3.2　转换回归模型

3.2.1　标准转换回归模型

标准的转换回归模型（SR）是分段线性的，它的定义的表达式为：

其中，zt=（w′t,x′t）′是解释变量向量，wt=（1,yt-1,…,yt-p）′，xt=（x1t,…,xkt）′，st是可观察到的转换变量，通常被假定为连续平稳的随机变量，c0,c1,…,cr是转换参数或门限参数，c0=-∞，cr=∞。如果r=1，这个模型就是线性模型。而且，ϕj=（ϕ0j,ϕ1j,…,ϕmj）′，使得对于i≠j，ϕi≠ϕj成立，其中，m=p+k+1，εjt=σjεt，{εt}～iid（0,1），并且σj>0,j=1,…,r。可以看出式（3-4）是分段线性模型，然而这个式子的转换点，通常是未知的。稍后将会看到，这个事实将会使这些模型中的统计推断复杂化。事实上，在运用中常见的选择是两机制SR模型

yt=（ϕ′1zt+ε1t）I（st≤c1）+（ϕ′2zt+ε2t）{1-I（st≤c1）}

（3-5）

当缺省xt，且st=yt-d，d>0时，式（3-4）变成自激励门限自回归模型（SETAR或者简称为TAR）。TAR模型在经济领域已经被广泛运用。模型的综合解释和统计性质可以在Tong（1990）中找到。由Enders和Granger（1998）提出的一种特殊的有两个机制且st=Δyt-d的TAR模型，称之为动量TAR模型，用这个模型可以描述增长率不对称的过程。例如，时间序列增长时速度较快，但是回落到更低的水平时速度缓慢，失业率的月度或季度序列就是其中一例。

对于一些参数组合来说，TAR模型有能力产生极限环，这意味着如果数据从以t=t0为起点的模型开始，并且假定当t>t0时，εt=0，实现的轨迹不会收敛于一个常数，然而，如果模型是稳定的，实现的轨迹将收敛于一个常数。相反，轨迹最终由在n个周期之后典型的非对称和重复的循环组成。这个模型的特征可能不会在经济应用中特别有趣，但是可能在其他领域更加有趣，Tong（1990）对此进行了讨论。

Astakie、Watts和Watt（1997）对标准SR模型进行了扩展。称之为嵌套的门限自回归（NeTAR）模型，但是因为它不是单变量，所以也可把它称为多重转换自回归（MSR）模型。把MSR模型定义为具有两层或两区的SR模型，表述式为

其中，st和ut是转换变量，ck,0,ck,1,…,ck,rk（k=1,2），是门限参数，ck,0=-∞，ck,rk=∞,k=1,2，,i=1,…,ri;j=1,…,rj。从式（3-6）可以看出门限的第一层是如何嵌入到第二层的，因此，这个模型取名“嵌套的TAR模型”。Astakie等（1997）讨论了MSR模型的规范形式和估计方法，并且用非经济时间序列给了一个实证的例子。

单变量TAR模型的另外一个特殊例子是只有截距可转换但自回归结构保持不变的模型。令，，这个模型表达式可以写为

其中，ϕ=（ϕ1,…,ϕp）′，{εt}～iid（0,σ2）。这种规范是由Lanne和Saikkkonen（2002）提出的，用来表征“接近单位根”行为。尽管如果滞后多项式的根位于单位圆之外，过程自身是平稳的和遍历性的，但是式（3-7）的转换截距仍然导致实现水平发生变化。所以，这个模型是线性自回归模型的一种替代，线性自回归模型的滞后多项式的一个根在单位圆上或接近但在单位圆之外。作者将这个模型运用到根据定义不能有单位根的两个利率序列当中。

