3.2 社交网络竞争性信息扩散微观概率模型构建

3.2.1 竞争性信息扩散过程分析

假设在竞争性信息传播模型中，网络上同时有A和B两种不同类型的信息随着时间的推移进行竞争性传播。按信息传播过程中网络节点所处状态的不同，可将节点划分为四类，分别为未传播任何信息的节点（S状态）、已收到A信息并积极传播的节点（I_A状态）、已收到B信息并积极传播的节点（I_B状态）、已失去信息传播兴趣并对所有信息持抵制态度的遗弃状态节点（R状态）。网络节点状态转换关系^[1～3]如图3.1所示。

在图3.1中，λ₁和λ₂分别表示A信息和B信息的信息传播率，刻画的是一个处于未传播任何信息状态下的节点对某种类型信息的响应程度，传播率越高，表示该节点选择传播该条信息的可能性越高。δ₁和δ₂分别表示对A信息和B信息的遗弃率，随着时间的推移，节点会逐渐对传播过的信息失去兴趣，在沉寂中慢慢遗忘。θ₁和θ₂分别表示A信息和B信息的置换率，即相互影响力，θ₁越大，表示B信息的吸引力越大，能把传播A信息的节点状态转化为传播B信息；反之，θ₂越大，表示A信息的吸引力越大，能把传播B信息的节点状态转化为传播A信息。

由上述转化规则可知，网络节点的状态空间是C={S，I_A，I_B，R}，每个节点的状态转换是一个相对随机的过程，下一时刻的状态与该节点的历史状态无关，而只与当前状态有关，即节点的“将来”不依赖于“过去”而仅由“现在”决定，整个信息竞争扩散传播过程本质上是一个马尔可夫随机过程。因此，可用分布函数来描述节点状态转换的马尔可夫性。若用X表示节点状态转换的随机变量，用C表示信息传播过程{X（t），t∈T}的节点状态空间，用T表示离散时间序列，则在条件X（t_i）=x_i，x_i∈C下，X（t_n）的条件分布函数恰好等于条件X（t_n-1）=x_n-1下X（t_n）的条件分布函数^[4～6]，即

因此，竞争性信息传播过程本质上是每个网络节点在状态空间C中不断进行状态转换的马尔可夫链。节点从状态u迁移到状态v的转移概率记为p_ij，

由此可获得转移概率矩阵P：

若结合图3.1所示的网络节点状态转换关系，将竞争性信息传播模型的节点状态规则代入式（3.3），则转移概率矩阵P可简化为

在竞争性信息传播过程，一个节点从S状态X（t_s）=S出发，在t_i时刻转化为I_A状态X（t_i）=I_A或I_B状态X（t_i）=I_B，再经过若干时间步的竞争，最后在t_n时刻转化为R状态X（t_n）=R。从此退出竞争过程而节点状态不再改变，直至传播过程结束，如图3.2所示。

在t∈（t_i，t_n）期间，由于A信息和B信息相互竞争，一个I_A状态节点可能转化为I_B状态节点，或者一个I_B状态节点可能转化为I_A状态节点。在这个随机过程中，转移概率矩阵P只与节点状态和时间t有关。因此，竞争性信息传播过程是齐次的马尔可夫链，根据C-K方程可知，网络节点状态的n步转移概率矩阵P（n）为P（n）=Pⁿ。在竞争性信息扩散过程中，经过n个时间步演化后，网络节点的最终状态只与节点初始状态和一步转移概率有关。

3.2.2 竞争性信息扩散微观概率模型构建

网络上节点的状态转移概率不仅与信息传播率λ₁，λ₂、遗弃率δ₁，δ₂、置换率θ₁，θ₂有关，而且与社交网络拓扑结构有关，可通过邻接矩阵与节点度值描述其内部结构。邻接矩阵运用图论的思想，刻画社交网络系统上节点之间的相邻关系。具有N个节点的邻接矩阵D是一个N阶方阵，其元素为

网络中某节点的邻边数量称为该节点的度，用k表示。网络拓扑结构的邻接矩阵表示方法与节点度表示方法本质上是等价的。邻接矩阵D与节点i的度k_i满足如下函数关系式：

式中，邻接矩阵的二次方D²中的主对角线上的元素就是节点i的邻居节点数，即节点i的度。

根据图3.1和式（3.4），下面分别讨论节点在不同状态下的转移概率。

（1）S→I_A，I_B，节点从S状态转化为I_A，I_B状态。

假设t时刻一个S状态节点i同时与多个I_A，I_B状态传播节点相邻，如图3.3所示。

每个I_A状态节点成功地将自身持有的A信息传播给节点i的概率为λ₁，传播不成功的概率为1-λ₁，若相邻的所有I_A状态节点均传播不成功的概率为λ_SS1，则t时刻的λ_SS1（t）可表示为

式中，表示t时刻节点j为I_A状态的概率。

同理，所有I_B状态节点通过邻接关系传播都不成功的概率λ_SS2为

式中，表示t时刻节点j为I_B状态的概率。

综合式（3.7）、式（3.8）可知，t时刻节点i无法接收到任何信息的概率λ_SS为

若t时刻网络上的S状态节点个数为S（t），且用表示S状态节点无法接收到任何信息的概率的期望值，则

实际上，也表示S状态节点在下一时刻仍保持为S状态的概率，也就是转移概率矩阵P中的转移概率p₁₁，即

S状态节点转化为I_A，I_B状态的转移概率p₁₂，p₁₃可进一步表示为

（2）I_A，I_B→R，节点从I_A，I_B状态转化为R状态。

网络中处于I_A，I_B状态的节点随着时间的推移，会逐渐对信息失去兴趣，在沉寂中慢慢遗忘，I_A，I_B状态节点对信息的遗弃率分别为δ₁，δ₂。由于I_A，I_B状态节点转化到R状态与R状态节点无关，仅由I_A，I_B状态节点的遗弃率决定，因此转移概率矩阵P中的转移概率p₂₄，p₃₄取值为

（3）I_A→I_B、I_B→I_A，节点从I_A状态转化为I_B状态或从I_B状态转化为I_A状态。

在信息传播过程中，一个I_A状态节点和一个I_B状态节点相互竞争，在下一时刻都希望对方转化为与本方相同的状态，这种竞争力度的大小取决于各自的置换率θ₁，θ₂。假设t时刻社交网络上同时存在多个I_A和I_B状态节点，并分别用I_A（t），I_B（t）表示它们的数量。类似地，可推导转移概率p₂₂，p₂₃，p₃₂，p₃₃分别为

将各种状态之间的转移概率代入式（3.3），可得转移概率矩阵P为

若将一个节点i的状态表示为，则S，I_A，I_B，R状态节点的状态取值分别为（1，0，0，0）^T，（0，1，0，0）^T，（0，0，1，0）^T，（0，0，0，1）^T。因此，节点的状态变量是离散型随机变量，从而节点i在t时刻属于某一状态的概率可表示该种状态的数学期望，即

式中，，，，分别表示t时刻节点i属于S，I_A，I_B，R状态的概率，一个节点在某一时刻一定属于四种状态中的一种，因此一定满足事件概率的规范性和可列可加性，即。

根据移概率矩阵P，结合式（3.21），通过平均场理论可得到竞争性信息扩散微观概率模型如下：

式中，，d_ij为D中第i行、第j列的取值。

由微观概率模型可见，竞争性信息传播过程中网络节点的状态转化不仅与信息传播率λ₁，λ₂、信息遗弃率δ₁，δ₂、信息置换率θ₁，θ₂有关，而且受网络结构的影响。