3.4　望远镜的动态结构分析

3.4.1　风和地震波的能量谱

3.4.1.1　风的随机特性

风是空气流动所产生的一种自然现象，它有两个重要参量，一个是方向，另一个是速度。风是一种随机现象，就是说在任一时刻，它的方向和速度都是不确定的。风的速度包括两个部分的和，一部分是平均速度Vm，另一部分是随机变化的速度v（t）。

风的平均速度是距离地面高度z的函数，它与地表粗糙度z0也有关系。

式中V（zref）是参考高度上的风速。表3.1列出了不同地面的粗糙度。

表3.1　不同地区地表的粗糙度

对于随机变化的风速，可以用能量谱描述。风的能量谱Sv（f）是风在各个频率上的能量分布，对风的能量谱积分就可以得到风的方差值。方差值的平方根就是标准误差。如果随机变量服从高斯分布，那么风速落在Vi和Vm之间的概率是：

具体说，落在－σv和σv之间的概率是68.3％，落在－2σv和2σv之间的概率是95.4％，落在－3σv和3σv之间的概率是99.7％。

风的能量谱有不同模型，不同模型对应不同能量谱公式，最常用的是达文普特（Davenport）能量谱，达文普特能量谱在高频区能量比较小，以后斯密由（Simiu）对这方面进行了修正，后称为斯密由能量谱。斯密由能量谱公式为（见图3.36）：

式中V*=V（z）/2.5ln（z/z0）是风的剪切速度，n=fz/V（z），f是频率。注意能量谱与风速平方成正比。斯密由能量谱的另一种表达式为：

风的剪切速度和风的方差值有着直接关系，有：

风的风头压力可用下式表示：

式中ρ是空气密度，注意空气密度是海拔高度的函数，比如在海平面上当风速为10 m/s时，其风头压力为61 N/m2，而在海拔5000米高时，其风头压力仅是38 N/m2。

3.4.1.2　风对物体的作用力

风对物体作用力是风压P、物体对风的截面积A和物体形状的函数：

式中CD是物体形状和风的动态性能的参数，称作风阻系数。在考虑平均风速和随机风速共同作用时，有两种方法：一种是求出等效风速，用等效风速来求风对物体的作用力；另一种是利用风的能量谱来求随机风速对物体的作用加上平均风速对物体的作用。这两种方法的原理和公式将分别讨论。

因为风是一种随机事件，假设它服从高斯分布，则随机风速的概率可以用下式表示：

式中Vm是平均风速，σv是风速标准误差，它们的值为：

考虑风对物体的作用力与风压成比例，因此它可以写成Kv2的形式。这样风对物体的作用力的平均值和标准误差可以表示为：

风对物体的总作用一般用其均方根值来表示。而风对物体作用力的均方根值包括两部分：一部分是风的作用力的平均值，另一部分是其随机部分，随机部分用标准误差来表示。两者的均方根值就是风的总作用力的均方根值：

如果把括号中的值用一个假设的等效风速来代替，则这个等效风速是：

这个等效风速仅比风的平均速度略大一点，这是由风的随机特性决定的。从另一角度看，一个有一定面积的物体，当风的速度在物体上一点达到其峰值时，在其他各点的风速一般不可能同时到达峰值。也就是说随机变量和的均方差一般小于单个变量的均方差之和。

另一种求出随机风速对物体作用力的方法用下列公式表示（参见图3.37）：

在上式中，第一项就是静态风速的作用力，第二项就是动态作用力的值，而第三项值很小，一般可以不考虑。第一项的计算十分简单，第二项计算中必须引进一些新概念。首先引进作用力频谱的概念，由上式中的第二项，作用力频谱为：

式中S（f）是风的频谱。对于大型结构，由于它自身尺寸很接近风的波长，这时的作用力频谱还要加上一个空气动力响应因子（admittance）Xaero（f）2，但是空气动力响应因子的大部分值均为1。

