§1.2　几何与经济方面函数关系式

由于主要用公式法表示函数，因此建立函数关系式就是找出函数表达式．

1．几何方面函数关系式

（1）矩形面积S等于长x与宽u的积，即

特别地，正方形面积S等于边长x的平方，即

（2）长方体体积V等于底面积（矩形面积）S与高h的积，即

（3）圆柱体体积V等于底面积（圆面积）πr2（r为底半径）与高h的积，即

侧面积（相当于矩形面积）S等于底周长2πr与高h的积，即

例1　欲围一块面积为216m2的矩形场地，矩形场地东西方向长xm、南北方向宽um，沿矩形场地四周建造高度相同的围墙，并在正中间南北方向建造同样高度的一堵墙，把矩形场地隔成两块，试将墙的总长度Lm表示为矩形场地长xm的函数．

解：已设矩形场地长为xm、宽为um，如图1-3．

图1-3

由于矩形场地面积为216m2，因而有关系式xu＝216，即

所以墙的总长度

例2　欲做一个底为正方形、表面积为108m2的长方体开口容器，试将长方体开口容器的容积Vm3表示为底边长xm的函数．

解：已设长方体开口容器底边长为xm，再设高为hm，如图1-4．

图1-4

由于长方体开口容器表面积为108m2，它等于下底面积x2与侧面积4xh之和，因而有关系式x2＋4xh＝108，即

所以长方体开口容器容积

由于底边长x＞0；又由于高h＞0，即，得到，因而函数定义域为

例3　欲做一个容积为V0的圆柱形封闭罐头盒，试将圆柱形封闭罐头盒表面积S表示为底半径r的函数．

解：已设圆柱形封闭罐头盒底半径为r，再设高为h，如图1-5．

图1-5

由于罐头盒容积为V0，因而有关系式πr2h＝V0，即

由于上、下底面积分别为πr2，侧面积为2πrh，所以圆柱形封闭罐头盒表面积

2．经济方面函数关系式

（1）在生产过程中，产品的总成本C为产量x的单调增加函数，记作

它包括两部分：固定成本C0（厂房及设备折旧费、保险费等）、变动成本C1（材料费、燃料费、提成奖金等）．固定成本C0不受产量x变化的影响，产量x＝0时的总成本值就是固定成本，即C0＝C（0）；变动成本C1受产量x变化的影响，记作C1＝C1（x）．于是总成本

（2）在讨论总成本的基础上，还要进一步讨论均摊在单位产量上的成本．均摊在单位产量上的成本称为平均单位成本，记作

（3）产品全部销售后总收益R等于产量x与销售价格p的积．若销售价格p为常数，则总收益R为产量x的正比例函数，即

若考虑产品销售时的附加费用、折扣等因素，这时作为平均值的销售价格p受产量x变化的影响，不再为常数，记作p＝p（x），则总收益

（4）产品全部销售后获得的总利润L等于总收益R减去总成本C，即

（5）销售商品时，应密切注意市场的需求情况，需求量Q当然与销售价格p有关，此外还涉及消费者的数量、收入等其他因素，若这些因素固定不变，则需求量Q为销售价格p的函数，这个函数称为需求函数，记作

一般说来，当商品提价时，需求量会减少；当商品降价时，需求量就会增加．因此需求函数为单调减少函数．

在理想情况下，商品的生产既满足市场需求又不造成积压．这时需求多少就销售多少，销售多少就生产多少，即产量等于销售量，也等于需求量，它们有时用记号x表示，也有时用记号Q表示．本门课程讨论这种理想情况下的经济函数．

例4　某产品总成本C万元为年产量xt的函数

其中a，b为待定常数．已知固定成本为400万元，且当年产量x＝100t时，总成本C＝500万元．试将平均单位成本万元／t表示为年产量xt的函数．

解：由于总成本C＝C（x）＝a＋bx2，从而当产量x＝0时的总成本C（0）＝a，说明常数项a为固定成本，因此确定常数

再将已知条件：x＝100时，C＝500代入到总成本C的表达式中，得到关系式

从而确定常数

于是得到总成本函数表达式

所以平均单位成本

例5　某产品总成本C元为日产量xkg的函数

产品销售价格为p元／kg，它与日产量xkg的关系为

试将每日产品全部销售后获得的总利润L元表示为日产量xkg的函数．

解：生产xkg产品，以价格p元／kg销售，总收益为

又已知生产xkg产品的总成本为

所以每日产品全部销售后获得的总利润

由于产量x＞0；又由于销售价格p＞0，即，得到0＜x＜138，因而函数定义域为0＜x＜138．

上述讨论的目的不仅是建立几何与经济方面函数关系式，而是在此基础上继续研究它们的性质，其中一个主要内容是求它们的最值点，即讨论几何与经济方面函数的优化问题：在例1中，矩形场地长x为多少时，才能使得墙的总长度L最短；在例2中，长方体开口容器底边长x为多少时，才能使得容器容积V最大；在例3中，圆柱形封闭罐头盒底半径r为多少时，才能使得罐头盒表面积S最小；在例4中，年产量x为多少时，才能使得平均单位成本－C最低；在例5中，日产量x为多少时，才能使得每日产品全部销售后获得的总利润L最大．这种问题将在§3﹒7得到解决，在这种意义上，建立几何与经济方面函数关系式是为§3﹒7做准备的．