2.4　功率谱信号处理

2.4.1　经典频谱信号处理的步骤

在做信号分析时通常采用经典频谱分析方法，这种分析方法的特点是将随机信号x（n）的N点观察数据x_N（n）视为能量有限信号，直接取x_N（n）的FFT，得X_N（e^jω），然后取其幅值的平方，并除以N，作为真实功率谱的估计。这种谱估计方法包括以下两个步骤：

a. 把平稳随机信号x（n）视为各态遍历的，用一个样本x_N（n）来取代x（n），并且仅利用x（n）的n个观察值x_N（n）来估计x（n）的功率谱。

b. 从记录到一个连续信号x（t）到估计出功率谱，还包括了对x（t）的离散化（A/D），是必要的预处理（如除均值、除去信号的趋势项、滤波等）。

经典频谱分析方法的主要内容是FFT，通过FFT将振动的时域信号转变为振动的频域信号，再获取机组的振动功率频谱，采用FFT的步骤如下。

①将加速度时域信号转变为速度时域信号。从测试信号分析可知，对位移信号进行FFT后突出的是较低频段的频谱信息；对加速度信号进行FFT后，突出的是较高频段的频谱信息；而对速度信号进行FFT后，突出的是故障分析中感兴趣的中频段的频谱信息。所以需要用速度的频谱进行故障分析，将加速度时域信号转变为速度时域信号。

②信号的预处理。为提高分析数据的可靠性以及信号的抗干扰能力，需要对测试信号进行如下过程的预处理：剔点处理、动态校零、数字滤波、数据的平滑估计法处理、模糊分析、数理统计等。

③FFT处理。综合考虑内存、实时性和显示器分辨率，进行傅里叶变换的数据采样点数一般取为1024点。由于采样数据有限，会在频谱图上产生泄漏，可以选择窗函数进行改善。

④智能化的后续处理。采用专家系统模仿技术人员进行智能化的频谱后续处理，如：为补偿机组转速的影响，在FFT处理后进行智能化的谱线自动跟踪。为提高信噪比，进行智能化的谱线增益自动识别。为提高频率分辨率，自动进行谱线扩展等。

2.4.2　现代谱信号处理方法

2.4.2.1　经典谱的缺陷与现代谱的特点

经典功率谱估计既有其优点，又因为其计算方法的缺陷而存在着不可避免的缺点，其主要缺点是方差性能差、分辨率较低。方差性能差的原因是无法实现功率谱定义中求均值和求极限的运算；分辨率低的原因是因为在对采样数据求频谱时，假定数据窗口外的数据全为零，而这种假定是不切实际的。

现代功率谱估计是与时序模型结合的一种非线性估计法，它可以改善经典功率谱估计分辨率低和方差性能不足的问题，现代功率谱分析方法的内容很丰富，国内外学者对这种新方法做了许多研究工作，按照其分析方法，可以将其分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。前者有AR模型、MA模型和ARMA模型等，后者有最小方差法（MVSE）和MUSIC法等。

2.4.2.2　非参数模型谱估计方法及改进

机组状态特征和故障特征在频域中可通过特征谱线表现出来，要对各种状态和故障特征进行识别和预测，就要对信号进行较准确的谱分析，为提高频率分辨率，需要探讨新的模型谱。

最小方差功率谱（MVSE）属于非参数模型谱，是一种新的谱估计方法，目前对AR、MA和ARMA等参数模型谱研究的较多，而对于最小方差功率谱（MVSE）等非参数模型谱研究的相对较少，用计算机程序实现该算法的实用程序更少。

（1）最小方差功率谱估计的算法

最小方差估计又称为最大似然估计，是一种可以提高频率分辨率的谱分析方法，属于非模型估计现代谱分析。

将信号x（n）通过FIR滤波器，则其输出为：

　　（2-50）

y（n）的方差，也即y（n）的功率由下式给出：

ρ=E︱y（n）︱²=Ea^HX·X^Ta=a^HEX·X^Ta=a^HR_pa　　（2-51）

式中，R_p是由r_x（0），…，r_x（p）构成的Toeplitz自相关矩阵。如果假定y（n）的均值为零，那么ρ也是y（n）的方差。

为求得滤波器的系数，有两个原则。

一是在对给定的某一个频率ω_i处，x（n）无失真的通过，这等效于要求：

　　（2-52）

式（2-52）中：

e^H（ω_i）=[1，exp（jω_i），…，exp（jω_ip）]^T　　（2-53）

二是，在ω_i附近的频率分量得以拒绝，也即在保证式（2-52）的条件下让式（2-51）中的ρ最小。

在上述两个条件下，方差ρ达到最小的滤波器的系数为：

　　（2-54）

而最小方差

　　（2-55）

这样，可以得到最小方差估计：

　　（2-56）

P_MV（ω）并不是真正意义上的功率谱，因为P_MV（ω）对ω的积分并不等于信号的功率，但它描述了信号真正谱的相对强度。对正弦信号，P_MV（ω）正比于正弦的功率。

