第2章　接收分集——最大比合并

2.1　系统模型和ML接收机

我们从单输入多输出（Single-Input Multiple-Output，SIMO）系统的例子开始介绍，其中接收机有N个接收天线，如图2-1所示。在这种情况下，测量向量y的数学模型为：

y=hs+ρn （2.1）

其中，信道向量h的元素h_i是方差为1的复正态随机变量，噪声向量n的元素n_i也是方差为1的复正态随机变量，两者相互独立。

假设接收机已知h，利用SISO例子中的方法，来获取SIMO的ML检测器，这种情况下，的表达式就变成：

式（2.2）在的最小二乘（Least Square，LS）解处取得全局最小值（见附录E）：

而可以改写为：

由于最小二乘解的性质，上式等号右边的最后一项为0：

所以可以继续简化为：

因此，在接收分集的情况下，式（2.2）这一ML检测器可简化为：

其中，为最小二乘解[见式（2.3）]。

上述结果表明，在接收分集场景中，最优解是先对s做最小二乘估计，得到，随后的处理与SISO相同。

在接收分集的情况下，最小二乘解也被称为最大比合并（Maximum Ratio Com bining，MRC）^[15-16]。当接收天线数为2时，式（2.3）可写作：

这意味着，先将信道的相位影响从每个天线接收的信号中去除，然后根据信道强度（每天线SNR），对去除信道相位影响的信号进行加权求和。

2.2　错误概率评估

在式（2.3）中代入式（2.1），会得到：

注意噪声项的方差为，因此经过MRC合并后的SNR，即处理后SNR（post processing SNR，ppSNR）为因此，对于给定的h，其错误概率与式（1.6）类似：

通过对式（2.10）基于复正态分布h进行平均，得出错误概率：

参考附录B，使用式（B.7），式（2.11）的上界可以简化为^[6]：

可见，接收分集大大降低了错误概率。直观来看，这种结论可以从表达式中推导出来，隐含于式（2.9）中。估计误差的方差取决于所有信道的绝对值，而不仅仅是SISO情况下的一个信道。此外，在白噪声信道的情况下，MRC只是对来自多天线的信号进行平均，将估计误差的方差减小为原来的1/N。

在这一点上，先介绍MIMO中的两个重要概念。

·首先是分集阶数（Diversity Order，DO）：

这是错误概率曲线在高信噪比时的斜率。

·第二个是阵列增益（Array Gain，AG），定义为ppSNR与SNR的增益：

AG的另一种更有意义的定义（从性能角度来看）可能与之前的定义不一致，那就是相对于错误概率曲线（比如，QPSK曲线）的偏移：

在接收分集的情况下，DO和AG（根据两个定义）都等于N。具有2个和4个接收天线的MRC的SER曲线如图2-2所示。