1.2 研究现状及其工程背景
1.2.1 疲劳裂纹扩展与断裂力学方法
断裂力学研究起源于20世纪20年代，发展于20世纪70年代，目前仍在不断地发展和完善。因此，基于断裂力学方法的研究成果仍具有一定的前沿性和挑战性[10]。早在20世纪20年代，英国学者Griffith[11]应用能量法尝试通过玻璃平板的断裂现象来探究材料的理论强度远远高于实际强度的原因。Griffith从材料微观组织缺陷的角度出发，推测材料的断裂失效是由于微观组织缺陷引发裂纹扩展并产生应力集中所致。当裂纹扩展所释放的弹性应变能够克服材料阻力所做的功时，裂纹将会发生失稳扩展直至材料断裂失效。同时，Griffith提出了表征含裂纹材料在发生断裂失效时的应力表达式为
式中 E——弹性模量（MPa）；
γ——表面能（J/m2）；
a——裂纹长度（mm）；
ν——泊松比。
Griffith理论的提出开启了断裂力学研究领域的先河，但是Griffith理论并不能够解释所有金属材料的断裂强度问题，如Griffith理论假设材料处于含裂纹状态，这并不符合金属晶体断裂时的特点。此后，Irwin[12]和Orowan[13]等人在Griffith理论的基础上引入裂纹尖端扩展塑性功的概念，通过显微观察手段证实了裂纹表面的塑性流动现象，并提出表征临界断裂应力的表达式为
式中 E——弹性模量（MPa）；
γ——表面能（J/m2）；
γp——裂纹尖端扩展单位长度时的塑性功（N·m）；
a——裂纹长度（mm）。
随着断裂力学研究领域的不断发展，人们意识到工程中大量的断裂事故都是由疲劳裂纹的扩展而引起，疲劳裂纹扩展速率是决定结构材料疲劳裂纹扩展行为的重要特征参量，对评估结构的安全性、可靠性以及失效分析和寿命预测等方面有着重要的应用价值[14]。因此，相关研究人员需要建立一种能够定量表征材料疲劳裂纹扩展速率的表达式，并且能够合理描述在不同加载载荷、不同几何形状试样、不同应力比等条件下的疲劳裂纹扩展行为规律。
20世纪60年代，Paris和Erdogan[15,16]基于线弹性断裂力学理论建立了疲劳裂纹扩展速率da/dN与应力强度因子范围ΔK的关系，并提出用来描述疲劳裂纹扩展行为规律的经典公式，即Paris公式。Paris公式见式（1-3）。
式中 C和m——材料常数；
a——裂纹长度（mm）；
N——循环周次；
Y——裂纹形状因子；
Δσ——应力范围（MPa）；
ΔK——应力强度因子范围（MPa·m1/2）。
对于多数金属材料，恒幅载荷作用下的疲劳裂纹扩展速率da/dN与应力强度因子范围ΔK的关系曲线在双对数坐标系中大体呈现出反S形的变化趋势，一般可将其划分为如图1-1所示的三个不同阶段[17]。疲劳裂纹扩展的第一阶段为低速扩展区，或称低应力强度因子区（见图1-1中阶段A）。该区域内存在一个应力强度因子范围的临界值ΔKth，即疲劳裂纹扩展门槛值。当ΔK低于ΔKth时，疲劳裂纹不发生扩展，或者以无法检测的极缓慢速率扩展；当ΔK高于ΔKth时，da/dN随ΔK的增加而快速上升。疲劳裂纹扩展的第二阶段为中速扩展区，或称Paris区（见图1-1中阶段B）。该区域是研究人员最为关注的区域，区域内da/dN与ΔK呈线性关系，裂纹扩展曲线满足Paris公式，可以利用Paris公式来评估材料的疲劳裂纹扩展寿命。疲劳裂纹扩展的第三阶段为高速扩展区，或称高应力强度因子区（见图1-1中阶段C）。该区域疲劳裂纹扩展速率快速提高，直至发生断裂，断裂方式一般为瞬时断裂，通常不考虑其对疲劳裂纹扩展寿命的贡献。
图1-1 疲劳裂纹扩展的三个阶段[17]
如前所述，采用Paris公式描述金属材料的疲劳裂纹扩展行为只局限于一个扩展区域，即Paris区。为了进一步准确描述材料低速扩展区和高速扩展区的疲劳裂纹扩展特性，在Paris公式的基础上，众多研究者提出了用不同模型来描述各个阶段的疲劳裂纹扩展速率曲线。
