旋，也就是制备好系统之后，我们将仪器倒置，再次测量σ（如图1-2所示）。如果原先制备的是σ=+1，我们会发现倒置的仪器测量的结果是σ=-1。类似地，如果原先是σ=-1，倒置的仪器记录的是σ=+1。换句话说就是，倒置仪器使得σ=+1和σ=-1发生对换。根据这些结果，我们可以得出结论：σ是一个与空间方向相关的自由度。举例思考，假如σ是某种带指向的矢量，那么我们很自然地期待倒置仪器会得到一个相反的读数。有一个简单的解释是：仪器所测量的正是矢量在该仪器内嵌方向轴上的分量。但这样的解释在所有的情况下都说得通吗？

如果我们认定自旋是一个矢量，那我们就可以很自然地使用三个分量σx、σy和σz来描述它。当把仪器指向上方时，我们就是在测量σz。

到目前为止，量子力学和经典力学之间还没有差别。只有当我们把仪器转动到某个任意的角度时差别才出现，比如弧度π/2（90°）。仪器在开始时指向上方（向上箭头指向z轴方向），自旋被制备到σ=+1。接着转动仪器使得向上箭头指向x轴方向（如图1-3所示），这自然是在测量自旋的x分量σx。

如果σ真的代表一个矢量在向上方向上的分量，那结果应该为0。为什么呢？起始时我们可以确定σ是指向z轴方向的，自然说明它在x轴上的分量为0。但令我们惊讶的是，我们测出的σx并不是σx=0，而是σx=+1和σx=-1两者中的一个。无论仪器被转到了什么方向，它都绝对不会给出σ=±1之外的任何答案。如果自旋真的是个矢量的话，那也算是非常奇特的一个了。

尽管如此，我们还是发现了一些有趣的东西。假定我们依照下列步骤重复操作很多次，即：

·　开始时指向z轴方向，制备到σ=+1。

·　把仪器旋转到x轴的方向。

·　测量σ。

重复这个实验，仪器将吐出一串包含+1和-1的随机序列。也就是说，决定论（determinism）被打破了，而且是以一种特别的方式打破的。如果我们重复的次数非常多，就会发现σ=+1的事件数和σ=-1的事件数在统计上是一样多的。换句话说，σ的平均值是0。经典的结果应该是σ在x轴上的分量为0，我们发现这个结论要被取代，变成：多次重复实验的平均值为0。

现在，我们把整个过程再做一遍，这次我们把转到x轴之外的一个任意方向上，记作单位矢量(5)。在经典力学中，σ是个矢量，我们可以期待实验的结果是σ在方向上的分量。如果与z轴的夹角是θ的话，经典的答案将是σ=cosθ。你可能猜到了，每一次我们的实验结果都是σ=+1或者σ=-1，但它们的统计结果会偏重于其中之一，其平均值为cosθ。

当然，条件可以放得更宽些。我们可以不限制的初始方向。随便选一个方向，并将向上箭头指向这个方向，制备一个自旋，使仪器的读数为+1，然后在不扰动自旋的情况下将仪器旋转到方向（如图1-4所示）。对于相同的自旋，每次实验都会给出一个随机的结果±1，其平均值是与夹角的余弦，也就是说，平均值为(6)。

量子力学中标记一个物理量Q统计平均值的方法是使用狄拉克符号（Dirac’s bracket）(7)〈Q〉。利用它，我们可以这样来描述实验和结果：如果开始时指向的方向，并且确认了σ=+1，然后指向，测量的统计结果写作：

至此，我们学到了量子力学系统是非确定性的，这意味着实验的结果可能是随机的，但在重复一个实验很多次之后，物理量的平均值，至少在一定程度上可以符合经典物理学的预期。

没有实验是“轻柔”的

任何实验都必须通过一个外部系统，或者说一部仪器，与系统本身相互作用来记录结果。从这个意义上说，每次实验都是对系统的一种“侵犯”。对于经典物理学和量子力学都是如此，但只有对量子力学，这才是一个大问题。为什么这么说呢？在经典物理学中，一个理想的实验仪器对它所测量系统的影响小到难以察觉。经典的实验可以变得任意的“轻柔”，同时还能保持精度，实验的结果也能够多次重现。例如，箭头的方向可以通过聚焦反射回来的光所成的像来确定。同时，毋庸置疑，所用光的波长一定要足够小。使用任意微弱的光来成像，这在经典物理学中算不得什么。也就是说，光的能量可以想要多小就有多小。