在有限元公式中，通过作用力频谱SD（f）可以直接求出结构的响应频谱SR（f）。

式中［H］是结构传递函数矩阵。知道了结构的响应频谱，通过在频率上积分，就可以获得动态作用力对结构的影响。动态作用力对结构的影响加上平均风速对结构的影响就是总的风对结构的影响。

用这种方法来计算动态作用力对结构影响有一个很大的优点，它可以知道这些影响和频率的关系，同时我们还可以预测到通过控制系统，哪些频率的影响可以进行补偿。关于如何从作用力频谱SD（f）求出结构响应频谱SR（f），我们将在下一节中进行讨论。

3.4.1.3　细长杆的涡旋谐振（Vortex shedding resonance）

风对结构影响的另一个必须考虑的问题是细长杆的涡旋谐振，在设计中应该尽力避免发生涡旋谐振现象。涡旋谐振是由在细长杆下游交替变化的低压区所形成的。涡旋谐振频率和风速以及Strouhal数成正比，和长杆直径成反比。当Reynolds数很大时，Strouhal数的值是0.12（Sarioglu，2000）。细长杆谐振产生的条件是：

式中Vcr是产生振动的风速，单位是m/s，d是杆的直径，L是杆的长度，直径和长度使用相同单位，Λ是一个决定于支承条件的常数，见表3.2所示。

3.4.1.4　风对镜面的压力分布

图3.38列出了镜面在两个高度角位置时的风压分布，一个位置是高度角90度，另一个是高度角45度。图中数字是以风的能量谱中的最高值进行归一化处理的。考虑风对望远镜影响时，还要考虑圆顶室对风力的衰减作用，正常圆顶室对风力的衰减大约是使风力减小到原来的。同时圆顶室尺寸会使一定风速在某个频率上产生谐振。圆顶使风力减小的同时也使风能从低频向高频转移，这在设计中是需要注意的。

3.4.1.5　地震的响应谱

地震随机运动可以用其加速度频谱表示，地震运动一般有三个方向分量，两个是水平方向，一个是竖直方向。地震运动的加速度频谱是一种地震波的响应谱即地震波对于单一的弹簧质量系统所产生的最大影响。地震波响应谱的平方是地震能量谱。这个能量谱是频率的函数，同时也与系统阻尼相关，一般情况下采用的阻尼值为1％。典型的地震波响应谱的图形如图3.39所示，在这个图中最大地表加速度为0.3g，但是在2到10赫兹之间，相对于地表加速度，它们有一个较大的放大系数。地震的震级是一种常用的衡量地震大小的表示方法。里氏震级M的公式为（见表3.3）：

式中Ef表示断裂带所释放的能量。一般来讲，5级以上的地震会产生很大破坏。地震震级和最大地表加速度有着密切联系，震级愈大，地表加速度就愈大。

表3.3　最大地表加速度和地震的震级关系

3.4.2　望远镜的动态模拟

光学望远镜的动态模拟是一个十分重要的议题。动态模拟包括模态分析、瞬时响应、强制振动和频率响应等多种分析形式。模态分析是动态分析的第一步，它给出结构发生谐振的频率值和它所对应的结构振型，当外部输入振动具有这些特定频率时，即使信号振幅非常微弱，长时间的强制振动均可能引起结构的损害。这些谐振频率和结构振型各不相同，但是任何结构的复杂振动均是由这些基本的振动形式组合形成的。在望远镜的控制中应该极力避免这些频率输入振动。同时这些谐振时的振动形式两两互相正交，它们代表了结构需要最少外力情况下的变形形态。谐振频率越低，复制它的弯曲振型所需要的外力就越小。在光学望远镜中，主动校正光学像差的一个便捷途径就是在镜面轴向支承中，通过支承力的调整，复制镜面在发生谐振时的各种弯曲振型，然后通过将不同镜面弯曲振型组合起来以补偿望远镜本身的固有像差。振型研究的另一个作用是可以正确地安排传感器的位置，这些传感器的理想位置是在各个振型的重要节点附近。

