2.2　两个流动性冲击

我们从流动性冲击ρ有两种值的情形开始，高状态（ρH）和低状态（ρL），并且满足：

对流动性冲击做这样的限制是因为低于ρ0的冲击不需要提前安排融资，但是超过ρ0的冲击则需要。式（2.1）中的高低冲击则涵盖了这两种主要的情形。令fL和fH分别为发生低和高流动性冲击的概率。我们假设：

式（2.2）的中间项是完成1单位项目的最低期望成本（见下面）。如果项目在两种状态下都能持续，期望成本是括号中的前一部分。如果项目只在低状态下持续，括号中的后一部分表示每完成1单位的期望成本。右边的不等式表示该项目是社会有利的，而左边的不等式保证了项目不是自融资的（可保证收入不能覆盖任何策略下的总投资成本）。一个自融资的项目可以在任何规模下进行，从而可以得到任意的支付。

我们关注的是一种次优合同，该合同明确了投资规模I和分别对应低流动性冲击和高流动性冲击状态下的持续运营规模iL≡i（ρL）以及iH≡i（ρH）（都小于等于I）。该合同同时还明确了给投资者和企业家最终的支付，但是正如简单的两期模型所示，我们很容易发现将所有的流动性收益ρ0i（ρ）全部分配给投资者并且只留给企业家非流动性收益部分（ρ1-ρ0）i（ρ）是最优的。企业家只拥有非流动性所有权是因为内部流动性资金的收益超过了市场收益率（我们设为0）。

次优解可用如下最优规划求得：

满足约束

目标方程是投资的期望社会收益。显然预算约束（2.4）在最优时是紧的。将预算约束代入目标方程，消除I，我们得到一个等价的项目，其中企业家的期望租金而非期望社会收益，得到最大化。因为投资者均得到市场利率（0），所有的社会剩余都归企业家。我们一般都会令企业家的租金（他的期望净效用）作为我们的目标。

预算约束清楚地说明，投资者为流动性冲击提供保险。当低流动性冲击出现时，企业为每单位的持续投资支付给投资者ρ0-ρL＞0。当高冲击出现时，投资者向企业支付ρH-ρ0＞0。

因为ρ1-ρL和ρ0-ρL都是正的，所以如果出现低流动性冲击，那么按照全部规模持续运营对投资者和企业家都有利，这样就有iL=I。[1]这个系统简化为两个变量值的选择：初始规模I和高冲击时的持续规模iH。这两种投资之间存在权衡取舍。选择的I越大，iH应该越小，因为两者都表示投资者的花费（与放松约束的iL相反）。令x=iH/I表示当第1期高冲击出现时项目中持续的部分，并且令

表示持续运营的期望单位成本。最大的初始投资规模I（x），作为高冲击状态下持续的项目的比例x的方程，由预算约束（2.4）给出：

企业家的期望净效用（等于社会剩余）是：

这里μ（x）是额外增加1单位企业家资本的总价值并且由下列形式表示：

因为由式（2.3）到式（2.5）描述的规划的拉格朗日方程是线性的，所以我们只需要评价x=0（只在低冲击时持续）以及x=1（永远持续）时的效用水平。在两种情况下都会按照全部规模I持续进行，不考虑部分持续的情况。对U（1）-U（0）的直接评价（也即两种情形下效用的差）告诉我们当且仅当以下条件成立：

对两种流动性冲击出现都提供保险（选择x=1）是最优的。

当ρH=ρ0，不等式（2.10）成立并且项目会在两种状态下都持续。当ρH从ρ0增加到ρ1，差μ（1）-μ（0）从严格负单调性地变化到严格正。所以在这两个极端的ρH值之间有一个临界值c，满足ρ0＜c＜ρ1，使得该项目会继续当且仅当以下条件成立时会继续：

简单改写临界条件μ（0）≤μ（1）我们可以得到：

我们可以将c理解成有效投资的单位成本（the unit cost of effective invest-ment），表示将1单位投资完成平均需要的成本。我们可以从直觉上理解条件（2.11）表示在高冲击状态下继续是最优的当且仅当有效投资的单位成本（提高规模的期望成本）小于冲击的成本（流动性的成本）。我们将看到在连续统的情形下一个相似的条件成立。

可以将不等式（2.10）改写为下列在高冲击和低冲击状态下都继续的充要条件。[2]

式（2.13）中ρH和ρL的作用非常直观。它们反映ρH增加和ρL下降都会造成更大的事前规模，这是以更少的事后流动性为代价的。较低的ρL增加了初始规模的回报，但是较大的ρH会使得事后要继续的成本变高。式（2.13）中fL的作用不明显，因为当fL下降时在高状态下继续运营的收益和成本都上升。所以，问题变成企业该如何将额外1单位在初始投资和第1期的流动性供给之间进行分配。当fL下降到0，只在低冲击下投资的净收益也下降到0，但是两种状态下都继续的净收益有一个严格正的上限值。所以fL足够小的话，在高状态下也继续是较好的选择。

注意（重复的流动性冲击）前述分析存在一个局限，即没有适当考虑流动性管理丰富的动态性。在初始合同期（第0期）后，只有一个阶段（第1期）企业需要新的现金。所以，在第1期储存流动性是没有意义的，所有在第0期储存的流动性都是可用的[3]，但也可能被滥用（存在其他使用流动性选择的情况下，参见附录2A）。近来一些相关研究在重复道德风险的无限时域模型（infinite-horizon model）中讨论了最优流动性管理问题，比亚斯等（Biais et al.，2007）以及德马佐和费施曼（DeMarzo and Fishman，2007a, b）阐明了投资和可用流动性是如何随着时间的变化调整直到实现最优契约下的利润的。例如，比亚斯等认为流动性并不是注定要被完全耗尽的，即便它实际上在反向的冲击之后减少了。当情况变差时，只有缩减规模而非完全暴露在流动性冲击之下才可以确保纪律。这一措施类似于银行业监管中的资本要求，企业应该将部分流动性作为必要的准备金。