古代数学

古巴比伦数学

幼发拉底河和底格里斯河流域的肥沃谷地是人类文明的发祥地之一。此地人类的历史起始于迦勒底亚（Chaldaea）和巴比伦尼亚（Babylonia）的一个由解体部落建成的王国。通过解读cuneiform或者说楔形文字，我们现在已经对当地的远古史有了深入了解。

关于古巴比伦数学，我们从数字表示法说起。在古巴比伦数字中，垂直的锲子代表“1”,和分别表示“10”和“100”。格罗特芬德（Grotefend）认为“10”的符号原本是两只祈祷时压在一起的手掌，四指并拢，大拇指伸出。古巴比伦数字表示法应用了两大法则——加法法则与乘法法则。小于100的数字需要用多个符号的值相加来表示。因此，表示“2”,表示“3”,表示“4”,表示“23”,表示“30”。此处，高位符号始终在低位符号的左侧。另一方面，在写百位数时，在“100”左侧放置了一个较小的符号，并且在这种情况下要乘以100。因此，代表“10”乘以“100”，或者“1000”。但是代表“1000”的数字也被用于表示一个新单位，同样，在其左侧也需要放置一个较小的系数。因此，表示的不是“20”乘以“100”而是“10”乘以“1000”。在尼普尔（Nippur）的古代神庙图书馆的碑文上发现的一些楔形数字大小超过100万；此外，其中一些尼普尔数位板应用了减法法则（“20-Ⅰ”），类似于罗马符号“ⅩⅨ”中所示。

像大多数权威专家所认为的那样，古苏美尔人是楔形文字的发明者，那么他们很可能也是数字表示法的发明者。在这方面，最令人惊讶的是，苏美尔碑文不仅揭示了上述十进制的用法，而且还介绍了六十进制的用法。后者主要用于构建度量衡表，历史意义重大。它在整数和分数表示上的重要发展，表现出了对数学高度的洞察力。现存的两块巴比伦石碑展示了其用途。其中之一可能写于公元前2300年至前1600年之间，其中包含最高达602的表。数字1、4、9、16、25、36、49分别作为前七个整数的平方给出。之后是1·4=82, 1·21=92, 1·40=102, 2·1=112。这一部分目前仍然无法解读，除非我们假设这是六十进制运算。如果是这样的话，则有1·4=60+4, 1·21=60+21, 2·1=2·60+1。第二个石碑记录了月亮从新月到满月期间月相的大小，整个月盘被分为240份。前五天的月相为等比数列5, 10, 20, 40, 1·20（=80）之后，该数列变成等差数列，从第五天到第十五天分别是1·20, 1·36, 1·52, 2· 8, 2·24, 2·40, 2·56, 3·28, 3·44, 4。这个表不仅展示了六十进制的用法，还说明了巴比伦人对数列的熟悉。不容忽略的是，整数的六十进制表示法中遵循了“位值制”。因此，在“1·4（=64）”中，“1”相对于“4”的位置使它代表二阶单位“60”。引入这一原则的时间之早更加引人注目了，因为十进制中直到9世纪才固定引入这一原则。位值制原则在广泛、系统的应用中需要代表零的符号，那我们不禁要问，古巴比伦人有零吗？他们是否取得如此重大的突破，使用符号零表示单位的不存在？上述量表都没有回答这个问题，因为它们碰巧没有包含需要使用零的数字。古巴比伦在许多世纪后——约公元前200年的一份记录中包含了一个零符号，表示没有数字，但显然没有用于计算。它包含两个角度符号，一个在另一个之上，大致类似于仓促写成的两个点。大约在公元130年，亚历山大的托勒密（Ptolemy，见图1-1）在《天文学大成》（Almagest）中使用了古巴比伦的六十进制分数，并使用希腊字母欧米克隆“O”（omicron）代表六十进制位数中的空缺。“O”并非作为常规的零使用。因此，从前面看来，古巴比伦人采用了位值制，并用零符号表示空位，但是并未将其用于计算。他们的六十进制分数被引入印度，位值制原则以及对零的有限使用可能也一并流传过去。