总之通过动态模拟，可以清楚地了解光学望远镜在不同条件下的振动状态。这对于大型光学和射电望远镜的控制和使用是十分重要的。

3.4.2.1　正交模的分析

正交模分析的目的是了解结构的动态性能和谐振频率，从而估计出结构在动态载荷下的振动情况。正交模分析同时可以为进一步的瞬时动态分析提供必要的准备。

考虑结构的动态方程：

式中［M］是质量矩阵，［K］是强度矩阵，｛u｝是位移。这个方程的解为：

将上式代入方程3.103中，有：

这是一个特征值方程，它的不寻常解所对应的ω和｛φ｝值分别是结构的谐振圆频率和模的形状。谐振圆频率是谐振频率和2π的乘积。对于含有n个自由度并且在每一个自由度上有着相关质量的结构，它共有n个谐振频率以及相对应数目的振动模。当结构发生振动时，它的任何复杂的振动形状均是各种振动模形状的线性组合。由于这些振动模具有正交性，镜面的任何复杂变形均可以用这些基础模的线性组合来获得。所以在实现主动光学时可以先获得实现这些振动模形状时的镜面受力情况，然后将这些简单模型的受力情况进行线性组合获得所需要校正的望远镜像差的镜面变形。

如同在静态结构分析中可以使用矩阵分部的方法，在正交模分析的时候，也可以使用矩阵分部的方法。这样大结构就可以用小矩阵运算来求得它的谐振频率和模的形状。设u0是可以免去的自由度，也可以是结构内部细节上节点的自由度或节点转动自由度，它们所对应的外力P0一般为零。

有：

从而所有自由度均可以用ua来表示，这一点和静态分析是一致的。

3.4.2.2　瞬时响应分析

瞬时响应分析有两种：一种是直接迭代法，另一种是通过模的形态来求解瞬时响应。直接迭代法实际上是求解下列方程：

式中［B］是阻尼，{P（t）}是外力。这个方程可以用下面的方法来求解：

将上面的公式代入前面的微分方程3.108：

通过模的形态来求解瞬时响应是这样进行的。首先将物理坐标位移u转化为模态空间的坐标位移ξ：

这里［φ］是由各个频率所对应的模矢量组成的矩阵。在运动方程中暂时不考虑阻尼项，并用模态空间的坐标代入运动方程：

每一项乘上［φT］：

上面的公式就是一个单独的二次方程，不过这里的质量是模态空间的质量，这里的刚度是模态空间的刚度：

如果有阻尼项B，那么在阻尼项的前后分别乘以φT和φ就可以得到模态空间的阻尼：

方程3.112和3.113同样可以用上面迭代法中的公式3.108来求解。如果阻尼项是模态阻尼，则运动方程可以写为：

这个公式的解为：

在一般情况下，因为没有初始条件存在，所以第一项的值为零。

3.4.2.3　频率响应分析

频率响应分析是瞬时响应分析的一种特殊情况。在频率响应分析中，外力是一种在频率域上的振荡。这种频率响应可以是结构上某一点的位移，也可以是某一部件的应力等。这种频率响应是一个复数函数，它有振幅和相位两个部分。

频率响应分析也有两种：一种是直接的方法，另一种是通过模态空间转换的方法。频率响应分析的基本方程是：

通过模态空间的转换用ξ表示模态空间的位移，方程就变得十分简单：

图3.40所示是在一个平板上进行频率响应的试验装置及其记录的结果。从结果上看当外力的频率不断增加的时候，板上所测试点的位移将不断变化，并且在四个频率的数值上达到最大值。这四个频率所对应的就是这个平板的谐振频率。频率响应的振幅曲线如图3.41所示。为了清楚地了解峰值附近振幅响应的情况，在进行计算的时候应在峰值附近的区间增大频率采样的数目。一般来说，在峰值附近的半功率区间内应该至少有5个采样点。