20世纪70年代初，为了证实疲劳裂纹扩展门槛值ΔKth的存在，并且更准确地描述低速扩展区的疲劳裂纹扩展行为规律，Donahue[18]提出有效应力强度因子概念，意义在于表征控制疲劳裂纹增长的真实有效应力强度因子，并建立了低速扩展阶段的疲劳裂纹扩展速率表达式，Donahue公式见式（1-4）。
式中 ΔKth——疲劳裂纹扩展门槛值（MPa·m1/2）。
同样是在20世纪70年代初，Forman[19,20]在Paris公式的基础上考虑了应力比R和平面应变断裂韧度KIC两个影响疲劳裂纹扩展行为的参量，并提出了基于Paris公式的修正表达式，即Forman公式。Forman公式能够较好地描述高速扩展阶段的疲劳裂纹扩展行为规律，目前已在钢材料和铝合金材料中得到了广泛的应用。但是Forman公式同样存在不足之处，即由于Forman公式考虑到了材料的平面应变断裂韧度KIC，因此对于难以获得平面应变断裂韧度的高韧度材料，Forman公式不能够准确地描述其疲劳裂纹扩展行为规律。Forman公式见式（1-5）。
式中 KIC——平面应变断裂韧度（MPa·m1/2）；
R——应力比。
20世纪70年代末，Walker[21,22]将应力比R引入有效应力强度因子的计算中，并建立描述疲劳裂纹扩展行为的幂函数式，即Walker公式，见式（1-6）。Walker公式能够较好地描述中速扩展阶段的疲劳裂纹扩展特性，并且Walker公式考虑了负应力比条件下部分压缩载荷对疲劳裂纹扩展的加速作用，解决了当应力比为负数时，部分压缩载荷对材料疲劳裂纹扩展的作用并不显著而造成的计算结果偏于危险的问题，计算精度得以提高，故Walker公式在工程实际中被较为广泛地应用。
式中 Kmax——最大应力强度因子（MPa·m1/2）。
20世纪70年代，研究人员逐渐发现疲劳裂纹扩展过程中的阻滞现象。Elber[23,24]通过大量试验研究和理论推导提出了Elber闭合模型，首次指出了裂纹闭合效应的存在。Elber认为，裂纹尖端前缘状态、裂纹尖端后部状态、加载过程以及应力状态等都是影响疲劳裂纹扩展行为的重要因素。当试验材料受到的最大应力高于裂纹张开所需的应力时，疲劳裂纹才会扩展；未完全张开之前，裂纹不发生扩展。裂纹闭合效应模型见式（1-7）。
式中 ΔKeff——有效应力强度因子范围（MPa·m1/2）；
ΔKopen——裂纹完全张开时的应力强度因子范围（MPa·m1/2）；
U——有效应力强度因子范围的修正系数。
针对Elber提出的裂纹闭合效应模型，相关学者进行了研究讨论。Jha等人[25]指出，应力比R对裂纹的闭合效果具有一定的影响。当应力比R较大时，有效应力强度因子范围可以等效为应力强度因子范围。Newman等人[26]应用有限元法对裂纹尖端的应力应变状态进行分析，有限元分析结果能够较好地吻合Elber研究的裂纹闭合效应试验结果。
随后，Newman等人[27]继续针对裂纹闭合效应理论开展了深入的研究，提出了考虑裂纹张开时的载荷条件、最大载荷值以及应力比等共同作用的有效应力强度因子范围修正公式，其修正公式见式（1-8）。进而，Newman等人通过总结前人的研究成果，建立了疲劳裂纹扩展全阶段模型[28]，并开发了金属材料疲劳寿命预测软件[29]。通过与7075-T651铝合金材料的疲劳裂纹扩展试验测试结果进行比较，证明该软件的寿命预测结果相对保守。疲劳裂纹扩展全阶段模型见式（1-9）。
式中 Popen——裂纹完全张开时的临界载荷（N/m）；
Pmax——最大工作载荷（N/m）；
f——裂纹张开函数；
p和q——材料参数。
为了更加准确地描述金属材料在不同扩展阶段的疲劳裂纹扩展行为规律，国内众多研究人员通过引入不同的参数，在经典疲劳裂纹扩展模型的基础上提出更为合理的修正公式。
