2.2 液体平衡微分方程

液体平衡微分方程是表征液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间的基本关系式。

在平衡液体中分割出一微元直角六面体ABCDEFGH，其中心M所在点坐标为（x，y，z），另六面体各边长为dx、dy、dz，并与相应的直角坐标轴平行，如图2.2所示。先分析作用于这一六面体的表面力和质量力，该六面体应在所有表面力和质量力的作用下处于平衡状态。现分别讨论其所受的力。

1.表面力

作用于六面体的表面力只有压力，为周围液体对六面体各表面上作用的静水压力。因此需先确定六面体各表面上的压强。设中心点M处的静水压强为p，由于静水压强是空间坐标的连续函数，微元面EFGH形心处的压强可用泰勒级数表示，忽略二阶及以上微量后为，方向沿x轴负向。此微元面各点压强可认为都等于形心处压强，因此，作用于微元面EFGH上的压力在x轴上投影为。同理，可以得到作用于微元面ABCD的压力在x轴上投影为。六面体其余表面上的压力都与x轴垂直，在x轴上投影均为0。六面体所受表面力在x轴上投影和应为

图2.2 六面体流体微团的表面力

对其他各表面上的静水压力可用同样方法求得。

2.质量力

设作用在六面体上的单位质量力在x轴上投影为fx，那么六面体的质量力在x轴上投影为fxρdxdydz。

当六面体处于平衡状态时，所有作用在六面体上的力，在3个坐标轴方向投影的和应为0。故合力在x轴上的投影为0（即∑Fx=0），有

化简上式，得到式（2.4）第一式，同样可以获得适用于y、z轴方向的其余两式：

式（2.4）、式（2.5）即为液体平衡微分方程式，它指出液体处于平衡状态时，单位质量液体所受的表面力与质量力相平衡。因为它是1775年由瑞士学者欧拉提出的，故又称为欧拉平衡微分方程。

将式（2.4）中各式依次乘以dx、dy、dz，再将它们相加，得

因p=p（x，y，z），上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为

式（2.6）为液体平衡微分方程综合式，当液体所受质量力已知时，将上式积分即可得到静压强的分布规律，有