3.4.2.4　强制振动分析

强制振动的典型例子就是地震引起的振动。在这种情况下最有效的方法就是在结构的基础上加上一个很大的质量，然后在这个质量点上施加所需要的力。一般这个附加的质量应该是结构总质量的一百万倍左右。强制振动所施加的作用可以是加速度，可以是速度，也可以是位移。如果施加的作用是加速度，则加速度的值等于：

式中ML是所加的一个很大的质量。当用函数F来表示加速度的时候，P的值就等于F。当F表示速度的时候，P的值就等于：

当F表示位移的时候，P的值就等于：

3.4.2.5　频谱响应分析

频谱响应分析主要用于结构对于随机作用力的影响分析。这里的作用力是一个广义的概念，它可以是力，也可以是加速度或其他作用。对于随机作用的描述，有下面几个概念，一个是自相关函数，一个是能量谱，这两个量互为福里哀变换。自相关函数的定义为：

能量谱的定义为：

而随机作用的均方值为：

从频率响应分析可以知道，对于某一个作用F（ω），物体会有一个响应u（ω），即

式中H（ω）是频率响应的传递函数。如果有多个作用力，则

应用矩阵的形式，有：

在很多的情况下，响应值可以用它的自相关能量谱来表示，有：

由于每一个作用的频谱分别为：

所以总的频谱响应的公式为：

在这一公式中有：

3.4.3　望远镜的结构控制模拟

望远镜结构控制模拟的基础是状态空间方程。结构的状态空间方程是从有限元方程获得的。如果在结构方程中引进驱动力或者载荷Bu，这就可以获得结构的运动方程。同时如果在结构中安置一定的传感器，我们就可以获得y值的方程，这些y值可能是电机的转速、地平和高度角的读数，也可能是主副镜的相对位置。

同样我们把物理坐标转换到模态空间的坐标中去，同时加上模的阻尼项，则有：

式中Ω是结构的谐振频率，Φ是模的形状，Mm是模的质量，是模的阻尼。

如果定义x1=qm和为状态变量，则系统的状态方程为：

通常状态方程可以记成和y=Cx的形式，则有系数A，B，C为：

在组成状态方程的时候，重要的是正确地给出输入信号和输出量与结构节点坐标的关系。同时控制系统也可以用状态空间方程来表示输入信号和输出量的关系。通过这两组状态空间方程，就可以预测望远镜的工作特性。在模拟过程中，风的载荷、轴承的摩擦力均可考虑进去。

3.4.4　望远镜的振动控制

3.4.4.1　质量阻尼调制

质量调制的原理相当简单，以单质量和单弹簧的弹性系统为例，如果在其质量上再加一个单质量和单弹簧的弹性系统，那么新组成的系统就具有两个谐振频率。这时如果新加上的子弹性系统和原来的母弹性系统具有相同的谐振频率，那么新组成系统的两个谐振频率正好位于母系统的谐振频率的两侧。两个谐振频率之间的距离与母子系统的质量比有关，质量比愈大，则两个谐振频率之间的距离就愈小。在这种情况下，母系统的质量频率响应曲线与原有的完全不一样，位于原谐振频率处的响应值为零，而位于新谐振频率处的响应值为无穷大。也就是说原有的结构在原谐振频率的振动激发下将保持静止状态，这就是动力吸收器的原理。用运动方程来表示，我们有（图3.42）：

图中。当Δ≠0时上式的解可以表示为：

式中Δ=（1－p2）（f2－p2）－νp2f2，p=p0/ω0，并且为母系统的频率，f0=为动力吸收器的频率，ν=m/M为相对质量，为调制系数。当Δ=0时式3.137无解，新的谐振频率分别是：