熊峻江、张书明等人[30,31]基于多参数的Forman和Walker疲劳裂纹扩展公式，引入了应力强度因子范围ΔK和应力强度因子均值Km作为二元变量，建立了Km-da/dN-ΔK空间曲面。应用成组试验法进行试验测定以及参数拟合后发现，应力强度因子范围与应力强度因子均值均对材料的疲劳裂纹扩展行为具有一定的影响，且应力强度因子范围的影响程度更为明显，起主导作用。
其中，基于Forman公式的Km-da/dN-ΔK空间曲面表达式为
基于Walker公式的Km-da/dN-ΔK空间曲面表达式为
式中 Km——应力强度因子均值（MPa·m1/2）；
C、m和n——材料常数。
赵永翔等人[32]考虑了平均应力效应，在Forman公式和Elber裂纹闭合效应理论的基础上建立了涵盖疲劳裂纹扩展门槛值ΔKth、平面应变断裂韧度KIC以及应力比R等参数的全阶段模型，尝试合理描述疲劳裂纹扩展三个阶段的物理过程。根据LZ50车轴钢疲劳裂纹扩展试验测试数据对所建立的模型进行验证，证明了该模型的准确性和优越性。全阶段模型见式（1-12）。
式中 KIC——平面应变断裂韧度（MPa·m1/2）。
王泓等人[33,34]建立了适合疲劳裂纹扩展全过程的数学模型，根据40CrNi-MoA钢锻件的疲劳裂纹扩展试验测试数据，将该数学模型与Paris、Forman和Walker等经典模型的数据处理结果进行比较。结果表明，该模型能够准确地描述材料低速扩展区、中速扩展区和高速扩展区的疲劳裂纹扩展行为，具有适用广泛、计算简单等优点。疲劳裂纹扩展全过程数学模型见式（1-13）。
断裂力学领域发展至今，越来越多的研究人员开始关注含裂纹结构材料的疲劳裂纹扩展行为。目前众多描述疲劳裂纹扩展行为规律的模型都是在Paris公式的基础上通过引入相关参数的方法进行修正。但是在工程实际中，影响疲劳裂纹扩展行为的因素较多，如预循环应力、温度、腐蚀环境等，上述研究成果难以在多因素共同作用的情况下获得理想的评估结果。因此，在经典公式的基础上，需要根据不同情况下材料的疲劳裂纹扩展行为规律进行有针对性的修正处理。准确地描述材料的疲劳裂纹扩展行为可为工程中大型结构件轻量化设计的选材提供依据，同时准确的寿命预测结果可降低维护成本，对工程实际的经济性提高意义十分显著。
1.2.2 高速列车关键结构部件的服役安全问题
高速列车在运行过程中始终受到复杂环境因素的影响，同时承受随机循环载荷的作用，使其服役安全处于时变状态，给高速列车的安全保障和系统维护带来了极大的挑战[35]。随着服役日历年限的增加，高速列车关键结构部件的性能会发生改变，实际中也时有因零部件损伤而引发的重大事故。因此，高速列车关键结构部件在经历一段时间的服役过程后还能否保证结构安全成为人们关注的焦点之一，同时也成为重要的研究课题。为了确保承载结构的安全可靠，相关研究人员对高速列车各关键结构部件的力学性能和使用寿命开展研究，确保其服役周期内的结构完整性和运行安全性[36-39]。
20世纪80年代至今，针对高速列车的服役安全课题，西欧、美国和日本的相关研究人员采用损伤容限技术对高速列车结构疲劳、服役安全控制等问题进行了大量的基础性研究，研究对象主要集中于车轴、车轮、轮轨及构架等关键结构部件[38,40-44]。Beretta等人[45-47]通过试验手段和数值分析方法对高速列车车轴的损伤问题进行了大量研究，建立了车轴疲劳裂纹扩展的随机模型，并应用该模型对车轴材料近门槛值区域的疲劳裂纹扩展行为规律进行分析。随后的研究中，Beretta针对25CrMo车轴材料表面的氧化层进行试验研究，证明了氧化层对车轴的疲劳断裂性能具有一定的破坏作用。Madia等人[48]通过试验证实了压装过程对车轴疲劳裂纹扩展行为和剩余寿命具有破坏性影响，而旋转弯曲对其影响较小。