附录　向量及其运算

1.向量的概念

既有大小又有方向的量称为向量（vector）.常表示为a或（绝大多数印刷资料中常将向量印成为黑体，如a，M1M2）.后者表示以M1为起点，M2为终点的有向线段.向量的大小也称向量的模（norm），记为|a|或.模为1的向量称为单位向量（unit vector），模为0的向量称为零向量（zero vector）.大小与a相等且方向与之相反的向量称为a的负向量，记为-a.大小相等且方向相同的向量称为相等的向量.空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量称为M点的向径（radius vector）.

2.向量的加减法

将向量a与b的起点置在一起，则以a与b为邻边的平行四边形的对角线就是a与b的和向量，其方向是由a与b的起点指向a与b的终点.记为c=a+b.向量a加上b的负向量定义为a与b的差向量.向量的加法满足交换律、结合律.

3.向量与数的乘法

设λ是一个数，向量a与λ的乘积c=λa规定为：λ>0时，c与a同向且长度为a的λ倍；λ<0时，c与a反向且长度为a的|λ|倍；λ=0时，c为零向量.数与向量的乘积满足分配律：（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb，和结合律：（λμ）a=λ（μa）=μ（λa）.

关于两个向量的平行关系有如下定理：

定理　向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在唯一实数λ使得b=λa.

4.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标

设a是以M1（x1，y1，z1）为起点、M2（x2，y2，z2）为终点的向量，以i，j，k分别表示沿x，y，z轴正向的单位向量.根据向量的加法和数与向量的乘法得到

a=M1M2=（x2-x1）i+（y2-y1）j+（z2-z1）k.

上式常称为向量的坐标表达式，记为

M1M2={x2-x1，y2-y1，z2-z1}.

在不引起混淆的情况下，上式也可写为

M1M2=（x2-x1，y2-y1，z2-z1）.

向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式分别为：

若a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），则有

a+b=（ax，ay，az）+（bx，by，bz）=（ax+bx，ay+by，az+bz）；

a-b=（ax，ay，az）-（bx，by，bz）=（ax-bx，ay-by，az-bz）；

λa=λ（ax，ay，az）=（λax，λay，λaz）.

5.两向量的数量积

向量a与向量b的数量积（dotproduct，orscalar）是一个数，记为a·b.定义为a·b=|a|·|b|cosθ，其中θ是向量a与b的夹角.向量的数量积也称为“点积”、“内积”.显然，

a·a=|a|2；a与b垂直的充分必要条件是a·b=0.

向量的数量积满足交换律：a·b=b·a；分配律：（a+b）·c=a·c+b·c和（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）.

根据向量运算规律，可以证明：如果a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），则

a·b=（ax，ay，az）·（bx，by，bz）=axbx+ayby+azbz.

6.两向量的向量积

向量a与b的向量积（cross product，or vector product）为c=a×b，其长为|c|=|a|·|b|sinθ，其方向既垂直于a又垂直于b，指向符合右手系.向量积也称为“叉积”、“外积”.显然，a×a=0；非零向量a与b平行的充分必要条件是a×b=0.

向量的向量积满足如下运算规律：

a×b=-b×a；（a+b）×c=a×c+b×c；（λa）×c=a×（λc）=λ（a×c）.

根据向量运算规律，可以证明：如果a=（ax，ay，az），b=（bx，by，bz），则