动力吸收器仅仅适用于一个特定的振动频率，同时它对结构和吸收器的谐振频率有较高的要求。当振动源的频率与新的谐振频率相同时，构件的振动反而会增大。

在动力吸收器的基础上加上阻尼，情况就大为改善，这就是阻尼调制器的原理。阻尼调制器的阻尼可以来自物体的表面摩擦，来自橡胶材料的内摩擦以及金属在磁场中的运动所产生的表面电流的效应。增加了阻尼以后，结构的频率响应曲线将大为改变，用运动方程来表示有：

在这组方程中，我们引入了振动源振幅的变化pα，μ0是吸收器的阻尼。上式的解可以表示为：

式中引用了前面的符号定义，并有b1=（1－p2）（f2－p2）－νp2f2，b2=1－p2（1+ν），μ=μ0/（mω0）。注意式中的振幅系数本身也是复数。从这些方程可以作出频率响应的曲线图3.43。由图中可以看出在加上阻尼后，两个无穷大的尖峰随之消失，代之而来的是一个驼峰式的曲线。有趣的是对于一定的母子系统的质量比，不同阻尼的响应曲线均通过两个不变的点。因此通过优化，可以在很大的频率范围内使结构的响应值均小于一定的值。在曲线优化的条件下阻尼器的频率往往接近但是并不等于原结构的谐振频率，而且所需要的阻尼也较小，过大的阻尼就等于没有阻尼器的效果。质量阻尼调制也可以使用下一小节中提到的有机聚合物材料，如硅橡胶等。有机聚合物材料有弹性同时又提供阻尼，通过计算可以使有机聚合物材料作为一个有阻尼的弹簧，然后调制所加的质量块来达到减振的目的，这种方法已经大量应用于航空工业和其他工业中，典型的应用是计算机硬盘探头的悬臂和航空发动机的连接法兰盘。为了获得好的阻尼效果，质量阻尼调制装置一般位于结构振动的节点上。

3.4.4.2　黏性阻尼层的应用

黏性阻尼层是由一种特殊的有机聚合物弹塑性材料构成的。这种材料含有很多长链状的有机分子，它们在变形的时候能将机械能转化为热能，我们常用的沥青就是一种这样的特殊材料。它已经广泛地应用于汽车前盖板的减振方面，硅橡胶也是一种这样的材料。这种材料的应力和应变的关系可以用复数函数来表示，即

式中σ是应力，ε是应变，E′是储存弹性模量，E″是损耗弹性模量，η是损耗比例。这种特殊材料的最大优点就是它的很大的损耗比例。用另一种表达方法来说，这种材料有很高的材料阻尼。由于这种材料的储存弹性模量很小，所以它们不适合用于承受载荷的情况。

非制约式的黏性阻尼层就是简单地在结构材料上加上的一层黏性阻尼材料。如图3.44（a）所示，图中下层为结构材料，它的弹性模量是E。当交变的外力加在这个结构上时，应变和力的关系为：

式中b和t是阻尼层的宽度和厚度，E′+iE″是阻尼层的弹性模量，h是结构层的厚度。这个结构储存的总能量是：

式中L是阻尼层的长度。而在一个周期所损耗的总能量是：

注意阻尼层的弹性模量很小，结构在一周期中的能量损失比例是：

这个比值很小，这是一种不经济的阻尼方法。为此我们应该采用制约式的黏性阻尼层。制约式的黏性阻尼层（图3.44（b））就是在阻尼材料的上面再加一层和结构材料相同的薄片，这层薄片的一端固定，一端自由伸展。当交变的力加到主结构材料时，这时阻尼层承受着剪切力，其应变从固定端的零值逐渐地增加，其值为：