Černý等人[49]从微观角度出发，研究了微观组织结构对车轴断裂力学性能的影响。Dattoma等人[50]通过试验分别获得了高强度合金钢材料在横幅载荷和交变载荷作用下的S-N曲线，为该材料在高速列车车轴结构上的应用提供了数据支持。Regazzi等人[51]考虑了残余应力对高速列车车轴疲劳裂纹扩展行为的影响，并建立了基于无交互载荷作用条件下的疲劳裂纹扩展寿命预测模型。Gravier等人[52]研究了在复杂服役环境下，高速列车车轮表面的局部损伤造成的非常规腐蚀损伤对服役寿命的影响。Stratman等人[53]应用累积损伤理论，评估了高速列车车轮的尺寸效应、载荷类型以及材料的硬度指标对疲劳寿命的影响规律。Gimenez等人[54]将有限元法应用到高速列车车轮的断裂力学性能分析当中，总结了相关断裂力学性能参数对车轮材料剩余寿命的影响。其中，疲劳裂纹扩展门槛值对剩余寿命的影响较大，而平面应变断裂韧度对其影响较小。Dahle等人[55,56]研究了载荷类型对转向架构架焊接接头疲劳寿命的影响，通过对材料进行载荷谱和恒载条件下的疲劳试验，发现在低应力幅作用下疲劳寿命对载荷类型比较敏感。Marquis等人[57]通过对转向架构架焊接接头进行疲劳试验和实际运行线路跟踪测试，指出在服役过程中较小的应力循环作用会造成材料的疲劳损伤，且这类疲劳损伤不容忽视。Blom等人[58]通过对高速列车转向架构架焊接接头进行多种载荷谱作用下的疲劳试验以及残余应力测试，指出了寿命分数与残余应力松弛行为的关系，并修正了规范中偏于危险的高速列车运行载荷谱。Jun等人[59]针对含初始微裂纹的高速列车端部底架结构，研究了结构失效时的临界裂纹尺寸，并预测了不同长度的微小裂纹扩展至临界裂纹所需要的时间，为高速列车的服役安全提供了数据支持。Miller等人[60]从短裂纹行为理论的角度出发，提出高速列车车体结构的裂纹萌生和短裂纹扩展不仅与应力水平有关，还与材料微观组织结构抵抗裂纹扩展的能力有关。出于对高速列车服役安全方面的考虑，美国国家航空航天局（NASA）[61]基于断裂力学损伤容限理论，估算了结构零部件的临界安全指标并建立了疲劳长裂纹扩展模型，即NASGRO模型。
伴随我国“大提速”战略的实施，高速列车关键结构部件的疲劳断裂问题时有发生。如CW-160型列车转向架的吊杆、构架以及横向控制杆的疲劳断裂现象，209HS型列车转向架的联系梁、吊杆以及牵引梁的疲劳断裂现象等[39]。为了保证高速列车的安全运行，国内众多研究人员对高速列车关键结构部件的疲劳断裂问题也进行了大量研究。
赵永翔等人[32,62-65]针对高速列车车轴材料进行了一系列试验研究，建立了基于车轴钢的随机S-N关系概率模型、循环本构概率模型、局部BasquinS-N关系模型以及疲劳长裂纹扩展概率模型，通过相关试验数据进行分析并证明了所建立模型的有效性和适用性。随后，赵永翔对车轴材料的疲劳断裂行为进行分析并指出，外因导致的缺陷和内在缺陷的竞争机制决定疲劳损伤过程中裂纹萌生的部位。刘志明等人[66]针对车轴材料进行不同加载条件下的试验研究，总结其疲劳裂纹扩展行为规律，通过引入有效应力强度因子范围ΔKeff，建立了适用于各种加载条件的疲劳裂纹扩展模型。将该模型应用于RC轴实际断裂事故的分析研究中，证明了超限裂纹漏探是引发断裂事故的主要因素。周素霞、谢基龙等人[67,68]对高速列车空心轴的表面疲劳裂纹扩展行为规律进行研究，并应用超长寿命疲劳可靠性方法和疲劳长裂纹扩展模型，估算了车轴的超长服役寿命和临界安全裂纹尺寸。黄国等人[69]通过试验和微观组织分析手段对45钢车轴进行研究，分析了裂纹萌生机理以及材料性能的优化方法。唐道武[70]应用等效平均力修正方法计算出列车车轮的疲劳强度安全系数，并与Sines平均主应力方法、应力分量中考虑平均应力方法和Mises等效平均应力方法的计算结果进行比较，总结三种方法的优越性和局限性。张开林[71]首次应用热点应力法评估了高速列车转向架构架的疲劳强度，避免了由于简化有限元模型而造成的计算结果不准确。闫德俊等人[72,73]采用有限元法模拟了高速列车端部底架危险结构部位的应力应变情况，发现了塑性应变和温度促使屈服应力发生应变硬化和应变软化的行为规律，并准确计算出端部底架结构的焊接残余应力场。