令A_p是由0阶至p阶AR模型系数组成的矩阵，P_p是由0阶至p阶AR模型的激励噪声功率所组成的对角阵，即

对自相关阵的逆做Cholesky分解时，可表示成：

　　（2-57）

将式（2-57）代入式（2-56）有：

　　（2-58）

这样可以得到最小方差谱P_MV（p，ω）和AR谱P_AR（k，ω）之间的关系：

　　（2-59）

式（2-59）的意义是，p阶最小方差谱的倒数是从0阶至p阶所有AR谱倒数的和。

利用矩阵R_p的对称性质，还可做如下的分解：

　　（2-60）

式（2-60）中：

将式（2-60）代入式（2-56），可将P_MV（ω）表示为如下形式：

　　（2-61）

式中，r_MV（k）是由p阶AR模型系数所产生的加权自相关序列，即：

　　（2-62）

因此，只要对给定的数据（n=0，1，2，3）求出p阶AR模型的系数，利用式（2-62）可求出r_MV（k），再代入式（2-61），可实现最小方差估计。

（2）最小方差功率谱估计算法的改进及结果分析

最小方差功率谱估计虽然是一种高分辨率谱估计，但在实际应用中通常不是很理想，其中有两个主要问题：

①模型不稳定，影响对结果的分析和判断。

②工程应用中，采用的点数通常为1024点，采用FFT算法可利用全部采样点的信息；若采用最小方差功率谱估计，当分析点数超过128点时，误差急剧加大，限制了该算法在工程中的应用。

根据对该算法的分析和应用研究，进行了以下改进：

①经实验研究，对模型稳定性产生影响的主要原因在于模型阶数p的选取，在p<10和p>20时模型趋于不稳定，选取p=13可以保证该算法模型的稳定，从理论上分析，即保证全极模型H（z）的极点在单位圆内。

②对采样点数的限制问题，经分析是由于采用该算法需要计算自相关矩阵，当点数增多时，该矩阵发生奇异所至。将该矩阵的零系数置换为特定系数，该特定系数的选取根据误差要求确定，选取该特定系数为10^-7，使采样点数可以达到1024点，这样既增加了采样点数，又能保证分析的精度。

为检验最小方差功率谱估计的计算结果，将经典功率谱与最小方差功率谱进行了比较。方法是利用新研究的旋转机械在线状态监测及预测实验系统输入确定频率的时域激励信号，对时域信号进行采集，对采得的时域信号进行谱分析。该时域激励以80Hz为中心频率信号，相间7Hz分布频率分量信号。

实验及分析结果：

①最小方差谱方法与FFT方法相比较有较高的频率分辨率，可以较好地分辨频率相近的频率分量，这是由于它能减少频率泄漏。

②当采用最小方差谱计算时，若选用的模型的阶数太低，频谱的分辨率则不高，所以采样点数应尽量多，否则频谱分析结果不稳定，不能真实地反映实际频谱情况。

2.4.2.3　现代谱信号分析的应用

采用AR模型谱分析、ARMA模型谱分析和最小方差谱分析三种方法对实际采样信号X（t）进行谱分析，经理论推导和实验验证，这三种现代谱分析方法有谱线平滑、分辨率高等优点，而且在较少采样点数的情况下，可以实现对信号的谱分析。

采用上述现代谱分析的方法获取振动功率谱，并应用在旋转注水机组的状态监测及状态预测。实践表明：传统的谱估计方法，只有在观测数据较长，即数据采样点数较多时，才能得到较高的谱估计精度；而现代谱是连续谱，谱光滑，谱峰陡峭，在短样本时即可取得较满意的分辨率，因而较适于在线实时监测和预测。

由于现有进口的频谱分析仪采用经典功率谱分析，而且较成熟也较有效，为使频谱分析结果具有可比性，在注水机组状态监测及状态预测系统中采用现代谱分析和经典谱并用的方法。