这里δ是结构材料在外端部的位移。如果剪切阻尼层的剪切弹性模量是G=G′+iG″，则在一周内所损耗的总能量是：

这个结构储存的总能量是：

注意到阻尼材料的弹性模量很小，这个结构在一周期中的能量损失的比例是：

因为结构的长度L要比厚度t和h大得多，所以这种制约式的黏性阻尼层可以产生很大的阻尼。一个主要问题是阻尼层的长度有一定的限制，长度太大，端部的位移太大，会使阻尼层破坏。这时可以采用分段制约式的黏性阻尼层的方法，或者采用多层制约式的黏性阻尼层的方法。这种阻尼方法已经用于一些红外望远镜的副镜十字支承上了。

3.4.4.3　运动曲线的优化

望远镜振动的一个重要来源是其传动部件本身。当电机起动时，电机的运动可能包含很广阔的频率范围，就可能激发结构的振动。根据傅立叶变换，一个脉冲函数包含了从负无穷到正无穷的所有频率范围。为了减少激发的频率范围，一种电路设计方法就是采用滤波装置。另一种方法是使运动曲线优化，从而减少所激发的高频部分的能量。最简单的运动曲线优化是把简单的步进函数分解为两个振幅减半的步进函数，并且使第一个步进函数所产生的振动与第二个步进函数所产生的振动相互抵消。也就是说这两个步进函数的间隔正好是半个波长。在应用这个方法时必须了解结构的最低谐振频率。还有一种方法是在传统的反馈系统中引进运动曲线的优化。一种简单优化后的运动速度和位移曲线如图3.45所示，其目的是减少结构的振动。另外一种曲线优化的方法是增加一个曲线发生器，将加速度、速度和位移的运动曲线进行规定，然后前馈（feedforward）到控制系统的各个结点上来执行这些曲线，这种系统的主要缺点是系统缺少抗外界干扰的能力。一种非常理想化的运动曲线是使速度曲线成为高斯曲线，这时候加速度和位移曲线均为误差函数（erf）曲线的一部分。以下就是这种速度、位移和加速度的数学方程表达式：

在上面的表达式中，t0是这个函数周期的四分之一。这些函数的傅立叶变换可以反映它们在频率上的能量分布。计算表明这三个函数的傅立叶变换系数均随着频率的增加而以指数形式急剧下降。其中位移和速度函数的傅立叶变换系数在频率为0时为最大，而加速度函数的傅立叶变换系数在频率为1/4t0时取最大值。但是当频率为1/t0时，加速度函数的傅立叶变换的能量已经下降到它的峰值的0.1％以下。如果我们仅仅用有限频宽的福里哀系数通过反变换来求出原来的函数，我们可以发现当截止频率为0.8/t0时，反变换的误差小于10－5，而当截止频率为1/t0时，反变换的误差小于10－9。也就是说应用这种运动曲线实现控制可以避免引起任何高频的结构振动，这可能是一种有前景的振动控制的方法。在红外和毫米波段为了消除背景噪声的影响，要使用摆动副镜的机构。这些机构的摆动常常会引起望远镜的振动。在这种机构中一种有效的减振方法是在副镜的相反方向上增加一个动量相同的重块，在副镜摆动的同时使重块向相反的方向作同样的运动。这样由于副镜运动所引起的对结构的作用力将获得抵消，整个结构将不产生任何振动。详细的讨论参见第九章9.2.3节。

3.4.5　自适应控制中的卡尔门滤波器

在现代的自适应控制理论中，序列状态的估计（sequential state estimation）和滤波器（filter）是同义词（Crassidis，2004）。滤波器经常用于某一个时刻的估计值是基于前一个时刻的测量值的情况。这种序列估计不但可以重新建立状态变量的值，它同时可以将测量中的噪声进行过滤。

假设有一个线性系统，它的状态方程是：

这里的第三个公式表示对状态的同步测量。v（t）是一个平均值为零的噪声高斯分布。如果F=－1，H=1，而且噪声的标准误差为0.05。对这个过程的测量如图3.46所示。