高速列车以其速度快、能耗低等优势已在世界范围内得到迅速的发展，同时高速列车关键结构部件的疲劳断裂问题也备受人们的关注。综上所述，相关研究人员针对此方向进行了大量研究，研究对象主要集中在高速列车车轴、车轮以及转向架构架等主要承载部件，并取得了一定的成果。相比较而言，针对高速列车端部底架结构疲劳损伤的理论研究和试验研究较少。端部底架是高速列车重要的承载结构，运行过程中承受车体自身的重量并经受恶劣的服役环境影响，这些因素都可能导致结构发生破坏。由于端部底架结构复杂，体积庞大，给试验研究带来不便，现有的基础模型和试验数据十分有限。为了保证高速列车的运行安全，迫切需要结合工程实际情况对端部底架结构开展系统性、综合性研究。
1.2.3 金属材料的低载“锻炼”效应
轻量化设计是当今高速列车及其零部件结构设计的主要发展趋势[74-76]。然而，轻量化设计结构安全服役的关键因素是保证其具有一定的可靠性和耐久性。高速列车在运行过程中承受复杂循环载荷的作用，这些循环载荷是导致高速列车零部件失效的主要因素之一[77]。关注循环载荷对高速列车结构材料产生的影响，探索提高结构材料强度和使用寿命的途径十分必要。
众多研究结果表明，施加载荷会对结构材料造成损伤，但低于疲劳极限一定范围内的低幅载荷（又称预循环应力）却能够对结构材料的强度起到强化作用，提高结构材料的使用寿命，即低载强化作用。适当的低幅载荷促使材料产生“锻炼”效应，能够提高材料的疲劳性能。所谓低载“锻炼”效应，是指材料在低于疲劳极限的预循环应力作用后使原有疲劳极限提高的现象[78]。
20世纪20年代，英国学者Gough[79]通过试验手段最早提出了有关低载“锻炼”效应的概念。Gough通过递增应力的方法设计了低载“锻炼”试验过程，即对金属材料试样在低于疲劳极限的某一应力范围进行107次循环加载试验后，将经历过低幅载荷作用的金属材料试样在原有低幅载荷的基础上提高一级继续进行107次循环加载试验，重复该过程直至试样发生断裂失效。试验结果表明，原本疲劳极限为252MPa的钢材料在经历30余次的递增应力作用后发生失效，低载“锻炼”效应促使材料的疲劳极限提高了近30%。
20世纪50年代，Sinclair等人[80]参照Gough设计的递增应力法对SAE1045钢、SAE2340钢、75S-T6铝合金、70-30黄铜等金属材料进行了大量低载“锻炼”试验。试验结果表明，低幅载荷对处于应变时效状态材料的“锻炼”效果比较明显，通过递增应力，其疲劳强度提升显著；而对于没有应变时效状态的材料，低载“锻炼”效应并不显著。同时，Sinclair提出低载强化作用的显著程度与循环载荷的作用次数有关，其能够对材料的“锻炼”效果起到控制作用。
20世纪70年代末至80年代初，Hironobu等人[81,82]针对不同热处理状态的低碳钢材料，进行了初始状态下和经低载“锻炼”作用后的旋转弯曲疲劳试验。试验结果表明，低载强化作用的显著程度与施加的载荷水平有关。当后期载荷较小时，强化作用较为明显；当后期载荷较大时，强化作用逐渐减少直至消失。Hironobu还通过非扩展裂纹的角度解释了材料低载“锻炼”效应产生的原因，即低幅载荷的循环作用促使材料产生加工硬化和应变时效，并在非扩展裂纹尖端附近区域产生强化。
