2.2 无源二端网络的等效变换

在无源二端网络中，最简单和最常用的是由电阻构成的串联、并联或混联二端网络。下面用等效变换的概念分析电阻串并联和混联电路，以及星形与三角形联结的电阻电路。

2.2.1 电阻串联

多个电阻两端首尾依次相连，各电阻流过同一电流的连接方式，称为电阻的串联。如图2-4a所示为电阻R₁与R₂构成的串联电路，R₁与R₂中流过相同的电流。串联电路的等效电阻等于所有串联的电阻阻值之和，如图2-4b所示。分析过程如下：

在图2-4a所示电路中，U=(R₁+R₂)I；在图2-4b所示电路中，U=R₁₂I。由于等效电路应具有相同的VCR关系，所以总电阻R₁₂=R₁+R₂。

综上所述：

1）电阻串联，其等效电阻等于各分电阻之和。

2）等效电阻大于任意一个串联的分电阻。

电路的总电流I=U/R₁₂。

根据U₁=IR₁，U₂=IR₂，得到串联电路的分压公式

根据式（2-1）可知，电阻串联后，各分电阻上的电压与电阻值成正比，电阻值越大，电阻两端电压也越大。因此串联电阻电路可作为分压电路。

2.2.2 电阻并联

多个电阻两端首尾分别相连，各电阻具有相同的端电压的连接方式，称为电阻的并联。如图2-5a所示为电阻R₁与R₂构成的并联电路，其特点是元件连接在相同的一对节点之间，并联的电阻具有相同的端电压。图2-5b为电阻R₁与R₂的并联等效电路。下面分析计算并联电路的等效电阻。

在图2-5a所示电路中，总电流；在图2-5b所示电路中，总电流I=。由于等效电路具有相同的VCR关系，因此总电阻

通过上述分析得到以下结论：

1）等效电阻之倒数等于各分电阻倒数之和。

2）等效电阻小于任意一个并联的分电阻。

根据总电压U=IR₁₂，I₁=U/R₁，I₂=U/R₂得电路中的分流关系为

根据式（2-2）可知，电阻并联后，各分电阻上的电流与电阻值成反比，电阻值越大，电流越小。因此并联电阻电路可作为分流电路。

2.2.3 电阻混联

电路中既有电阻串联又有电阻并联，称为电阻的串并联，简称混联。如图2-6a所示为电阻R₁、R₂和R₃的混联电路，如图2-6b所示为电阻R₁、R₂和R₃的混联等效电路，R_1-23表示等效电阻。

从电源端看进去，电阻的连接关系是：R₂和R₃并联，再和R₁串联，所以等效电阻

其中，符号“∥”表示两个电阻并联后总的等效电阻值，总电流I=U_S/R_1-23。

电路中的分压及分流关系为

【例2-1】 在如图2-7所示电路中，已知：R₁=R₂=4Ω，R₃=R₄=2Ω，U=12V。试求图示电路中电流I₁，I₂，I₃及电压U₁。

解：

1）总电阻：R=R₁+[R₂∥(R₃+R₄)]=6Ω。

2）总电流：I₁=U/R=12/6A=2A。

3）分电流：I₂=I₁×[R₃₄/(R₂+R₃₄)]=1A，I₃=I₁×[R₂/(R₂+R₃+R₄)]=1A。

4）分电压：U₁=I₁×R₁=8V。

【例2-2】 在如图2-8a所示电路中，求等效电阻R_ab。

解：求解这类比较复杂的等效电路，当从端口看进去，无法快速判断出哪些电阻串联，哪些电阻并联时，应当重新布置这些元件位置，再判断串并联关系。

方法如下：应先确定该电路共有几个节点（包括端口网络的两个端点），再在平面上安置好这几个节点的位置，如图2-8b所示。然后，在图2-8a上找到两两节点之间都分别连接了什么元件，将这些元件按照相同的连接位置，用最简捷的路径，安置在图2-8b对应的节点之间。

根据上述方法得到的电路如图2-8c所示，该图与图2-8a具有完全相同的连接关系，由于重置元件的位置安排，从二端网络端口能轻易分辨出电阻的串并联关系。这时则可按电阻混联计算方法，如图2-8c、d、e所示，逐步求得端口总的等效电阻R_ab。

【例2-3】 在如图2-9所示电路中，已知R=3Ω，求I₁、I₄、U₄。

解：（1）用分流方法做，有

（2）用分压方法做，有

【例2-4】 在如图2-10a所示电路中，求I₁。

解：在如图2-10a所示电路中，a、b端右侧部分电路是一桥式电路。根据电桥平衡条件，当R₁/R₂=R₃/R₄时，c、d两点等电位，可以把连接等电位点的支路断开（因支路中无电流），如图2-10b所示。也可以用短接线把等电位点连起来，如图2-10c所示。在图2-10b电路中

从以上例题可得求解串并联电路的一般步骤：

1）求出等效电阻或等效电导。

2）应用欧姆定律求出总电压或总电流。

3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压。

因此，分析串并联电路的关键问题是判别电阻的串并联关系。

判别电阻的串并联关系一般应掌握下述三点：

1）看电路的结构特点。若两电阻是首尾相连，且在它们的公共节点处没有第三个元件与它们相连，则是串联；若是首首相连、尾尾相连，则是并联。

2）对电路作变形等效。如左边的支路可以扭到右边，上面的支路可以翻到下面，弯曲的支路可以拉直等；对电路中的连接线路可以任意压缩与伸长；对多点接地可以用短路线相连。一般，如果真正是电阻串联电路的问题，都可以判别出来。

3）找出等电位点。对于具有对称特点的电路，若能判断某两点是等电位点，则根据电路等效的概念，一是可以用短接线把等电位点连起来；二是把连接等电位点的支路断开（因支路中无电流），从而得到电阻的串并联关系。

2.2.4 电阻的星形联结和三角形联结及其等效变换

如图2-11a所示为电阻的三角形联结，各个电阻分别接在3个端子的每两个之间。如图2-11b所示为电阻的星形联结，各个电阻都有一端接在一个公共节点上，另一端则分别接在3个端子上。这两种电阻连接形式构成的网络属于三端网络。当两种连接的电阻之间满足式（2-3）或式（2-4）时，它们在端子a、b、c以外的伏安特性可以相同，因此这两个三端网络可以互相等效变换。

通过电阻的星形-三角形等效变换，可将既非串联又非并联的电阻连接形式变换成电阻的混联形式。

电阻变换关系有以下两种。

（1）由三角形到星形的等效变换

为了得到星形联结的等效电阻，必须保证三角形联结时每对端子间的电阻与星形联结时对应端子间的电阻相等，因此

由此三个方程解出

（2）由星形到三角形的等效变换

由式（2-3）得：R_aR_b+R_bR_c+R_cR_a=R_abR_bcR_ca/（R_ab+R_bc+R_ca），此式分别除式（2-3）中的三个等式，于是得到

为了便于记忆，式（2-3）、式（2-4）可归纳为

在特定情况下，如果有，则

注意：

1）电路的等效变换属于多端子网络的等效，在应用中，除了正确使用电阻变换公式计算各电阻值外，还必须正确连接各对应端子。

2）等效是指对外电路等效，对内不等效。

3）等效电路与外部电路无关。

4）等效变换用于简化电路，因此注意不要把本是串并联的问题看作△形或形结构进行等效变换，那样会使计算变得更加复杂。

【例2-5】 求如图2-12a所示电路中电压源的电流。

解：利用电阻电路的变换，把图中虚线框内的△联结的三个3kΩ电阻变换成联结，如图2-12b所示，求得电路的总等效电阻为