对这样的系统，真实的动态模型是未知的，我们的目的是要对这个系统的状态通过有限的测量值来进行估计。由于不知道系统的真正参数，我们假设F的值是一个假想的=1.5时，代入上面的公式中，所获得的估计值距离实际值很远。在控制领域中，当发现问题的时候，就必须使用反馈回路。当使用反馈回路以后，状态方程和输出方程分别是：

这里是x（t）的估计值，K是一个常数的增益值，。不同的增益所产生的结果大为不同。取三种情况：（a）K=0.1，（b）K=100，（c）K=15，它们的结果在图3.46中进行了显示。这个简单的例子表明：当增益低的时候，测量结果的趋势所产生的作用小，系统的估计值主要依靠模型的正确与否。如果模型错了，估计值就相差多（case 1）。当增益高的时候，测量值趋势的作用就愈来愈大。如果增益值很大，那么所假设的模型作用就变得很小（case 2），这就是频率域的方法。其中式表示滤波器的动态特性（filter dynamics），它是系统时间常数的倒数。这个式子的绝对值是滤波器的边缘频率。当增益大的时候，这个截止频率就高，频宽就大，同时也使得更多的高频噪声进入估计值之中。相反，频宽会降低，滤波器中的噪声就少。一个恰当的增益是实现对系统进行最佳估计的关键。

在状态空间方程中，常常有输入量u。则一个闭环控制系统的方程是：

上面的公式所表示的真正的模型是：

由于输出量的测量中存在噪声，所以实际的测量值是：

为了了解状态估计中的误差，我们引进状态的估计值和它的真实值之差：

结合系统的状态方程，估计误差的方程是：

注意这个方程已经和系统输入量u没有任何关系，同时这个方程和系统的状态方程具有相同的形式。很明显增益值的选择必须要使F－KH稳定。如果这个值稳定的话，同时测量值的误差小，那么不管初始误差的大小，误差都会逐步地衰减成为零。从公式3.158的最后一项看，如果增益K大，那么滤波器的特征值（poles）就快，但是高频噪声就成了主要的噪声来源。如果增益太小，那么系统的时间常数会很大，要经过很长的时间误差才逐渐衰减。

为了求解这个最佳的增益，必须了解一个关于矩阵的定理。对一个正方形的矩阵A，如果存在一个矢量p和一个标量λ，使得：

那么这个矢量就是这个矩阵的一个特征矢量，这个标量就是这个矩阵的特征值。矩阵的特征矢量不是唯一的，通常我们用归一化后的矢量来表示。为了求得上面方程的特征值，矩阵（λI－A）必须是奇异的，即

这个方程一般称为矩阵的特征（characteristic）方程。和这个方程相关的是矩阵的另一个特征方程，这就是有名的Cayley-Hamilton定理。这个定理指明每个阶n的矩阵均满足它的另一个特征方程的形式：

如果E=F－KH是一个3阶的正方形矩阵，那么：

根据E这个矩阵的定义，可以得到：

将上面的结果代入矩阵的特征方程之中，有：

在这个式子里，前面的四项可以写作d（F），所以上面公式可以简化为：

从这里可以求出增益值K：

这个公式的一般形式应该是：

这里的矩阵O在控制系统的研究中有着十分重要的作用，它又被称为系统的可观察性矩阵（observability matrix），这个公式也称为Ackermann公式。