20世纪末，Ishihara等人[83]针对低碳钢材料在高-低两级载荷的作用下进行旋转弯曲疲劳试验。试验结果表明，施加高于疲劳极限的循环载荷也会对材料起到“锻炼”作用，尤其当循环加载次数为材料初始寿命值的一半时，高于疲劳极限的第一级循环载荷对材料的“锻炼”效果最为明显。同时，Ishihara通过对材料中出现的小裂纹进行分析并指出，在较高的应力水平作用下，材料裂纹尖端的闭合效应更为明显，故表现为材料的疲劳寿命提高，“锻炼”效果显著。
21世纪初，Nichloas等人[84]和Lerch等人[85]针对多种金属材料进行了大量的低载“锻炼”效应试验研究，试验结果再次证明了并非所有的金属材料在低幅载荷的作用下都会产生“锻炼”效应。
为了探索提高金属材料性能的途径，充分发挥金属材料的强度潜能，国内众多研究机构和相关学者对材料的低载“锻炼”效应也进行了大量研究。
20世纪60年代，西安交通大学金属材料及强度研究所[86,87]针对不同金属材料进行了一次大规模的低载“锻炼”试验研究，开启了我国在此领域的研究先河。研究发现，对于不同的金属材料，使其产生最佳“锻炼”效果的低幅载荷值不尽相同。对于具有较好塑性性能的材料，在施加较高的低幅载荷且经历较长的“锻炼”次数后，对材料的强化作用才能体现出来；对于具有较高强度但塑性性能较差的材料，达到强化效果所需要施加的低幅载荷相对较低。材料的“锻炼”效果与施加低幅载荷的大小和“锻炼”次数有关，只有在两个条件参量设计配合合理的情况下，才能达到强化目的，材料的疲劳性能才能得以改善。
随后，张琼等人[88]通过对35VB型钢进行低载“锻炼”试验和微观组织分析后发现，低载“锻炼”效应促使35VB型钢表现出一定的延性特征，增强了珠光体的韧性性能，促使材料的疲劳强度有所提高。张琼通过对试样断口的微观组织进行分析指出，低载“锻炼”过程中，材料内部的渗碳体和铁素体由弹性应变相容逐渐转化为应变协调，提高了渗碳体塑性性能并对铁素体具有强化作用，使得材料疲劳性能提高。
吴志学等人[89]针对两种不同晶粒尺寸的中碳钢材料进行疲劳极限值附近的旋转弯曲疲劳试验。研究了材料的低载“锻炼”效果与施加载荷水平的关系，提出存在能够使材料达到最佳“锻炼”效果的临界载荷值，当后期施加的载荷大于此临界值时，对材料的“锻炼”效应逐渐消失。同时，吴志学在Hironobu等人[82]的研究基础上指出，“锻炼”效应的显著程度与材料内部原子尺寸效应引起的强化作用有关。“锻炼”效应受到由于塑性变形而在晶粒内部产生的钉扎位错的影响，当后期载荷较小时，位错线不会发生脱钉现象，材料“锻炼”效果明显，随着后期载荷逐渐增大，钉扎逐渐脱离位错线，导致材料的疲劳损伤，“锻炼”效果随之减小直至消失。
叶旭轮、刘建华等人[90,91]针对内燃机用球墨铸铁485曲轴进行初始状态和低幅载荷作用后的升降法疲劳强度测试试验。试验结果表明，经历低幅载荷的作用后，485曲轴的疲劳强度提高了近10%，并根据试验过程设计了一种类似于振动时效平台的装置用以大批量进行曲轴的低载“锻炼”试验。
20世纪90年代起，上海理工大学郑松林团队针对汽车零部件的低载“锻炼”效应做了大量研究[92-97]。郑松林等人[92]通过对40Cr试样在高-低载荷作用下进行疲劳寿命测试，分析了经历低幅载荷作用后40Cr试样疲劳强度的变化规律，获得了规定低幅载荷的最佳“锻炼”次数，并总结了低载“锻炼”次数与材料疲劳强度的关系。图1-2所示为40Cr试样经低幅载荷作用后，低载“锻炼”次数与材料疲劳强度的关系曲线[92]。由图1-2可见，材料的疲劳强度随着“锻炼”次数的增加先升高再下降。在达到最佳“锻炼”效果之前，随着“锻炼”次数的增加，材料疲劳强度的提高程度呈递增趋势；“锻炼”次数继续增加，在A处达到最佳“锻炼”效果，材料的疲劳强度潜能得以充分发挥；经过最佳“锻炼”次数后，材料的疲劳强度逐渐减小。
图1-2 低载“锻炼”次数与材料疲劳强度的关系[92]
