2.3.1 传递函数

线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换的比，即G(s)=Y(s)/R(s)。

设线性定常系统可由式（2-15）所示的n阶微分方程模型描述，即

式中，у(t)是系统的输出量；r(t)是系统的输入量；a_i(i=0，1，2，…，n)和b_j(j=0，1，2，…，m)是表征系统结构和参数的常系数。在у(t)、r(t)及其各阶导数的初始值(t=0时刻)都为零的前提条件下（即零初始条件），对上式等号两边进行拉普拉斯变换，得到

由输出量的拉普拉斯变换Y(s)比输入量的拉普拉斯变换R(s)，就得到式（2-15）表达的线性定常系统的传递函数

传递函数与输入、输出之间的关系可用图2-8的框图表示。

常用的控制系统传递函数的表示形式主要有三种，第一种是传递函数的多项式之比表示形式，如式（2-32）所示。第二种是传递函数的零、极点表示形式，对传递函数的分子、分母多项式因式分解为一次因子连乘积，就可得到传递函数的零、极点表示形式

图2-8 传递函数框图

式中，z_j（j=1，2，…，m）称为传递函数的零点；s_i（i=1，2，…，n）称为传递函数的极点。显然系统传递函数的零点和极点完全取决于各项系数a_i、b_j，零点和极点可能是实数，也可能是共轭复数，系数K*=b₀/a₀称为传递系数。将传递函数的零点与极点标示在s复平面上，则得到系统传递函数的零点、极点分布图，如图2-9所示，其中零点用“o”表示，极点用“×”表示，如果系统传递函数的分子、分母中各项系数a_i、b_j已知，则传递函数表达式与其零点、极点分布图是唯一对应的。

图2-9 零、极点分布图

对传递函数的分子、分母多项式因式分解也可写为“时间常数型”，就得到传递函数的第三种表示形式

式中，T_j、T_i称为时间常数；K=b_m/a_n称为放大系数或增益。