在量子力学中，情况则有着根本性的不同。任何强到足以测量系统中某个性质的相互作用，也必定足以破坏该系统的其他属性。因此你无法在了解一个量子系统的同时，却不改变任何东西。

我们在包含和σ的实验中很明显地能够看出这一点。假设仪器一开始指向z轴方向，令σ=+1。如果之后还用沿着z轴测量σ的话，我们只会不断确认之前的数值，可以一遍又一遍地去做，不会有任何的改变。接下来考虑这样的可能性：在两次测量指向z轴方向的结果之间，我们把旋转90°，测量一次，然后再转回来。那么接下来指向z轴方向的测量结果一定与最初的结果一致吗？答案是否定的。中间的那次指向x轴方向的测量让自旋进入完全随机的方向，直到下一次测量发生为止。没有办法在不扰动最终结果的前提下做一次中间测量。也就是说，对自旋的其中一个分量的测量会毁掉其他分量的信息。实际上，人们无法同时知道一个自旋在两个不同轴上的分量，而且在任何条件下都没有可以重复出来的方法。这是量子力学中的态与经典物理学中的态的根本不同之处。

命题的真相

经典物理学中的态空间是一个数学集合。如果是硬币系统，态空间是含有两个元素H和T的集合。使用集合的记号，我们可以标记为{H，T}。如果系统是6个面的骰子，那么态空间有6个元素，标记为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。集合论遵从布尔逻辑（Boolean logic），而布尔逻辑是我们熟知的命题逻辑的形式化版本。

布尔逻辑中的基本思想在于“真值”（true value）的概念。一个命题的真值只能取真或者假，不容许介于真假之间。在集合论里，与之相关的概念是子集。粗略地说，一个命题为真，是指所有元素都包含在它所对应的子集里；反之为假，也就是所有的元素都不在它的子集里。例如，如果用集合代表骰子可能的状态，就可以考虑如下命题：

A：骰子的数值为奇数。

对应的子集包含有三个元素{1, 3, 5}。

其他命题的情况为：

B：骰子的数值小于4。

对应的子集包含的元素有{1, 2, 3}。

每个命题都有它的反面，也叫负命题（negation）。例如：

非A：骰子的数值不是奇数。

这个负命题的子集是{2, 4, 6}。

简单命题按照一定的规则可以结合成复合命题，其中最重要的有“与”“或”“非”。我们刚刚看到的这个例子就是把“非”应用于一个子集或者命题上。“与”取其字面意思，它的应用对象是两个命题(8)。它意味着两个命题都要是真的。从元素的角度来说，“与”运算的结果是原来的两个子集的交集（共有部分）。在骰子的例子中，子集A和B的交集所包含的元素必须既是奇数又小于4。图1-5使用维恩图来解释这一点。

“或”的规则类似于“与”，但有一点微妙。在日常的语境中，“或”有表达互斥（exclusive）的意思，也就是说两个命题中只有一个是真的，而不能同时为真。然而在布尔逻辑中使用的“或”是相容的（inclusive），只要两个命题中的一个为真，则结果为真。比如如下事实：