在随后的研究中，郑松林等人[93-96]通过正交分析方法对汽车结构中不同零部件（如前轴、变速器齿轮等）进行了低载“锻炼”效应的相关研究。结果表明，在经历最佳“锻炼”载荷和最佳“锻炼”次数的强化后，汽车结构零部件的疲劳强度潜能能够提高5%～22%。此外，郑松林在对试验数据进行统计分析的基础上，给出经历低幅载荷作用后，疲劳寿命、“锻炼”载荷以及“锻炼”次数之间的关系，并为实现汽车结构零部件的轻量化设计提供依据[95,97]。图1-3所示为汽车结构材料的疲劳寿命、“锻炼”载荷以及“锻炼”次数的关系曲线。由图1-3可见，“锻炼”载荷以及“锻炼”次数共同影响着材料的低载强化效果，且只有当两个影响参数配合合理时，材料的疲劳寿命才能得到最大程度的提高。
综上所述，对金属材料低载“锻炼”效应的研究工作具有重要的实际意义，它能够为实现我国高速列车结构轻量化设计提供理论依据和数据支持。但是，由于低载“锻炼”试验研究需要花费大量的人力、物力以及财力，使得众多研究机构和相关学者望而却步，导致低载“锻炼”效应研究缺乏足够的基础数据以及理论推导公式，研究成果相对薄弱。然而，大型结构在服役过程中常常受到低于疲劳极限的循环载荷作用，了解并掌握这些低幅载荷对结构材料起到损伤作用或是强化作用，是评估结构服役安全的重要因素。此外，国内外学者对于材料受到低载强化作用而产生“锻炼”效应的相关研究都是基于低幅载荷对材料疲劳性能的影响，很少有学者开展低幅载荷对材料断裂力学性能的影响研究。若想充分认识材料的强度潜力，就需要对经历低幅载荷作用后的材料进行各项力学性能的研究和评估。
图1-3 疲劳寿命、“锻炼”载荷以及“锻炼”次数的关系[95]
1.2.4 疲劳裂纹扩展的概率模型
由于结构材料在使用过程中常因疲劳裂纹的萌生和扩展而引发失效，故材料的疲劳断裂性能成为研究人员关注的焦点之一[98]。目前，众多研究人员以断裂力学方法为基础并开始探索采用损伤容限和耐久性设计思想来评价材料的疲劳裂纹扩展行为规律。损伤容限设计要求材料既能发挥自身的力学性能，又需要保证在服役过程中具有一定的安全性和可靠性[99-102]。材料的疲劳裂纹扩展过程受到自身性能、实际结构的几何形状、裂纹性质、工作载荷以及外部环境等多方面因素交互作用的影响，往往呈现出复杂的力学行为[103,104]。同时，材料的疲劳裂纹扩展行为具有很强的不确定性，即使在控制良好的试验条件下，也不可避免地存在分散性[105-112]。
20世纪70年代至80年代，Virkler等人[113]和Ghonem等人[114]通过试验手段对材料疲劳裂纹扩展过程中数据分散性的分布规律进行统计分析，即著名的VHG试验和GD试验。试验结果表明，疲劳裂纹扩展试验数据呈现出的分散性较大，且出现交织现象。Virkler和Ghonem的结论启发了人们考虑采用随机的概念和方法来研究并解决试验数据的分散性问题。
姚卫星等人[115,116]将疲劳裂纹扩展分散性的性质进行归类，即内在因素分散性（如材料微观组织缺陷）和外在因素分散性（如外部载荷和外部环境），并综述了疲劳裂纹扩展随机性的两种处理方法。其中，第一种方法是基于断裂力学理论，将疲劳裂纹扩展速率表达式中的材料参数进行随机化处理。第二种方法是建立在Markvo随机过程基础上的累积损伤模型。
Bogdanoff等人[117,118]应用概率损伤容限理论，通过将材料的损伤状态分割成离散单元，建立了能够描述恒幅载荷和随机载荷条件下疲劳裂纹扩展分散性的概率损伤模型。Lassen等人[119,120]应用此模型分析了焊接接头裂纹扩展的随机性问题，并指出该模型缺乏一定的适用性。Yang等人[121,122]基于Markov随机过程，通过确定性的裂纹扩展数据来预测裂纹扩展随机性造成的累积损伤问题，目前已经广泛应用于飞机结构材料的损伤容限与可靠性设计当中。Madsen[123]应用线弹性断裂力学理论，建立了能够准确描述恒幅载荷和交变载荷条件下疲劳裂纹扩展行为的随机模型，并对模型中的参数进行统计分析。Kebir等人[124]应用Monte-Carlo法对工程结构材料的失效情况进行分析，建立了能够评估含多裂纹结构的可靠性数值模型，并将该模型应用于单排孔平板结构的耐久性设计当中。Shkarayev等人[125]分析了结构内部裂纹之间的相互作用，讨论了广布疲劳损伤导致结构失效的概率，最终提出了一种能够评估多裂纹结构可靠性的新方法。