图1-1 托勒密

古巴比伦分数中也应用了六十进制。在古巴比伦碑文中，和分别由30和20表示，碑文的作者似乎认为，读者会自行在数字前加上“六十分之”。天文学家希帕克（Hipparchus）、几何学家希普西奇（Hypsiclcs）和天文学家托勒密借用了古巴比伦人的六十进制分数，并将其引入希腊。从那时起，六十进制分数在天文和数学计算中几乎占据了主导地位，直到16世纪被十进制取代。你可能会问，为什么会发明六十进制？为什么是60而不是其他数字？对此，目前尚无确切答案。十进制选择了数字10，是因为10代表我们手指的数目。但是，人体没有哪部分和60有关。那么，六十进制可能是起源于天文学吗？有一种说法是，起初，古巴比伦人推算，1年有360天，因此他们将圆划分成360份，每1度代表太阳每天绕地球旋转的量。他们可能也非常清楚，可以在圆周上作长度等于半径的6条弦，每条弦都恰好对应一个60度的弧度。可能当他们在思考这些角度时，产生了逢六十进一位的想法。因此，当计算精度要求提高，需要对度进一步细分时，1度被划分为60分。这样一来，六十进制在之前某个时间点应该已经出现。但是，现在已经知道，巴比伦人很早就知道1年不止360天。而且，他们极不可能首先选择360位，然后选择60位。正常情况下，数字系统应该是从低位发展到高位。另一种猜想是，六十进制是早期六进制和十进制的混合后的结果。毫无疑问，六十进制系统同天文学和几何学关系密切。古巴比伦人将1天分为24小时，1小时分为60分钟，1分钟分为60秒。有充分证据表明，他们认为1天也可以分为60小时。在数字符号、分数、角度和时间计量中应用六十进制展现了一种优美的和谐，数千年来一直未受破坏。直到印度数学家和阿拉伯天文学家开始使用正弦和余弦表示部分弦，结果，新的角度单位直角出现了。为了保持一致，本来应该将其按六十进制细分，但实际上并未如此处理。

如此看来，底格里斯-幼发拉底盆地的人们在算术上取得了非常可观的成就。他们的等差和等比数列知识我们已讨论过。杨布里柯（Iamblichus）认为，他们还发现了比例知识，甚至还有所谓的音乐比例。另外，虽然没有确凿的证据，但我们仍然有理由相信，他们在计算中使用了算盘。在中亚各种族中，甚至远至中国，算盘的历史都与寓言一样古老。而巴比伦曾是一个伟大的商业中心，许多城邦的大都市，因此，有理由认为这里的商人曾使用过这种多次改进的计算辅助工具。

1889年，希尔普雷希特（Hilprecht）开始在努法尔（古尼普尔）进行考古发掘，发现了含有乘法表、除法表、平方表、平方根表、一个等比数列和其他一些计算的石碑。1906年，他发表文章描述了他的发现。

其中一块石碑中包含的除法运算有“604除以2等于每份6480000”“604除以3等于每份4320000”，等等，其中除数有2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、16、18。该石碑上的第一个除法被解读为“604除以等于8640000”。此处使用了作为分母，非常奇怪，难以解释。也许，这里使用的和阿默士（Ahmes）纸草书中发现的同时期古埃及使用的相对应。应当指出，希尔普雷希特在尼普尔（Nippur）石书中发现的604=12960000神秘程度不输“柏拉图（Plato）数字”，也就是在柏拉图《理想国》一书中所提到的“众生之主”。多半是柏拉图从毕达哥拉斯（Pythagoras）学派得到了这个数字，而毕达哥拉斯学派则是从古巴比伦人那里知道了这个数字。

古巴比伦人的几何学成就寥寥可数。除了根据半径将圆周划分为6等份，再划分为360度，他们也知道其他的一些几何知识，比如将三角形和正方形的几何知识，并在占卜中应用了这些知识。像希伯来人一样（《圣经》列王纪7：23），他们将π值取为3。此外，他们没有留下任何几何证明记录。“通常，在东方人的思维中，直觉的力量远大于理性和严密的逻辑。”

希尔普雷希特经研究总结出，古巴比伦人掌握了计算正方形、长方形、正三角形和梯形面积的规则。

古巴比伦的天文学成就引起了广泛关注。在人类历史的黎明时期，他们就开始崇拜天体。亚历山大大帝在阿尔贝拉（Arbela）战役（前331年）后占领了巴比伦，卡利斯泰尼斯（Callisthenes）在那里发现一块烧毁的石板，上面记载了一些天文知识，记录时间可以回溯至公元前2234年。根据波菲利乌斯（Porphyrius）的说法，这些都被送到亚里士多德那里。亚历山大的天文学家托勒密拥有一份古巴比伦人的日月食记录，时间可追溯至公元前747年。在古巴比伦一个古老的天文台上，人们发现了一些刻有楔形文字的石碑，埃平（Epping）和斯特拉斯麦尔（Strasmaier）解读了上面记载的公元前123年和公元前111年的两部历法，因而我们对古巴比伦年表和天文学有了相当了解。这些学者成功地描述了古巴比伦计算新月和满月的方法，并通过计算确定了各行星、黄道十二宫，以及28个正常恒星的古巴比伦名称，它们在某种程度上与古印度的“二十八宿”相对应。最后，我们将一份由奥佩尔（Oppert）翻译的亚述人的天文报告部分摘录于下：

致国王陛下大人，您忠实的仆人，玛·伊斯塔。

……第一天，当搭模斯月（Thammuz）的新月升起，月亮再一次出现在水星之上，非常清晰，就像我之前向您指出的那样。您看，我并没有说错。