2.9 浮点数计算与精度损失

前面介绍了浮点数的表示可能丢失精度，其实在浮点数的计算过程中，也可能丢失精度。当对浮点数进行加减乘除运算时，可以采取一种直接的方式。例如对于算式0.5×0.75，0.5的浮点数表示为0|01110110|000 0000 0000 0000 0000 0000，0.75的浮点数表示为0|01110110|100 0000 0000 0000 0000 0000。由于它们的指数位相同，所以可以直接对小数位相乘，相乘后的结果为100 0000 0000 0000 0000 0000。

当前指数位的值为126，对于指数位，采取直接相加的方式126+126=252，接着减去127得到最终的指数值252-127=125。由于符号位全部为0，因此符号位的结果也为0。最终得到的结果为：0|01111101|100 0000 0000 0000 0000 0000。除法运算可以采取相同的操作。

而对于加法和减法运算，需要先调整指数值的大小，再将小数部分直接相加。例如，1.23×10²⁸+1.00×10²⁵需要转换为1.23×10²⁸+0.001×10²⁸，再对小数部分求和，结果为1.231×10²⁸。可以发现，如果浮点数的小数部分只能精确地表示1.23，那么这个加法将被抛弃。在IEEE-754中总是会精确地计算，但是最终转换为浮点数类型时会进行四舍五入操作。在下面说明浮点数精度损失的例子中，1000个0.01相加的最终结果为9.999999999999831。

可以看出，在浮点数的计算过程中可能产生精度的损失，并且精度的损失可能随着计算的次数而累积。同时浮点数的计算顺序也会对最终的结果产生影响。加法运算由于需要进行指数调整，有丢失精度的风险，优秀的开发工程师在执行涉及加、减、乘和除的运算时，会优先执行乘法和除法运算。通常x×（y+z）可以被转换为x×y+x×z，从而得到更高的精度。