回到标准的状态空间方程中，如果不考虑输入量的贡献，则它的形式是一个齐次的微分方程组的形式：

要求解这样的方程，实际上是求解一个状态变换矩阵，通过这个矩阵，原始的状态将为新的状态所代替。即

这个状态变换矩阵存在下面的几个特点：

如果将这个变换矩阵的定义代入微分方程，有：

这个微分方程的解为：

这是一个非常特别的函数，在等式右侧的积分号里面同样存在这个函数。如果不断地将函数本身的值代入到积分号里面，则可以得到这个函数的解：

对于F是常数的特殊情况，这个变换矩阵是一个指数函数：

如果F不是常数，则变换矩阵的一般形式为：

写成微分的形式，有：

如果状态方程中存在输入量的贡献，则状态空间方程为：

它的解为：

将上面的公式应用到离散时间系列中取值的情况，则预估值的方程为：

这时相应的增益计算公式为：

从这些知识出发，可以得到离散序列估计的一般公式，这些公式就称为线性卡尔门滤波器的公式（表3.4）。

这里的P0是状态的初始值和真实值之差的协方差。

在这个公式中，传递方程需要进行n×n次的矩阵变换。在线性系统中，状态误差的协方差很快就会达到一个稳定值。因此可以用稳态的协方差计算一个稳定的增益值，从而减少计算的负担。这种稳定增益的卡尔门滤波器的公式如表3.5所示。

3.4.6　望远镜的基础设计

精密机械的基础设计是一门专门学科，这里不准备作详细讨论，仅介绍一些基本公式和必要的知识。望远镜的基础通常是由圆或方形的钢筋水泥块构成，如果望远镜高出地面，那么在地下的水泥基础之上要建造一些钢筋水泥块柱，然后再在这些钢筋水泥块柱上建设平台。对于要求很高、质量大的结构则应在它们圆形或者方形的钢筋水泥块基础下面再浇灌一系列钢筋水泥立柱以增加基础强度。一般这些立柱应该到达土壤性能好的底层。在基础结构分析中，露出地面部分的强度计算和一般结构分析完全相同，而地面以下部分的计算则大不一样。在地面以下部分的计算中，土壤的剪切模量G和泊松比ν具有决定作用。另外基础表面面积是其稳定性的最主要因素，表面面积大，加上好的土壤性能就保证一个稳定的基础设计。对于望远镜来说基础设计最重要的并不是它的承载能力，而是它的弹性系数，特别是会引起结构振动或指向误差的动态弹性系数。对于简单的圆形基础，如果半径是r，它在地面以下的高度是h，那它在垂直方向和水平方向的动态弹性系数分别是（Arya，1984）：

在扭转方面，其上下翻动方向上和扭转方向上的动态弹性系数分别是：

对于长方形基础，如果在其上下翻转方向上的长度是L，而在另一个方向上的长度是B，那么同样可以用等效半径的方法根据上面公式来计算它在各个方向上的动态弹性系数。这种长方形基础在各个强度方向上的等效半径的公式分别是：

有了上面的公式，我们也可以用动态弹性系数相加的方法来计算复杂地基结构的动态弹性系数。比如一个完全在地下的复合基础，其上部是一个圆形，并且在大圆板状的平台下有一圈立柱，那么它的总抗翻转的动态强度应该等于其上部圆板状平台的抗翻转动态强度加上半径平方和各立柱在垂直方向动态强度的积。不过，过于密集的立柱会减小土壤的剪切强度。通过将基础的弹性系数加到望远镜的有限元模型中，结构分析计算的结果将更为精确。表3.6列出了典型的土壤剪切模量和泊松比，这里的剪切模量是指动态剪切模量，静态的剪切模量要比这里的值小得多。在动态剪切模量小的时候，静态的剪切模量大约是动态剪切模量的二十分之一，而当动态剪切模量大的时候，静态的剪切模量大约是动态剪切模量的二分之一。为了对土壤参数有一个概念，我们列出美国新墨西哥州的地面情况。在新墨西哥州的地面，土壤性质随深度增加而各不相同。从地表到两米深，其土壤的动态剪切模量G大致为7×106N/m2，它的泊松比ν为0.15。而当深度增加到7米时，其土壤动态剪切模量G大致为2×107N/m2，它的泊松比ν为0.32。当深度继续增加，其土壤动态剪切模量G大致为3.5×107N/m2，它的泊松比ν为0.06。

表3.6　土壤的动态剪切模量和泊松比（Arya，1984）