3.5 基于共同变形理论的弹性地基梁计算_地下空间结构-QQ阅读女生青春网

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3.5 基于共同变形理论的弹性地基梁计算

在地下结构的计算中，经常遇到的是平面问题，在本节中只介绍地基为弹性半无限平面体的情况。

3.5.1 基本方程

图3-5-1（a）表示等截面基础梁，长度为2l，荷载q（x）以向下为正，地基对梁的反力σ（x）以向上为正。坐标原点取在梁的中点。图3-5-1（b）表示地基受的压力，此压力即地基对梁的反力σ（x），但方向相反。以平面应力问题为例写出基本方程如下：

图3-5-1 基于共同变形理论的弹性地基梁计算简图

1.梁的挠度曲线微分方程

根据式（3-3-7），写出梁的挠度曲线微分方程为

引用无量纲的坐标ξ=x/l，将q、σ、y都看做是ξ的函数，并注意式（3-3-10），则式（3-5-1）变为

2.平衡方程

由整个梁的平衡条件∑Y=0和∑M=0，可得

考虑ξ=x/l，式（3-5-3）变为

3.地基沉陷方程

图3-5-2表示弹性半无限平面体的界面上受集中力P（沿厚度均布）。虚线表示界面的沉陷曲线。点B为任意选取的基点。ω（x）表示界面上任一点K相对于基点B的沉陷量。设为平面应力问题，在弹性理论中有

图3-5-2 基于弹性理论的地基沉陷计算

图3-5-1（b）表示地基承受分布力σ（x），亦即弹性半无限平面体的界面上承受分布力σ（x），可利用式（3-5-5）求出地基表面上任一点K的相对沉陷量ω（x），力σ（x+r）dr引起点K的沉陷可写为

因此，由于点K右方全部压力引起点K的沉陷为

同样，由于点K左方全部压力引起点K的沉陷为

梁底面全部压力引起点K的总沉陷量为以上二式的总和，即

式（3-5-9）就是地基沉陷方程。假定沉陷基点取在很远处，积分时可将s当做常量。

引用无量纲坐标ξ=x/l，可以写出ρ=r/l，K=s/l，dr=l·dρ，这样，式（3-5-9）变为

式（3-5-2）和式（3-5-10）是按平面应力问题导出的，如为平面变形问题，只需将式（3-5-2）和式（3-5-10）中的E换为，而E0 换为即可。其中：E0、μ0为地基的弹性模量和泊松系数；E、μ为基础梁的弹性模量和泊松系数。

以上得出了梁的挠度曲线微分方程式（3-5-2）、平衡积分方程式（3-5-4）和地基沉陷积分方程式（3-5-10）。利用这些方程，按下述方法首先求地基反力。

（1）将地基反力σ（ξ）用无穷幂级数表示，计算中只取前11项，即

（2）反力σ（ξ）必须满足平衡条件∑Y=0和∑M=0，为此，将式（3-5-11）代入式（3-5-4），积分后得含系数ai的两个方程。

（3）梁的挠度与地基沉陷相等，即

将式（3-5-11）代入式（3-5-2），用积分求出y（ξ），积分时注意梁的边界条件M=0和Q=0，或写为

再将式（3-5-11）代入式（3-5-10），用积分求出ω（ξ）。

将求出的y（ξ）和ω（ξ）代入式（3-5-12），然后令ξ幂次相同的系数相等。可得含系数ai的9个方程。这样，共得出11个方程以求解a0～a10这11个系数。最后将求出的11个系数代入式（3-5-11）就得到地基反力的表达式。