爱因斯坦发现了相对论 或 牛顿是英国人。

在使用相容的“或”时，下面的命题也为真：

爱因斯坦发现了相对论 或 牛顿是俄国人。

只有在两个命题都为假的时候，相容的“或”才是假的，比如命题：

爱因斯坦发现了美洲(9) 或 牛顿是俄国人。

在集合论里相容的“或”，可以解释成两个集合的总和，也就是包含两个子集中的全部元素。回到骰子实验，（A或B）对应的子集是{1, 2, 3, 5}。

经典命题的检验

下面让我们回到简单的量子系统上，它只有一个自旋，我们用仪器来检验相关命题的真假。考虑如下的两个命题：

A：自旋的z分量为+1；

B：自旋的x分量为+1。

这两个命题中的每一个都是有意义的，并且能够通过旋转仪器到相应的方向来检验。每个命题的负命题也是有意义的。比如，第一个命题的负命题是：

非A：自旋的z分量为-1。

现在开始考虑下列复合命题：

（A或B）：自旋的z分量为+1或x分量为+1；

（A与B）：自旋的z分量为+1与x分量为+1。

我们如何来检验命题（A或B）呢？如果是经典的自旋（实际上当然不可能是），我们可以这样处理(10)：

·　轻柔地测量σz并记录其数值。如果是+1，我们就完成了测量。结果是命题（A或B）为真。如果σz是-1，继续下一步。

·　轻柔地测量σx并记录其数值。如果是+1，命题（A或B）为真。如果不是，这意味着σz和σx都不等于+1，所以（A或B）为假。

还有另一种方法，就是交换两次测量的顺序。为了强调顺序的颠倒，我们把它称为一个新的过程（B或A）。

·　轻柔地测量σx并记录其数值。如果是+1，我们就完成了测量。结果是命题（B或A）为真。如果σx是-1，继续下一步。

·　轻柔地测量σz并记录其数值。如果是+1，命题（B或A）为真。如果不是，这意味着σx和σz都不等于+1，所以（B或A）为假。

在经典物理学中，两次不同顺序操作的结果是一样的。因为测量的影响可以被任意地减弱，也就是总可以减弱到不影响下一次测量。因此命题（A或B）和（B或A）的意义是一样的。

量子命题的检验

现在我们进入之前描述的量子世界中。先来想象一个我们不知晓的人，或者某种东西，已经悄悄地制备好了一个自旋系统，该系统处于σz=+1的态。我们的工作就是使用仪器来判断命题（A或B）是真还是假。处理的过程尝试按照刚刚介绍的两步法。

我们先测量σz。显然系统已经被默默地设置好了，自然得到σz=+1的结果。不再需要第二步，（A或B）为真。尽管如此，我们还是再测一下σx，来看看会出现什么样的结果。答案是无法预测结果，我们发现结果随机地出现σx=+1或者σx=-1，但无论是哪一个结果，都不会改变命题（A或B）为真的事实。

接下来，让我们调换测量的顺序。就像之前那样，我们称这个相反的过程为（B或A），而且这一回，我们先测量σx。因为默认的设置是自旋沿着z轴取+1，所以对σx测量的结果是随机的。如果结果为σx=+1，我们完成实验，结果是（B或A）为真。但假如结果为σx=-1，也就是自旋的方向已经指向-x的方向。让我们在这里暂停一下，确保已经理解目前到底发生了什么。作为第一次测量的结果，自旋不再处于开始时σz=+1的态，它进入了一个新的态，要么是σx=+1，要么是σx=-1。请花点时间让这个想法在你的脑海中沉淀一下，不要低估它的重要性。

现在我们已经准备好进行命题（B或A）的第二部分检验了。旋转仪器到z轴方向，开始测量σz。根据量子力学，结果是随机产生+1或-1。这意味着有25%的概率，系统处于σx=-1并且σz=-1的态。也就是说，我们发现命题（B或A）为假的概率依然有1/4，罔顾系统在最开始的时候确确实实地被设置成了σz=+1的态。

很明显，在这个例子中，相容的“或”并不是对称的。（A或B）的真实性依赖于我们检验命题的顺序。这可不是个小问题，这意味着不仅量子力学的定律是不同于经典物理学的，甚至逻辑的基础也是不同的。

（A与B）的情况又会怎么样呢？假设我们的第一步测量得到的是σz=+1，而第二步是σx=+1，这当然是一个可能的结果，我们可以倾向于认为（A与B）为真。但在科学中，尤其是物理学中，一个真实的命题往往意味着能够被后续的观测所检验。然而，对于经典物理学而言，观测总是很微弱的，所以后续的观测不会改变之前的结果。一个正面向上的硬币不会因为被看了一眼就变成反面朝上，至少在经典物理学中不会。但在量子力学中，第二步的测量（σx=+1）将彻底毁掉重新验证第一步的可能性。一旦σx被制备到了x轴方向上，再去测量σz，得到的答案将是随机的，所以无法断定命题（A与B）的真实性，因为实验的后半部分会干涉前半部分确认的结果。

如果以前了解过一些量子力学知识的话，你会看出我们讨论的正是海森堡不确定性原理。海森堡不确定性原理不只可以应用于位置和动量（或速度）之间，还可以应用在很多成对的力学量之间。以自旋为例，它可以应用于σ的两个不同空间分量之间。而对于位置动量的情况，我们可以考虑如下两个命题：

·　某个粒子位于x处。

·　该粒子的动量为p。

这两个命题可以组合成如下两个复合命题：

·　粒子位于x处　与　粒子的动量为p。

·　粒子位于x处　或　粒子的动量为p。

比较尴尬的是，上面两个命题无论在日常语言中，还是经典物理学中都是有意义的命题；而在量子力学中，第一个是完全没有意义的（甚至都谈不上对还是错），而第二个虽然有意义却和你想象的意思相去甚远。这源于经典与量子之间对系统态的概念在深层次逻辑上的差异。对于量子态的概念的解释需要补充一些抽象数学知识，所以让我们暂时停下来，先去介绍一些复数和矢量空间的内容，等到后面我们研究自旋态的数学表达的时候，就会更容易理解为什么我们需要运用复数。

