3.5 容错控制

非高斯随机分布控制系统容错控制器的任务是设计合适的容错控制器使发生故障后的PDF仍能跟踪给定的PDF。这里由式（3.19）设计一个基于PI跟踪权值的容错控制器。与式（3.3）相似，给定的PDF描述如下。

其中，Vg是与Bi（y）对应的理想权向量。我们设计跟踪控制器的目的就是寻找一个u（t）使得γ（y，u（t））跟踪g（y）。众所周知，如果Ve=Vg-V→0，。因此，PDF控制问题就转换为非线性权值跟踪问题。

根据故障系统式（3.18），定义一个新的状态向量

故障系统式（3.18）可进一步表示为

其中

假设3.4 假设存在矩阵B，使得关系式，，成立，其中H1是一个可逆矩阵。

为了解决权值跟踪问题，设计一个由PI控制律和故障补偿项组成的容错控制器

其中，KPI=[KP KI]是由PI控制器的增益决定的。

将式（3.36）代入式（3.35）可得

定理3.4 对于式（3.35），给定控制律式（3.36）和假设3.4，如果存在正定矩阵P1、Q1满足下式。

则闭环系统式（3.37）是稳定的，且。

证明：选取Lyapunov函数

对Lyapunov函数求一阶导数

因此，，，所以系统式（3.37）是稳定的。

假定在同一个理想权向量Vg下，存在跟踪向量z1（t）、z2（t），这时ze（t）=z1（t）-z2（t）可以表述为

与式（3.39）类似，取如下Lyapunov函数。

与式（3.40）类似，有

其中，λmin（Q1）是正定矩阵Q1的最小特征值。

因此，仅存在一个平衡点z·，即

成立，也就是成立。

分别用、、代替式（3.36）中的x、V、ρ（X），可以得出如下容错控制器。