当地基反力σ（ξ）求出后，就不难计算梁的弯矩M（ξ）、剪力Q（ξ）、角变θ（ξ）和挠度y（ξ）。

为了计算简便，可将基础梁上的荷载分解为对称及反对称两组。按照以上所讲的计算程序，在对称荷载作用下，只须取式（3-5-11）中含ξ偶次幂的项，得5个方程，再加式（3-5-4）中的第一个方程（即∑Y=0，而∑M=0自动满足），共计6个方程，可解出系数a0、a2、a4、a6、a8、a10；在反对称荷载的作用下，须取式（3-5-11）中含ξ奇次幂的项，得4个方程，再加式（3-5-4）中的第二个方程（即∑Y=0，而∑M=0自动满足），共计5个方程，可解出系数a1、a3、a5、a7、a9。

为了使用方便，将各种不同荷载作用下的地基反力、剪力和弯矩制成表格，见附表1～14。在附表15～43中给出了计算基础梁角变θ的系数。

3.5.2 表格的使用

使用附表1～14时，首先算出基础梁的柔度指标t。在平面应力问题中，柔度指标为

在平面变形问题中，柔度指标为

如果忽略μ和μ0的影响，在两种平面问题中均可用近似公式，即

计算基础梁的柔度指标。

式中 l——梁的一半长度；

h——梁截面高度。

1.全梁受均布荷载q0

反力σ、剪力Q和弯矩M如图3-5-3所示。根据基础梁的柔度指标t值，由附表1查出右半梁各1/10分点的反力系数σ、剪力系数和弯矩系数，然后按转换公式（3-5-17）求出各相应截面的反力σ、剪力Q和弯矩M，即

图3-5-3 均布荷载作用下梁的内力图

由于对称关系，左半梁各截面的σ、Q、M与右半梁各对应截面的σ、Q、M相等，但剪力Q要改变正负号。

梁端的反力σ按理论计算为无限大，因此，在附表中对应于ξ=1的σ也是无限大，这是不符合实际情况的。

注意，查附表时不必插值，只须按照表中最接近于算得的t值查出σ、即可。如果梁上作用着不均匀的分布荷载，可变为若干个集中荷载；然后再查表。

2.梁上受集中荷载P

反力σ、剪力Q和弯矩M如图3-5-4所示。根据t值与α值由附表2～附表7查出各系数σ、。每一表中左边竖行的α值和上边横行的ξ值对应于右半梁上的荷载；右边竖行的α值和下边横行的ξ值对应于左半梁上的荷载。在梁端为无限大。当右（左）半梁受荷载时，表（b）中带有星号（*）的值对应于荷载左（右）边邻近截面，对于荷载右（左）边的邻近截面，须从带星号（*）的值中减去1。

求σ、Q、M的转换公式为

在剪力Q的转换式中，正号对应于右半梁上的荷载，负号对应于左半梁上的荷载。

图3-5-4 集中荷载作用下梁的内力图

图3-5-5 力矩荷载作用下梁的内力图

3.梁上受力矩荷载m

反力σ、剪力Q和弯矩M如图3-5-5所示。如果梁的柔度指标t不等于零，可根据t值和α值由附表8～附表13查出σ、。每一表中左边竖行的α值和上边横行的ξ值对应于右半梁上的荷载，右边竖行的α值和下边横行的ξ值对应于左半梁上的荷载。在梁端ξ=±1，σ为无限大。当右（左）半梁受荷载时，表中带有星号（*）的值对应于荷载左（右）边的邻近截面；对于荷载右（左）边的邻近截面，须将带星号（*）的值加上1。

转换公式是

式中的力矩m以顺时针方向为正。在反力σ和弯矩M的转换式中，正号对应于右半梁上的荷载，负号对应于左半梁上的荷载。

在梁的柔度指标t等于零（实际是接近于零）的特殊情况下，认为梁是刚体，并不变形，所以反力σ和剪力Q都与力矩荷载m的位置无关，故σ与也与力矩荷载m的位置无关。这时只须根据ξ值由附表14 （a）、（b）查出σ和。弯矩M是与力矩荷载m的位置有关的，因而，也与力矩荷载m的位置有关——对于荷载左边的各截面，值如附表14 （c）所示，但对于荷载右边的各截面，须把该表中的值加上1。转换公式是