3.3　三变量联合概率分布

3.3.1　三维联合概率分布函数及重现期

设X，Y，Z为具有相关关系的随机变量，其联合分布函数定义为：

式中：x，y，z分别为变量X，Y，Z的取值；F（x，y，z）为三维联合不超过概率。

则至少有一个变量被超过的联合重现期为：

当变量X，Y，Z相互独立时，其联合概率分布为：

则各变量相互独立时的联合重现期表示为：

3.3.2　三维条件分布函数及重现期

设X，Y，Z为具有相关关系的随机变量，其联合概率密度函数为f（x，y，z）；fX（x），fY（y），fZ（z）分别为X，Y，Z的边际概率密度函数，则：

（1）在Z＝z条件下，事件（X≤x和Y≤y）的联合概率分布函数及概率密度函数为：

相应的条件重现期表示为：

如果X，Y，Z相互独立，则：

（2）在Y＝y，Z＝z条件下，事件X≤x的联合概率分布函数及概率密度函数为：

相应的条件重现期为：

如果X，Y，Z相互独立，则：

（3）在Z≤z条件下，事件（X≤x和Y≤y）的联合概率分布函数为：

相应的条件重现期为：

如果X，Y，Z相互独立，则：F（x，y｜Z≤z）＝FX（x）FY（y）。

（4）在Y≤y，Z≤z条件下，事件X≤x的联合概率分布函数为：

相应的条件重现期为：

3.3.3　三维联合概率分布模型

当变量维数n≥3，多变量联合概率分布问题因其复杂性难以有明确的解析表达式，只有在各变量均属正态分布时，其联合分布函数才会有解析表达式。

设三维随机向量X＝（X1，X2，X3）服从参量为（μ，∑）的三维正态分布，记作X～N（μ，∑），则其概率密度函数为：

式中：μ＝EX为数学期望向量；∑＝DX＝（X－EX）（X－EX）T为方差矩阵，∑－1为∑的逆矩阵；（X－μ）T为（X－μ）的转置；det∑表示矩阵∑的行列式。

各参数表达式如下：

三维正态分布模型由于计算较为复杂，且需要对变量边际分布进行正态化转换会影响分析的准确性，因此，在实际中较少应用。