数学补充：复数

学习过“理论最小值”课程并一直学习到这里的每一个人都应该知道复数。但我们还是要用一点篇幅来重复一些要点。如图1-6所示为一些复数的基本要素。

一个复数z是一个实数加上一个虚数。可以写作：

z=x+iy

其中的x和y是实数，而i2=-1，复数可以按照标准的代数法则进行加法、乘法和除法操作。并且复数可以图像化为复平面上的点，坐标是x和y。同样它也能在极坐标中进行表示：

z=reiθ=r(cos θ+isin θ)

复数的求和很容易通过分量的形式来完成，只要分量分别相加即可。类似地，在极坐标中，乘法计算非常容易，也就是半径相乘，角度相加，如下式所示：

每个复数z都有它的复共轭（complex conjugate）z*，它很容易得到，只需把虚部前边反号即可，对于以下复数：

z=x+iy=reiθ

其复共轭是：

z*=x-iy=re-iθ

一个复数和它的复共轭相乘总会得到一个实数：

z*z=r2

复共轭本身也是复数，但是把z和z*认为属于各自独立的对偶系统是很有用的。所谓对偶的意思是每一个z都对应唯一的一个z*，反之亦然。

有一类特殊的复数我们称之为“相因子”，相因子是r分量恒为1的复数。如果z是相因子，那么它有如下的一些表达式：

z*z=1

z=eiθ

z=cos θ+isin θ

数学补充：矢量空间

公理

对于经典物理学，态空间是所有可能的态的集合，同时经典物理学遵从布尔逻辑，这样的思路是很明显的，很难设想还有其他可能。可是真实的世界却行走在另一条路上，至少在量子力学不可被忽视的时候。量子系统的态空间不是一个数学集合(11)，而是一个矢量空间。矢量空间中元素的相互关系与集合中元素之间的关系并不相同，遵从的逻辑也不相同。

在介绍矢量空间之前，我们需要弄清楚矢量这个术语的含义。众所周知，我们使用矢量这个术语去描述一个具有大小和方向的量，它有三个方向，对应空间中的三个维度。现在希望你完全忘记这些。从现在开始，当我们提到在通常的空间中具有大小和方向的量时，将明确地使用“3-矢量”这个词。而数学上的矢量空间是一个抽象的构造，它可以是通常我们熟悉的那个空间，也可以不是。它可以有很多维度，从一到无穷大，它的分量可以是整数、实数甚至更常规的东西。

我们用来定义量子力学的矢量空间被称为希尔伯特空间，我们不会在这里给出它的数学定义，不过你可能要把这个术语加到你的字典里了。当你在量子力学里遇到希尔伯特空间这个词时，它指的是态空间。希尔伯特空间可以是有限维的也可以是无限维的。

在量子力学中，一个矢量空间是由元素来组成的，叫作右矢量（ket-vector），或者直接叫作右矢（ket）。我们将用下面的几条公理来定义一个量子系统的矢量空间（z和ω是复数）：

1．任意两个右矢量的和还是右矢量：

2．矢量加法满足交换律：

3．矢量加法满足结合律：

4．存在唯一的零矢量，使任何右矢量与之求和都等于该右矢量本身：

5．给定任意的右矢量，都有唯一的右矢量满足：

6．给定任意的右矢量和任意复数z，它们相乘可以得到一个新的右矢量，同时右矢量与标量的乘法是线性的：

7．满足分配律：

公理6和公理7经常统称为线性公理。

一般的3-矢量都满足除公理6以外的上述公理。公理6描述了一个矢量与任意一个复数相乘的情况。而通常的3-矢量要乘以一个实数（正数、负数或者0），它与复数的乘法没有定义。可以认为3-矢量形成的是一个实矢量空间，而右矢量形成的是复矢量空间。我们这里的右矢量定义是相当抽象的，后文将看到右矢量还有很多具体的表示方式。

函数与列矢量

关于复矢量空间，让我们看一些具体的例子。首先考虑一个自变量为x的连续复函数，记为A(x)。用任意两个函数做加法，并用复数相乘，你会发现它满足上面所有7条公理。这是一个明显的例子，说明了我们所讲的东西要比三维箭头更具一般性。