为了解决疲劳裂纹扩展的随机性问题，相关研究人员将断裂力学理论方法与概率统计分析方法结合起来，尝试从概率的角度来描述材料的疲劳裂纹扩展行为以及数据分散性的分布规律，并建立了考虑可靠度p的疲劳裂纹扩展概率模型。
徐小平等人[126]通过对30CrMnSiNi2A型钢的疲劳裂纹扩展试验数据进行概率统计分析，拟合出具有一定可靠度的p-a-N关系曲线，进而获得p-da/dN-ΔK关系曲线。徐小平分析指出，应力比对具有一定可靠度的p-da/dN-ΔK关系曲线影响较大，随着应力比的增大，概率疲劳裂纹扩展速率也随之增快，且当规定的可靠度增加时，概率疲劳裂纹扩展速率的增长趋势更为明显。
熊峻江等人[127]根据相同应力强度因子范围内的疲劳裂纹扩展速率服从正态分布这一理论为基础，应用极大似然原理推导出概率疲劳裂纹扩展速率随机模型。随后，在该随机模型的基础上，熊峻江提出了两种具有一定可靠度的p-da/dN-ΔK关系曲线模型。三种模型各具特点，其中应用极大似然原理推导出的随机模型在任何规定可靠度p下拟合出的p-da/dN-ΔK关系曲线与da/dN-ΔK关系曲线的截距lgC不同而斜率m完全相同；模型1拟合出的p-da/dN-ΔK关系曲线中的截距lgC和斜率m与da/dN-ΔK关系曲线完全不同，当规定可靠度p增大时，截距lgC和斜率m也随之增大；模型2拟合出的p-da/dN-ΔK关系曲线能够充分体现出试验数据的分散性规律，且拟合出的p-da/dN-ΔK关系曲线中的截距lgC和斜率m与da/dN-ΔK关系曲线完全不同，与模型1不同的是，当规定可靠度p增大时，截距lgC和斜率m的变化没有规律性。三种p-da/dN-ΔK关系曲线模型分别见式（1-14）～式（1-16）。
随后的研究中，熊峻江等人[30,31,128]在通过多参数Forman和Walker公式建立Km-da/dN-ΔK空间曲面的基础上，提出了具有可靠度的p-Km-da/dN-ΔK的试验数据处理方法及参数估算表达式。
其中，基于Forman公式的p-Km-da/dN-ΔK空间曲面表达式为
基于Walker公式的p-Km-da/dN-ΔK空间曲面表达式为
赵永翔等人[129]通过对LZ50车轴钢进行疲劳裂纹扩展试验研究，首次提出了考虑平均应力效应和近门槛值区域低应力强度因子范围的疲劳裂纹扩展速率方程并建立了具有可靠度、置信度的疲劳长裂纹扩展概率模型。赵永翔采用线性回归分析方法和极大似然统计分析方法对模型中的参数进行测定。结果表明，该模型拟合出的p-da/dN-ΔK关系曲线能够较好地描述试验数据的分散性分布规律，并能够降低试验样本数量对概率评价的影响，证明了该概率模型的有效性与实用性。疲劳长裂纹扩展概率模型见式（1-19）。
综上所述，众多研究人员采用随机裂纹扩展分析方法和可靠性评估方法来建立疲劳裂纹扩展概率模型，并取得了一定的成果。但是，所建立的概率模型仍具有一定的局限性，并不能够成熟地应用于工程实际中。目前，工程中广泛采用考虑可靠度、置信度的方法来描述材料的疲劳裂纹扩展行为规律以及预测疲劳裂纹扩展寿命，其评估结果往往偏于保守，并不能够真实地反映出材料的断裂力学性能。因此，需要通过概率统计分析方法来准确评估材料的疲劳裂纹扩展分散性分布情况，为结构材料的服役安全提供保障，同时满足经济性要求。