SR模型的估计可以通过条件最小二乘法得以实现。对于式（3-5）的两机制TAR模型，其中，，st=yt-d，并且假定c1和d都是已知的。那么，这个模型相对于变量，就是线性的，并且可以通过最小二乘进行估计。针对大量的成对（c1, d）组合，反复做的估计，就可以获得θ=（ϕ′1,ϕ′2,c1,d）的估计量。网格中c1的值是位于yt-d经验分布的α分位和（1-α）分位之间的yt-d的值。通常情况下，α=0.15。Chan（1993）已经证明，在正则性条件下，它包含了yt的平稳性和遍历性以及，则条件最小二乘法估计量也是一致的，并且是渐近正态的。此外，是超一致估计的，与和渐近独立。也可以估计滞后阶数d，同样是一致的。

Chan（1993）同时给出了的渐近分布，但是它得依赖于冗余参数。假设zt=xt，xt是外生变量向量，门限变量st也是外生的，Hansen（2000）推导出不受冗余参数影响的的渐近分布。这为检验c1的假设提供了可能，为此目的，在Hansen的著作中也对似然比检验进行了讨论。

第16.4节将讨论SR模型框架如何建立。单变量模型已经在宏观经济序列中得到了应用。诸如描述产出序列的不对称（商业周期不对称）、研究购买力平价假说、构建利率序列时，都涉及单变量模型的应用。这个模型同样也被广泛地运用到非经济时间序列当中。

3.2.2　向量门限自回归模型

把状态转换回归模型推广到向量模型，这种模型也称作向量状态转换回归模型，或向量门限自回归模型。Tsay（1998）把这个模型的定义表述为

其中，yt和εit, j=1,…,r，是m×1随机向量，μi是一个m×1截距向量，i=1,…,r。此外，Φij是m×m系数矩阵，Γij是m×k系数矩阵，都有i=1,…,r, j=1,…,p。误差项εit是序列不相关的，具有均值0和正定协方差矩阵Σi,i=1,…,r。单一平稳且连续的转换变量st决定了整个系统的机制。向量xt的定义与式（3-4）的相同，所以，式（3-8）包含k+1（或k，当st是xt的元素时）个外生变量，相对于系数而言，外生性很强。Tsay（1998）讨论发展了如何构建这类模型的方法。

Balke和Fomby（1997）介绍的门限协整模型是多变量门限模型的重要特例。我们遵循Lo和Zivot（2001）的表达，也可参阅第11.5节的内容。为了简单起见，考虑式（3-8），对于所有的i和j，假设Γij=0。假定r=3，然后，把式（3-8）重新改写为

p≥2。当p=1时，滞后一阶差分的加权和等于0。假设在每一机制中，yt是一阶单整的（Δyt是均值平稳的），m×m矩阵Πj=AjB′，其中j=1,…,r，rank（Aj）<m，与之前一样，st是连续且平稳的。如果m=2，那么，Aj=（α1j,α2j）′，B或B2=（1,β2）′，变量y1t和y2t与协整向量B存在协整关系。这个模型称为门限向量误差修正（TVEC）模型。在三机制中，吸引力的强度依据Aj发生变化。在应用中很有趣的一种是取r=3，A2=0，这意味着具有三机制，在门限变量st高的或低的值中呈现协整关系，但在st的中间区域不会出现。与此同时，在协整关系中，截距受到了限制，所以，表达式为

区间（c1, c2］经常包含0。比如，运输成本可能会阻止不同地区同种货物价格间的差异，只有当两者之间绝对价格差充分大时，价格收敛才会发生。在这个例子中，m=2，协整向量B=（1,-1）′，st=B′yt-d，特别地，d=1。我们把式（3-9）称之为band-TVEC模型，可参阅Lo和Zivot（2002）的文献。相应的单变量模型也称为band-TAR模型。

向量门限自回归TAR模型，像单变量的变体，已经应用于宏观经济时间序列当中。不过，Tasy（1998）的例子涉及股票市场的标准普尔500指数高频数据和与之对应的期货市场的高频数据。把这些数据用到了TVEC模型，可参阅Martens、Kofman和Vorst（1998）的文献。