另外一个例子是两维的列矢量。通过堆叠一对复数α1和α2就能构造一个列矢量：

这个堆叠就是一个右矢量，而复数α是的分量。两个列矢量的和等于它们分量的求和：

将列矢量乘以一个复数z，等于分别乘以其分量：

可以构造任意维度的列矢量，例如一个5维的列矢量：

正常情况下，我们不会混用不同维度的矢量。

左矢量与右矢量

正像我们看到的那样，每个复数都有一个对偶的复数，就是它的复共轭。同样，复矢量空间也有自己的对偶空间，那正是复共轭矢量空间。对每一个右矢量，在对偶空间中都存在一个左矢量，或者叫左矢（bra），记为。为什么使用这么奇怪的记法呢？简单来说，后边我们将要定义左矢量和右矢量的内积，形式上是bra-ket，表达式为。内积是量子力学中极其重要的数学武器，通常用来描述矢量空间。

像右矢量一样，左矢量也满足同样的公理。关于左矢量和右矢量的对应要记住下面两点：

1．假设是对应于右矢的左矢量，而是对应于右矢量的左矢量，则对应于右矢量的左矢量为：

2．如果z是复数，对应于右矢量的左矢量并不是。一定要记得使用复共轭，所以对应于右矢量的左矢量是：

在另一个具体的例子中，右矢量用列矢量表示，而对偶的左矢量则用行矢量表示，且每一项都改成复共轭。也就是说，如果右矢量表示为列矢量：

那么对应的左矢量表示为行矢量：

内积

无疑，你熟悉定义在3-矢量之间的点积，那么类比到左矢量和右矢量上的操作就是内积。内积就是左矢量和右矢量的乘积，写作：

这个操作的结果是一个复数。关于内积的公理如下：

1．内积是线性的：

2．对应于它的复共轭，须交换左矢量和右矢量：

Quantum Mechanics　量子力学练习

练习1-1：

a)运用内积的公理证明

b)证明是一个实数。

当用行矢量和列矢量来表示左矢量和右矢量时，内积可以定义成其分量的形式：

本质上，内积的运算规则和点积是一样的，计算内积就是将两个矢量对应分量乘积求和。

Quantum Mechanics　量子力学练习

练习1-2：证明公式1-2定义的内积满足所有关于内积的公理。

使用内积，我们可以定义一些3-矢量中熟知的概念。

·　归一化矢量（normalized vectors）：一个与自身内积的结果等于1的矢量被称为归一化矢量。归一化矢量满足

对于通常的3-矢量，归一化矢量常常也被叫作单位矢量，因为其长度是单位1。

·　正交矢量（orthogonal vectors）：如果两个矢量的内积为0，则称为两者正交。即

类比于3-矢量的情况，正交就是点积为零。

正交基底

回到通常的3-矢量的情况，引入3个互相正交的单位矢量是非常有用的，它们可作为构造任意矢量的基底。举一个简单的例子：分别指向x、y、z轴方向的3个矢量，我们通常把它们叫作、和，它们的长度都是1，而且是彼此正交的。如果你想要找到与它们垂直的第4个矢量，那将是徒劳的，这在三维空间中是不可能的。但在更高维度的空间中，就会有更多的基底矢量。空间的维度可以用最大的相互正交矢量的数目来定义。

很明显，x、y、z轴并没有什么特殊之处，只要基底矢量具有单位长度并且相互正交，它们就构成正交基底。

同样的原则也可以用在复数空间中。你可以从任意的一个归一化矢量开始寻找下一个与它正交的矢量，如果真的找到了，说明空间至少是二维的，然后找第3个、第4个等。最后你会用光所有新的方向，也就没有了任何新的可以正交的选择。这个最大的相互正交的矢量的数目就是空间的维度。对于列矢量来说，维度等于这一列中数字的个数。

让我们考虑一个N维的空间，其中定义好了一组右矢量正交基底，记为，其中i取值从1到N(12)。那么对于一个右矢量，就能写成：

这里αi是复数，被称为矢量的分量，我们可以使用左矢量对上式两边同时取内积来计算这些分量：

因为基底相互正交，所以只要i不等于j时，=0，而i等于j时，。换言之，。这样一来，公式1-4中的求和就只剩下一项：

从这里我们能够看出一个矢量的分量正是它与基底的内积。公式1-3就可以表达成更加优雅的形式：